华师大版七年级下册第9章 多边形9.1 三角形1 认识三角形综合训练题

9.1.1.2认识三角形（高线、中线、角平分线）

★三角形的三条重要线段
(1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．
注：①三角形的高是线段，而垂线是直线；
②任意三角形都有三条高；
③锐角三角形的三条高交于三角形内部一点，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部一点。
(2）三角形的中线：连结三角形的顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做三角形的中线．
注：①三角形的中线是一条线段；
②任意三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，相交于一点．三角 三条中线的交点叫做三角形的重心；
③如果 AD 是△ ABC 的中线，那么 

(3）三角形的角平分线
一个内角的平分线和对边相交，这个内角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注：①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，二者不能混淆；
②任意三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，相交于一点．
★判断三角形中三条重要线段的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的概念。并且要指明三条线 在哪个三角形中，要注意三角形的高、中线、角平分线都是线段，既不是射线，也不是直线。
★(1）三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分；
(2）等底不等高的三角形面积之比等于高之比；
(3）等高不等底的三角形面积之比等于底之比．

一．选择题（共7小题）

1．下列判断正确的是（　　）

（1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线；

（2）三角形的中线、角平分线都是线段；

（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线；

（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．

A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（3）（4） 

C．（3）（4） D．（2）（3）

2．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）

A． B． 

C． D．

3．AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，AB＝7，AC＝6，DH＝3，则DG的长是（　　）

A．4 B．3.5 C．3 D．无法判断

4．下列说法正确的是（　　）

A．两条不相交的直线一定平行 

B．三角形三条高线交于一点 

C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 

D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到直线的距离

5．如图，△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（　　）

A．20 B．24 C．26 D．28

6．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）

A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° 

C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF

7．如图，CD是△ABC的一条中线，E为BC边上一点且BE＝2CE，AE、CD相交于F，四边形BDFE的面积为6，则△ABC的面积是（　　）

A．14 B．14.4 C．13.6 D．13.2

二．填空题（共5小题）

8．如图，在△ABC中D、F为BC上的点，且F为BC的中点，BD：CD＝3：4，连接AD，E是AD上的一点，AE：ED＝1：3，连接BE、EF、EC，若S△DEF＝3，则△ABC的面积是　   　．

9．如图所示，D、E是边AC的三等分点，图中有 　   　个三角形，BD是 　   　中 　   　边上的中线，BE是 　   　中 　   　边上的中线．

10．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是　   　．

11．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90゜，AC＝3cm，BC＝4cm，CD是AB边的中线，则AC边上的高为　   　cm，△BCD的面积＝　   　cm2．

12．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1+S2＝　   　．

三．解答题（共5小题）

13．如图，已知AD、AE分别为△ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，求：

（1）△ABD与△ACD的周长之差；

（2）△ABC与△ACD的面积关系．

14．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．

15．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为9cm和15cm两部分，求三角形的各边长．

16．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．

（1）试说明CD是△ABC的高；

（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．

17．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4．求：

（1）△ABC的面积及AC边上的高BE的长；

（2）AD：BE的值．

9.1.1.2认识三角形（高线、中线、角平分线）

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．下列判断正确的是（　　）

（1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线；

（2）三角形的中线、角平分线都是线段；

（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线；

（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．

A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（3）（4） 

C．（3）（4） D．（2）（3）

【解答】解：（1）平分三角形内角的线段叫三角形的角平分线，原命题是假命题；

（2）三角形的中线、角平分线都是线段，是真命题；

（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线，是真命题；

（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，原命题是假命题；

故选：D．

2．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A选项中，BE与AC不垂直；

B选项中，BE与AC不垂直；

C选项中，BE与AC不垂直；

∴线段BE是△ABC的高的图是D选项．

故选：D．

3．AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，AB＝7，AC＝6，DH＝3，则DG的长是（　　）

