专题3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

第三篇 三角函数与解三角形

专题3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

【考纲要求】

1.理解同角三角函数的基本关系式：

　sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.

2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

【命题趋势】

利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及恒等变换；解决三角形内的相关问题.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算的核心素养..

【素养清单•基础知识】

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝.

平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．

2．诱导公式

诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·＋αk∈Z”的终边所在的象限.

【素养清单•常用结论】

同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

(2)sin α＝tan αcos α.

【真题体验】

1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（   ）

A．                                                   B．       

C．                                                  D．

2.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若，则（   ）

A．                           B．

C．                          D．

3. 【2018年高考江苏卷】已知为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

4．tan 330°＝(　　)

A．  B．－

C．  D．－

5．(2017·全国卷Ⅲ改编)已知sin α－cos α＝，则sin αcos α＝(　　)

A．－  B．－

C．  D．

6．若tan α＝2，则的值为(　　)

A．－  B．－

C．  D．

7．cos－sin＝__________.

【考法拓展•题型解码】

考法一　同角三角函数关系及其应用

归纳总结：同角三角函数关系在解题中的应用

(1)利用方程思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．对于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”．

(2)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解．

【例1】 (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　)

A．  B．－

C．  D．－

 (2)(2019·唐山模拟)已知2sin αtan α＝3，则cos α的值是(　　)

A．－1  B．－

C．  D．

【例2】 (1)已知tan α＝2，求值：

①；②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.

(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值．

考法二　诱导公式及应用

归纳总结

(1)诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；

②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．

(2)学会诱导公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y＝sin＝sin，能将y＝sin中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．

(3)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍．

【例3】 (1)计算：2sin＋cos 12π＋tan＝__________.

(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝__________.

(3)已知f(x)＝，则f＝__________.

【例4】 (1)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求的值．

(2)已知sin＝a(a≠±1，a≠0)，求cos·tan＋的值．

【易错警示】

易错点一　忽视隐含的平方关系

【典例1】 若sin θ＝，cos θ＝，<θ<π，则m的取值范围是(　　)

A．(3,9)  B．{8} 

C．(3，＋∞)  D．(－∞，9)

【错解】：A

【错因分析】：含有参数的同一个角的正余弦值，要受到“sin2θ＋cos2θ＝1”的限制．

正解：由已知得0<<1且－1<<0，解得3<m<9.因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以＝1，解得m1＝8，m2＝0(舍去)，故选B．

【正解】B

误区防范：运用平方关系应注意的两个问题

(1)平方关系是一组同角关系式，如sin2α＋cos2β＝1(α≠β)就不一定成立，因此能否利用这组关系解题要用“是否同角”来判别．

(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，由于利用“平方关系”公式求平方根，会出现两解，所以需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．

【跟踪训练1】 已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：

(1)m的值；

(2)方程的两根及此时θ的值．

易错点二　混淆公式的使用

【典例2】 化简：cos＋cos(n∈Z)．

【错解】：原式＝cos＋cos＝cos＋cos＝2cos.

【错因分析】：该解法混淆了nπ＋α(n∈Z)和2kπ＋a(k∈Z)，本题应对n的奇偶性进行分类讨论．

【正解】：原式＝cos＋cos.当n＝2k(k∈Z)时，原式＝cos＋cos＝2cos.当n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos＋cos＝－2cos.

故原式＝

【跟踪训练2】 已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)

A．{1，－1,2，－2}  B．{－1,1}

C．{2，－2}  D．{1，－1,0,2，－2}

【递进题组】

1．若点(16，tan θ)在函数y＝log2x的图象上，则sin2θ＋sin θcos θ＝(　　)

A．1  B．

C．  D．4

2．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④.其中是负数的是(　　)

A．①  B．②

C．③  D．④

3．若cos(π－α)＝，且α∈，则sin(π＋α)＝(　　)

A．－  B．－

C．－  D．±

4．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，则m的值为(　　)

A．1＋  B．1－

C．1±  D．－1－

【考卷送检】

一、选择题

1．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)

A．  B．－

C．  D．－

2.＝(　　)

A．－  B．－1

C．1  D．

3．(2019·河南八市联考)已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x0)＝f(x0)，则tan 2x0的值是(　　)

A．－  B．－

C．－  D．

4．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是(　　)

A．  B．

C．  D．

5．已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　)

A．    B．

C．    D．

6．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

二、填空题

7．已知tan α＝－，<α<π，则sin α＝________.

8．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________.　

9．函数y＝的最大值为________．

三、解答题

10．(2019·深圳中学期中)已知cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．

11．已知sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝，求tan α的值．

12．(2019·华南师大附中期中)已知α为第三象限角，f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若cos＝，求f(α)的值．

13．化简(n∈Z)的结果为________．