数学七年级下册5 平方差公式习题

这是一份数学七年级下册5 平方差公式习题，共10页。试卷主要包含了若A＝﹣，观察，观察下列各式，阅读、理解、应用等内容，欢迎下载使用。

A．2020B．2021C．2022D．2023
【分析】除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数．
【详解】解：设k是正整数，
∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意；
∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意，
C选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故选：C．
2．若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，则A的值是（ ）
A．0B．1C．D．
【分析】先将﹣变形为：﹣（1﹣），再利用平方差公式化简即可．
【详解】解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1
＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1
＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1
＝﹣（1﹣）（1+）+1
＝﹣（1﹣）+1
＝
故选：D．
3．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（ ）
A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2
【分析】先根据规律求x的值，再求代数式的值．
【详解】解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．
∴x6﹣1＝0．
∴x6＝1．
∴（x3）2＝1．
∴x3＝±1．
∴x＝±1．
当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．
当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．
故选：D．
4．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 ．
【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意得a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40；根据S阴＝S△ACD﹣S△CDE计算即可．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
根据题意得a2﹣b2＝40，
∴（a+b）（a﹣b）＝40；
∵S阴＝S△ACD﹣S△CDE，
∴S阴＝×CD×AB﹣×CD×BE
＝（a+b）a﹣（a+b）b
＝（a+b）（a﹣b）
∵（a+b）（a﹣b）＝40，
∴S阴＝×40
＝20．
故答案为：20．
5．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1……
则22008+22007+22006+……+22+2+1＝ ．
【分析】观察其右边的结果：第一个是x2﹣1；第二个是x3﹣1；…依此类推，得出第n个的结果，从而得出要求的式子的值．
【详解】解：根据给出的式子的规律可得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+…x+1）＝xn+1﹣1，
则22008+22007+22006+……+22+2+1＝22009﹣1；
故答案为：22009﹣1．
6．一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：22﹣12＝3，则3就是智慧数；22﹣02＝4，则4就是智慧数．
（1）从0开始第7个智慧数是 ；
（2）不大于200的智慧数共有 ．
【分析】（1）根据智慧数的定义得出智慧数的分布规律，进而得出答案；
（2）根据（1）中规律可得．
【详解】解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律．
①∵02﹣02＝0，∴0是智慧，
②因为2n+1＝（n+1）2﹣n2，所以所有的奇数都是智慧数，
③因为（n+2）2﹣n2＝4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．
由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，
从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…
即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．
∴从0开始第7个智慧数是：8；
故答案为：8；
（2）∵200÷4＝50，
∴不大于200的智慧数共有：50×3+1＝151．
故答案为：151．
7．同学们我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧！计算：．
【分析】根据平方差公式解决此题．
【详解】解：
＝）
＝
＝•
＝
＝．
8．阅读、理解、应用．
例：计算：20163﹣2015×2016×2017．
解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．
请你利用上述方法详解下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：．
【分析】（1）仿照例题的思路，设123＝x，则124＝x+1，122＝x﹣1，然后进行计算即可；
（2）仿照例题的思路分别计算出M，N的值，然后进行比较即可；
（3）仿照例题的思路，设++...+＝x，然后进行计算即可．
【详解】解：（1）设123＝x，
∴1232﹣124×122
＝x2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣x2+1
＝1；
（2）设123456786＝x，
∴M＝123456789×123456786
＝（x+3）•x
＝x2+3x，
N＝123456788×123456787
＝（x+2）（x+1）
＝x2+3x+2，
∴M＜N；
（3）设++...+＝x，
∴
＝（x+）（1+x）﹣（1+x+）•x
＝x+x2++x﹣x﹣x2﹣x
＝．
9．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式：
（用式子表达）．
（2）应用公式计算：．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．
【分析】（1）图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2﹣b2，图2的长是（a+b），宽为（a﹣b），因此阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），进而得出等式即可；
（2）利用平方差公式将原式转化为即可；
（3）配上因式（2﹣1），然后连续使用平方差公式即可得出答案．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝
＝
＝
＝；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1
＝（232﹣1）（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264．
10．在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式．
（1）计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣2+y）；
（2）若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x2+4，求出整式▲；
（3）已知（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）将（x﹣2）（x+2）移项到等号右边即可得▲的代数式，根据平方差公式计算化简即可；
（3）根据计算结果是二次得■运算符号为乘号，将原式化简，根据计算结果是单项式得出▲的值．
【详解】解：（1）原式＝x﹣2﹣x﹣2﹣2+y
＝y﹣6；
（2）根据题意得：▲＝3x2+4﹣（x﹣2）（x+2）
＝3x2+4﹣（x2﹣4）
＝3x2+4﹣x2+4
＝2x2+8；
（3）∵计算结果是二次，
∴■表示的运算符号是×，
∴原式＝（x﹣2）（x+2）+▲
＝x2﹣4+▲，
∵计算结果是单项式，
∴▲的值为4．