A．4 B．3.5 C．3 D．无法判断

【解答】解：如图所示：

∵AD是△ABC的中线，

∴S△ABD＝S△ACD，

∵DH⊥AB，DG⊥AC，

∴S△ABD＝AB•DH＝×7×3＝，S△ACD＝AC•DG＝×6×DG＝3DG，

∴3DG＝，

∴DG＝3.5，

故选：B．

4．下列说法正确的是（　　）

A．两条不相交的直线一定平行 

B．三角形三条高线交于一点 

C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 

D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到直线的距离

【解答】解：A、在同一平面内，两条不相交的直线一定平行，故不符合题意；

B、三角形的三条高线所在的直线交于一点，故不符合题意；

C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故不符合题意；

D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到直线的距离，故符合题意；

故选：D．

5．如图，△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（　　）

A．20 B．24 C．26 D．28

【解答】解：∵BD是AC边上的中线，

∴AD＝CD，

∵△ABD的周长为30，AB＝15，

∴AD+BD＝30﹣AB＝30﹣15＝15，

∴CD+BD＝AD+BD＝15，

∵BC＝9，

∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝9+15＝24．

故选：B．

6．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）

A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° 

C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF

【解答】解：∵AF是△ABC的中线，

∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；

∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；

∵AE是角平分线，

∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；

∵BF＝CF，

∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；

故选：C．

7．如图，CD是△ABC的一条中线，E为BC边上一点且BE＝2CE，AE、CD相交于F，四边形BDFE的面积为6，则△ABC的面积是（　　）

A．14 B．14.4 C．13.6 D．13.2

【解答】解：连接BF，如图所示．

设S△BDF＝a，则S△BEF＝6﹣a，

∵CD为AB边上中线，

∴S△ADF＝S△BDF＝a，S△BDC＝S△ABC．

∵BE＝2CE，

∴S△CEF＝S△BEF＝（6﹣a），S△ABE＝S△ABC．

∴S△ABC＝2S△BDC＝2[a+（6﹣a）+]＝18﹣a，

∴S△ABC＝S△ABE＝（2a+6﹣a）＝a+9．

即18﹣a＝a+9．解得：a＝3.6．

∴S△ABC＝18﹣a＝18﹣3.6＝14.4．

故选：B．

二．填空题（共5小题）

8．如图，在△ABC中D、F为BC上的点，且F为BC的中点，BD：CD＝3：4，连接AD，E是AD上的一点，AE：ED＝1：3，连接BE、EF、EC，若S△DEF＝3，则△ABC的面积是　56　．

【解答】解：∵F为BC的中点，

∴△BEF的面积＝△CEF的面积，

设△BEF的面积＝△CEF的面积＝S，

∵BD：CD＝3：4，S△DEF＝3，

∴＝，即＝，

解得S＝21，

∴S△BDE＝21﹣3＝18，S△CDE＝21+3＝24，

∵AE：ED＝1：3，

∴S△ABE＝＝6，S△AEC＝＝8，

∴S△ABC＝6+18+8+24＝56，

故答案为56．

9．如图所示，D、E是边AC的三等分点，图中有 　6　个三角形，BD是 　△ABE　中 　AE　边上的中线，BE是 　△BDC　中 　CD　边上的中线．

【解答】解：图中有△ABD，△BDE，△BEC，△ABE，△DBC，△ABC共6个三角形，BD是△ABE中AE边上的中线，BE是△DBC中CD边上的中线，

故答案为：6；△ABE；AE；△DBC；CD．

10．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是　6　．

【解答】解：∵AD是BC上的中线，

∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，

∵BE是△ABD中AD边上的中线，

∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，

∴S△ABE＝S△ABC，

∵△ABC的面积是24，

∴S△ABE＝×24＝6．

故答案为：6．

11．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90゜，AC＝3cm，BC＝4cm，CD是AB边的中线，则AC边上的高为　4　cm，△BCD的面积＝　3　cm2．

【解答】解：如图，∵∠ACB＝90゜，BC＝4cm，

∴BC是AC边上的高，即AC边上的高为4cm，

又∵CD是AB边的中线，

∴BD＝AD，

∴S△BCD＝S△ABC＝××AC•BC＝×3×4＝3（cm2）．

故答案是：4；3．

12．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1+S2＝　7　．

【解答】解：∵BE＝CE，

∴S△ACE＝S△ABC＝×6＝3，

∵AD＝2BD，

∴S△ACD＝S△ABC＝×6＝4，

∴S1+S2＝S△ACD+S△ACE＝4+3＝7．

故答案为：7．

三．解答题（共5小题）

13．如图，已知AD、AE分别为△ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，求：

（1）△ABD与△ACD的周长之差；

（2）△ABC与△ACD的面积关系．

【解答】解：（1）△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+AD+CD，

∵AD是BC的中线，

∴BD＝CD，

∵AB＝5cm，AC＝3cm，

∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝2（cm），

∴△ABD与△ACD的周长之差是2cm；

（2）∵△ABD与△ACD的底相等，高都是AE，

∴它们的面积相等，

∴△ABC的面积等于2倍的△ACD的面积．

14．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．

【解答】解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，

∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AB＞BC，

∴AC+CD＝40，AB+BD＝60，

即，

解得：，

当AB＝52，BC＝16，AC＝32时，不满足三边关系，构不成三角形，应该舍去，

所以AC＝48，AB＝28．

15．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为9cm和15cm两部分，求三角形的各边长．

【解答】解：根据题意画出图形，如图，

设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，

∵BD是腰上的中线，

∴AD＝DC＝x，

若AB+AD的长为15，则2x+x＝15，解得x＝5cm，

则x+y＝9，即5+y＝9，解得y＝4cm；

若AB+AD的长为9，则2x+x＝9，解得x＝3cm，

则x+y＝15，即3+y＝15，解得y＝12cm，

6+6＝12，不存在，

所以等腰三角形的腰长为10厘米，底边长为4厘米．

16．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．

（1）试说明CD是△ABC的高；

（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．

【解答】解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B

∴∠B+∠BCD＝90°

∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，

∴CD是△ABC的高；

（2）∵∠ACB＝∠CDB＝90°

∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，

∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，

∴CD＝＝＝．

17．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4．求：

（1）△ABC的面积及AC边上的高BE的长；

（2）AD：BE的值．

【解答】解：（1）S△ABC＝BC•AD＝＝8．

由S△ABC＝BC•AD＝BE得到：BE＝＝＝；

（2）由BC•AD＝BE得到：AD：BE＝AC：BC＝5：4．

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日期：2022/3/29 13:28:42；用户：杨晓忆；邮箱：syx071@xyh.com；学号：24369258