2021-2022学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷（人教版2019必修第二册）（七）

2021-2022学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷（人教版2019必修第二册）（七）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知向量，，则向量的坐标为（    ）

A. （－2，3） B. （0，1） C. （－1，2） D. （2，－3）

【答案】D

【解析】依题意, 故选：D

2.若复数满足,其中为虚数单位,则=(　 　)

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】设，所以 ，所以 ，故选:B．

3.一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（    ）

A.   B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】由题可知：从4个球中摸出2个球的所有可能结果数为

则摸出1个黑球，1个白球的结果数为

所以所求概率为,  故选：A

4.已知向量，满足，且，，则与的夹角为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

，即

，,  故选：D

5.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】直方图中各个小矩形的面积之和为，

，

解得，

由直方图可知三个区域内的学生总数为

（人），

其中身高在[140，150]内学生人数为（人）,  故选：A

6.在△ABC中，已知∠B=60°，边AB=4，且△ABC的面积为，则边AC的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】设中，，

则由题可知，

所以，

故由余弦定理可得，

所以，  故选：C.

7.已知正三角形ABC边长为2，D是BC的中点，点E满足，则（）

A.  B.  C.  D. -1

【答案】C

【解析】

正三角形ABC边长为2，D是BC的中点，点E满足

,  故选:C

8.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】取的中点，连结，则，

则与平面所成角可转化为与平面所成角，

过点作于点，

由于是正三棱柱，

平面平面，平面，

是与平面所成角，

由题意，，，

在中，，

与平面所成角的正弦值为.   故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（    ）

A. 两件都是一等品的概率是

B. 两件中有1件是次品的概率是

C. 两件都是正品的概率是

D. 两件中至少有1件是一等品的概率是

【答案】BD

【解析】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，

从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；

对于A，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；

对于B，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；

对于C，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；

对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.   故选：BD.

10.PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(单位：)的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（    ）

A. 众数为30

B. 中位数是31

C. 平均数小于中位数

D. 后4天的方差小于前4天的方差

【答案】AD

【解析】众数即是出现次数最多的数字，由折线图可得，众数为30，即A正确；

中位数即是处在中间位置的数字，将折线图中数字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126；处在中间位置的数字是：31，32，因此中位数为，即B错；

由折线图可得，平均数为：，故C错；

前4天的平均数为：，后4天的平均数为

前4天方差为：，

后4天方差为：

，

所以后4天的方差小于前4天的方差，故D正确.   故选：AD.

11.在中，角、、的对边分别为、、，若，则角可为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】因为，所以，

所以，

所以

所以，结合角为三角形内角可得，所以

若，则，故A错误；

若，则，故B正确；

若，此时，故C正确；

若，则，故D错误；  故选：BC.

12.正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为，则（    ）

A. 正方体的外接球的表面积为12π B. 正方体的内切球的体积为

C. 正方体的棱长为1 D. 线段MN的最大值为

【答案】AD

【解析】设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，

正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，

可得MN的最小值为，解得，故C错误；

所以外接球的半径为，表面积为，故A正确；

内切球的半径为1，体积为，故B错误；

MN的最大值为，故D正确；故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35，35，40，38，52，则这5名党员教师学习积分的方差为_______________

【答案】；

【解析】这5名党员教师学习积分的平均数为，

所以这5名党员教师学习积分的方差为.

故答案为：.

14.在直角边长为3的等腰直角中，E、F为斜边上的两个不同的三等分点，则______.

【答案】4

【解析】设是接近的一个三等分点，

则，

，

又，

故答案为：.

15.一竖立在底面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为 ，则这个圆锥的体积为________.

【答案】

【解析】画出该圆锥的展开图，如图所示，

则该小虫爬行的最短路程为，即，

又圆锥母线长为，

所以，因此，

则弧长为，

设圆锥底面圆半径为，圆锥的高为，

则，解得，

所以，

因此该圆锥的体积为：.故答案为：.

16.在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．

【答案】

【解析】∵，

∴，

∴，∵，

∴，∴，

由正弦定理可得，即，

当时，.当时，则的最小值为．故答案为:.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知复数z满足|z|=的虚部为2，z所对应的点在第一象限，

(1)求z; 

(2)若z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求cos∠ABC.

【答案】(1) z=1+i.     (2)

【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R).

∵|z|

∴x2+y2=2.    ①

又z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,

∴2xy=2,∴xy=1.    ②

由①②可

∴z=1+i或z=-1-i.

又x>0,y>0,∴z=1+i.

(2)z2=(1+i)2=2i,

z-z2=1+i-2i=1-i.

如图所示,

∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

∴cos∠ABC

18. 在边长为1的菱形中，，是线段上一点，满足，如图.设.

（1）用表示；

（2）在线段上是否存在一点满足？若存在，判定点的位置，并求；若不存在，请说明理由

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)根据题意得:,
,
;
 

(2)结论:在线段BC上存在使得的一点F满足,此时.
理由如下:
设,则,,
,
在边长为1的菱形ABCD中,,
,,
,



=0,
解得,从而,
.

19.如图，在正方体中，为棱的中点．

 求证：（1）∥平面；

（2）平面⊥平面

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】（1）连交于，连，

因为为的中点，为的中点，所以

又平面平面，

所以平面

（2）因为平面，所以于，

所以平面，所以

同理可证，

又于，所以平面，

因为，所以平面，

又平面，

所以平面平面．

20.如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.

（1）若，求的值；

（2）若，，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

，，因此，；

（2）设，

再设，则，即，

所以，，解得，所以，

因此，.

21.手机支付也称为移动支付(Mobile Payment)，是当今社会比较流行的一种付款方式.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15—65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的随机抽样调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图.

（1）求x，a的值；

（2）若从第1，3组中用分层抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数；

（3）在（2）抽取的5人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.

【答案】（1），；（2）第1组抽取的人数为，第3组抽取的人数为；（3）.

【解析】（1）由题意可知，，

所以，

从而.

（2）第1，3组共有50人，所以抽取的比例是，

则从第1组抽取的人数为，

从第3组抽取的人数为.

（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，

则从这5人中随机抽取2人有如下种情形：

，，，，，，，，，

共有10个基本事件.

其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，

共4个基本事件，

所以抽取的2人来自同一个组的概率.

22.如图，在中，平面，，，为棱的中点，点在棱上.

（1）若，求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）若二面角的大小为120°，求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）由，可知为棱的中点，

又因为为棱的中点，所以在△中，，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为底面，平面，所以，

在△中，，为的中点，所以，

又因为，平面，平面，

所以平面

又因为平面，所以平面平面.

（3）由题意知，二面角的大小为，

由（2）的证明可知，平面，又因为平面，所以，

又，所以即为二面角的平面角，

所以，因为底面，平面，所以，

在△中，，，，所以.

因为，所以为棱的中点，故，

于是即为异面直线与所成的角.

易知△△，故，，

在△中，由余弦定理知，，

所以异面直线与所成角的余弦值为.