专题11.2 不等式选讲（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题11.2 不等式选讲

A组 5年高考真题

1．（2021全国Ⅲ文理23）设．

（1）证明：；

（2）用表示的最大值，证明：．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．

【思路导引】（1）根据题设条件两边平方，再利用均值不等式证明即可；

（2）思路一：不妨设，由题意得出，

由，结合基本不等式，即可得出证明．

思路二：假设出中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．

【解析】（1）证明：

即

（2）证法一：不妨设，由可知，，

，，

当且仅当时，取等号，，即．

证法二：不妨设，则而

矛盾，∴命题得证．

2．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【解析】（1）因为，又，

故有，∴．

（2）因为为正数且，故有

=24．

∴．

3．（2019全国III文理23）设，且．

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或．

【解析】（1）由于，

故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．

∴的最小值为．

（2）由于

，

故由已知，当且仅当，，时等号成立，因此的最小值为．

由题设知，解得或．

4．（2017全国Ⅱ文理）已知，，，证明：

(1)；

(2) ．

【解析】（1）．

（2）∵，

∴，因此．

5．（2021全国Ⅰ文理22）已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：

（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：

由，解得，∴不等式的解集为．

6．（2016全国I文理）已知函数．

（I）在图中画出的图像；

（II）求不等式的解集．

【解析】(1)如图所示：

(2) ，．

当，，解得或，；

当，，解得或，或；

当，，解得或，或．

7．（2021全国Ⅱ文理22）已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【思路导引】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果．

【解析】（1）当时，．

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或．

（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为．

8．（2019全国II文理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围．

【解析】（1）当a=1时，．

当时，；当时，，∴不等式的解集为．

（2）因为，∴．

当，时，

∴的取值范围是．

9．（2018全国Ⅰ文理）已知．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若时不等式成立，求的取值范围．

【解析】(1)当时，，即

故不等式的解集为．

(2)当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，∴，故．

综上，的取值范围为．

10．（2018全国Ⅱ文理）设函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围．

【解析】(1)当时，

可得的解集为．

(2)等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，∴的取值范围是．

11．（2018全国Ⅲ文理）设函数．

(1)画出的图像；

(2)当时，，求的最小值．

【解析】(1)

的图像如图所示．

(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．

，或或，，解集为．

12．（2017全国Ⅰ文理）已知函数，．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．

【解析】（1）当时，不等式等价于．①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而，∴的解集为．

（2）当时，，∴的解集包含，等价于当时．

又在的最小值必为与之一，∴且，得，∴的取值范围为．

13．（2017全国Ⅲ文理）已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．

【解析】（1），

当时，无解；

当时，由得，，解得；

当时，由解得．

∴的解集为．

（2）由得，而

，

且当时，，故m的取值范围为．

14．（2016全国III文理）已知函数

（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．

【解析】（Ⅰ）当时，．

解不等式，得，因此的解集为．

（Ⅱ）当时，

，当时等号成立，

∴当时，等价于．  ①

当时，①等价于，无解．

当时，①等价于，解得．

∴的取值范围是．

15．（2016全国II文理）已知函数，M为不等式的解集．

（I）求M；

（II）证明：当a，时，．

【解析】（I）当时，，若；

当时，恒成立；

当时，，若，．

综上可得，．

（Ⅱ）当时，有，即， 

则，则，即，证毕．