高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形第1课时课堂检测

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课时素养检测

十九　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.下面说法中,正确的是 (　　)

A.上下两个底面是平行且相似的四边形的几何体是四棱台

B.棱台的所有侧面都是梯形

C.棱台的侧棱长必相等

D.棱台的上下底面可能不是相似图形

【解析】选B.由棱台的结构特点可知,A,C,D不正确.故B正确.

2.下列说法正确的是 (　　)

A.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台

B.多面体至少有3个面

C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形

【解析】选D.选项A错误,反例如图1;一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B错误;选项C错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体;根据棱柱的定义,知选项D正确.

3.下列关于棱柱的说法错误的是 (　　)

A.所有的棱柱两个底面都平行

B.所有的棱柱一定有两个面互相平行,其余各面每相邻两个面的公共边互相平行

C.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D.棱柱至少有五个面

【解析】选C.对于A,B,D,显然是正确的;对于C,棱柱的定义是这样的:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱,显然题中漏掉了“并且相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件,因此所围成的几何体不一定是棱柱.

4.下列特征不是棱台必须具有的是 (　　)

A.两底面平行

B.侧面都是梯形

C.侧棱长都相等

D.侧棱延长后相交于一点

【解析】选C.用平行于棱锥底面的平面截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台,A,B,D正确.

5.(多选题)下列说法中不正确的是 (　　)

A.所有的棱柱都有一个底面

B.棱柱的顶点至少有6个

C.棱柱的侧棱至少有4条

D.棱柱的棱至少有4条

【解析】选ACD.棱柱有两个底面,所以A项不正确;棱柱底面的边数至少是3,则在棱柱中,三棱柱的顶点数最少是6,三棱柱的侧棱数最少是3,三棱柱的棱数最少是9,所以C、D项不正确,B项正确.

6.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.四边形        B.三角形

C.三角形或四边形     D.不可能为四边形

【解析】选C.按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.一个正方体的六个面上分别标有字母A,B,C,D,E,F,如图是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是________. 

【解析】由正方体的两种不同放置可知:与C相对的是F,由题干图A、D与C排列的位置可知D与B相对.

答案:B

8.一个棱台至少有______个面,面数最少的棱台有________个顶点,有______条棱.  

【解析】面数最少的棱台是三棱台,共有5个面,6个顶点,9条棱.

答案:5　6　9

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图所示的几何体中,所有棱长都相等,分析此几何体的构成?有几个面、几个顶点、几条棱?

【解析】这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体,有8个面,都是全等的正三角形;有6个顶点;有12条棱.

10.画一个三棱台,再把它分成:

(1)一个三棱柱和另一个多面体;

(2)三个三棱锥,并用字母表示.

【解析】画三棱台一定要利用三棱锥.

(1)如图①所示,三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″,另一个多面体是

B′C′CBB″C″.

(2)如图②所示,三个三棱锥分别是A′-ABC,B′-A′BC,C′-A′B′C.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.(多选题)下面说法不正确的是 (　　)

A.棱锥的侧面不一定是三角形

B.棱柱的各侧棱长不一定相等

C.棱台的各侧棱延长必交于一点

D.用一个平面截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,另一个是棱台

【解析】选ABD.棱台的各侧棱延长后必交于一点,C正确,其余都不正确.故选ABD.

2.有下列三组定义:

①有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱;

②用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台;

③有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.

其中正确定义的个数为 (　　)

A.0    B.1    C.2    D.3

【解析】选B.由棱柱的定义可知只有①正确,②中截面必须平行于底面,③中其余各三角形应有一个公共顶点,所以②③都不正确.

3.在五棱柱中,不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱对角线的条数共有              (　　)

A.20条   B.15条   C.12条   D.10条

【解析】选D.如图, 在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有两条:

AC1,AD1,同理从B,C,D,E点出发的对角线均有两条,共2×5=10(条).

4.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是 (　　)

A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4

B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3

C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4

D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1

【解析】选C.不满足==的一定不是棱台,满足==的也不一定是棱台.根据提供的数据,A,B中对应边不成比例,D中对应边相等,故A,B,D一定不是棱台,C中对应边成比例,可能是棱台.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图,A,B,C 是展开图形上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC的大小是________. 

【解析】把展开图还原为正方体,如图,则△ABC为等边三角形,故∠ABC=60°.

答案:60°

6.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是____________(写出所有正确结论的序号). 

①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.

【解析】在如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,若所取四点共面,则只能是正方体的表面或对角面.

即正方形或长方形,所以①正确,②错误.

棱锥A-BDA1符合③,所以③正确;

棱锥A1-BDC1符合④,所以④正确;

棱锥A-A1B1C1符合⑤,所以⑤正确.

答案:①③④⑤

7.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是________.  

【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,沿棱DD1,D1C1,C1C剪开并展开;沿棱AA1,A1B1,B1B剪开并展开,然后将正方体沿BC剪开并展开,外面朝上放平,则标“△”的面是正方形DCC1D1,方位是北.

答案:北

8.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为

________ cm. 

【解析】依题意,此棱柱为五棱柱,5条侧棱长均相等,故每条侧棱长为60÷5=

12(cm).

答案:12

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.

(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;

(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;

(3)三棱柱.

【解析】(1)如图①所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).

(2)如图②所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).

(3)如图③所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).

10.如图,正方形ABCD的边长为a,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.若沿EF,FG,GH,HE将四角折起,试问能折成一个四棱锥吗?为什么?

【解析】不能.连接EG,FH,将正方形分成四个一样的小正方形.若将正方形ABCD沿EF,FG,GH,HE折起,则四个顶点必重合于正方形的中心,故不能折成一个四棱锥.

11.在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两的交角都是30°,在一条侧棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A,B之间的最短绳长.

【解析】作出三棱锥的平面展开图,如图,

A,B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB==5,即此绳在A,B间最短的绳长为5.

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