专题3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.了解任意角和弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化
3．理解任意角三角函数的定义
【命题趋势】
1. 根据角的终边上点的坐标求三角函数值．
2．根据三角函数值求参数值．
3．利用三角函数的定义判断三角函数的图象.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学抽象、数学建模的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝eq \a\vs4\al(y)，cs α＝eq \a\vs4\al(x)，tan α＝eq \a\vs4\al(\f(y,x))(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
【素养清单•常用结论】
(1)一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(2)三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)象限角
(4)轴线角
【真题体验】
1．已知角α的终边经过点(eq \r(3)，－1)，则角α的最小正值是( )
A．eq \f(2π,3) B．eq \f(11π,6)
C．eq \f(5π,6) D．eq \f(3π,4)
2．若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．(2019·长春普通高中一模)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq \r(3)x上，则角α的取值集合是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))
4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为__________，面积为__________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 象限角及终边相同的角
归纳总结
(1)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
【例1】 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为__________．
(2)若角θ的终边与eq \f(6π,7)角的终边相同，则在[0，π]内终边与eq \f(θ,3)角的终边相同的角有__________．
(3)已知角α是第一象限角，则eq \f(α,2)所在的象限为__________．
考法二 扇形的弧长及面积公式的应用
归纳总结
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【例2】 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝eq \f(π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
考法三 三角函数的定义及应用
解题技巧：利用三角函数的定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(4)已知一角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【例3】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝eq \f(1,3)，则sin β＝__________.
(2)已知角α的终边在直线y＝x上，点Q为角α的终边与单位圆的交点，则点Q的坐标为__________．
(3)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cs α＝－eq \f(4,5)，则m的值为__________．
【易错警示】
易错点 定义应用错误
【典例】 已知α角的终边过点P(3a，－4a)(a≠0)，求α角的三个三角函数值．
【错解】：由三角函数定义得r＝eq \r(9a2＋16a2) ＝5a，所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－4a,5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3a,5a)＝eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(－4a,3a)＝－eq \f(4,3).
【错因分析】：求解时没有注意点P在第几象限，其实是忽视对参数a的讨论，误以为a＞0，此时点P在第四象限，因此导致求解错误．
【正解】：根据任意角的三角函数的定义知
r＝eq \r(9a2＋16a2)＝eq \r(5a2)＝5|a|.
当a<0时，r＝－5a，sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(3,5)，
tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(4,3)；
当a>0时，r＝5a，sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(3,5)，
tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(4,3).
【误区防范】用定义法求三角函数值要注意的两个问题
(1)已知角α终边上一点P的坐标，若点的坐标是由字母给出的，一定要注意点的位置或对字母的符号进行讨论．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，由于角α的终边也是以原点为顶点的一条射线，因此对终边是直线的上半部分还是下半部分要分清，否则要分两种情况讨论．
【跟踪训练】 已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cs θ.
【递进题组】
1．若sin α·tan α<0，且eq \f(cs α,tan α)<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
3．设集合M＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))，N＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
4．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【考卷送检】
一、选择题
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6)
C．－eq \f(π,3) D．－eq \f(π,6)
2．已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角的终边所在的范围(阴影部分)是( )
4．(2019·湖北重点中学月考) 已知角α的终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(5π,6)，cs\f(5π,6)))，则角α的最小正值为( )
A．eq \f(5π,6) B．eq \f(5π,3)
C．eq \f(11π,6) D．eq \f(2π,3)
5．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cs α＝eq \f(1,5)x，则sin α＝( )
A．eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5)
C．eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
6．(2018·北京卷)在平面坐标系中， eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) ， eq \\ac(CD,\s\up10(︵)) ， eq \\ac(EF,\s\up10(︵)) ， eq \\ac(GH,\s\up10(︵)) 是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan α＜cs α＜sin α，则P所在的圆弧是( )
A． eq \\ac(AB,\s\up10(︵)) B． eq \\ac(CD,\s\up10(︵))
C． eq \\ac(EF,\s\up10(︵)) D． eq \\ac(GH,\s\up10(︵))
二、填空题
7．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
9．设角α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第________象限角．
三、解答题
10．角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求eq \f(sin α,cs β)＋eq \f(tan α,tan β)＋eq \f(1,cs αsin β) 的值．
11．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．
12．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求角eq \f(α,2)的终边所在的象限；
(3)试判断taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)的符号．
13．(2019·南昌二中测试)如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq \r(2)，－eq \r(2))，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )

角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2