2021年中考数学考点提升训练——专题九：反比例函数(含答案)

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备战2021中考数学考点提升训练——专题九：反比例函数
1．如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2＝图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当y2＞y1时，求x的取值范围；
（3）求点B到直线OM的距离．








2．已知如图，点M是双曲线y＝上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若S△MON＝2，求该双曲线的解析式．








3．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）在第一象限的图象交于A（3，4）和B两点，B点的纵坐标是2，与x轴交于点C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点D在x轴上，且△ACD的面积为12，求点D的坐标．








4．如图，已知直线y＝﹣x与双曲线y＝（k＜0）交于A，B两点，且点A的横坐标为﹣6．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）利用图象直接写出不等式﹣x的解集；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y＝（k＜0）于M、N两点（M在第二象限），若由点A、B、M、N为顶点的四边形面积为96，求点M的坐标．








5．点A是双曲线与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB垂直x轴于点B，且S△ABO＝；
（1）求两个函数的表达式；
（2）求直线与双曲线的交点坐标和△AOC的面积．








6．如图，已知线段AB，A（2，1），B（4，3），现将线段AB沿y轴方向向下平移得到线段MN，直线y＝mx+b过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线y＝的一条分支上，
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）直接写出不等式mx+b﹣≥0的解集．
（3）若点C（x1，a），D（x2，a﹣1）在双曲线y＝上，试比较x1和x2的大小．








7．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于A、B两点，点B坐标为（4，2），连接OA、OB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC＝CA．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接说出不等式ax+b﹣＜0的解集为　 　；
（3）求△ABC的面积．








8. 点P(1，a)在反比例函数y＝的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y＝2x＋4的图象上，求此反比例函数的解析式．







9.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y(k>0，x>0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．
(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
(3)平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．








10．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与y轴交于点A，过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象，反比例函数y＝的图象分别交于点C，D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；
（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．








11．如图，已知A（﹣3，n），B（2，﹣3）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）写出一次函数和反比例函数的解析式　 　；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣＝0的解；
（3）观察图象，直接写出kx+b﹣＜0的解集；
（4）求△AOB的面积．








12．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．








13．疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元）与日销售量y（只）之间有如下关系：
日销售单价x（元）
3
4
5
6
日销售量y（只）
2000
1500
1200
1000
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；
（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，
（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？







14．如图，反比例函数y＝（x＞0）与直线AB：交于点C（，m），点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当△POQ面积最大时，求P点坐标．








15．如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为　 　；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为　 　．








16．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．
（1）这场沙尘暴的最高风速是　 　千米/小时，最高风速维持了　 　小时；
（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有　 　小时．








备战2021中考数学考点提升训练——专题九：反比例函数参考答案
1．如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2＝图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当y2＞y1时，求x的取值范围；
（3）求点B到直线OM的距离．

【答案】解：（1）把M（﹣2，m）代入y＝﹣x﹣1得m＝2﹣1＝1，则M（﹣2，1），
把M（﹣2，1）代入y＝得k＝﹣2×1＝﹣2，
所以反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）解方程组得或，
则反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为（1，﹣2），
当﹣2＜x＜0或x＞1时，y2＞y1；
（3）y＝﹣x﹣1与y轴交于点B
所以B的坐标为（0，﹣1），
所以OB＝1，
OM＝＝，S△OMB＝×1×2＝1，
设点B到直线OM的距离为h，
••h＝1，解得h＝，
即点B到直线OM的距离为．
2．已知如图，点M是双曲线y＝上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若S△MON＝2，求该双曲线的解析式．

【答案】解：∵MN垂直于x轴，
∴S△OMN＝|k|，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4，
∴该双曲线的解析式为y＝﹣．
3．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）在第一象限的图象交于A（3，4）和B两点，B点的纵坐标是2，与x轴交于点C．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点D在x轴上，且△ACD的面积为12，求点D的坐标．

【答案】解：（1）将点A的坐标代入y＝得，4＝，解得m＝12，
故反比例函数表达式为y＝，
将B点的纵坐标代入上式并解得，点B（6，2），
则，解得，
故一次函数的表达式为y＝﹣x+6；

（2）对于y＝﹣x+6，令y＝﹣x+6＝0，解得x＝9，故点C（9，0），
设点D（x，0），
则△ACD的面积＝×CD×yA＝×|x﹣9|×4＝12，
解得x＝15或3，
故点D的坐标为（15，0）或（3，0）．
4．如图，已知直线y＝﹣x与双曲线y＝（k＜0）交于A，B两点，且点A的横坐标为﹣6．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）利用图象直接写出不等式﹣x的解集；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y＝（k＜0）于M、N两点（M在第二象限），若由点A、B、M、N为顶点的四边形面积为96，求点M的坐标．

【答案】解：（1）∵直线y＝﹣x 经过点A，且点A的横坐标为﹣6，
∴A（﹣6，3），
∵双曲线y＝（k＜0）过点A（﹣6，3），
∴k＝﹣18；
令x＝﹣，解得：x＝±6，
∴B（6．﹣3）；
（2）观察函数图象知，不等式﹣x的解集是：x≤﹣6或0＜x≤6；
（3）∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴由点A、B、M、N为顶点组成的四边形是平行四边形，
∴MN与AB交于O点，
过A作AP⊥x轴于P，过M作MQ⊥x轴于Q，

∵四边形AMBN 的面积为96，
∴S△AOM＝S四边形AMBN＝24，
∵M 在双曲线上，设M（x，﹣），
∴（3﹣）|﹣6﹣x|＝24，
整理得x2+16x﹣36＝0和x2﹣16x﹣36＝0，
∵P在第二象限，
解得x＝﹣2或﹣18，
∴M1（﹣18，1）或M2（﹣2，9）．
5．点A是双曲线与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB垂直x轴于点B，且S△ABO＝；
（1）求两个函数的表达式；
（2）求直线与双曲线的交点坐标和△AOC的面积．

【答案】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO＝•|BO|•|BA|＝•（﹣x）•y＝，
∴xy＝﹣3，
又∵y＝，
即xy＝k，
∴k＝﹣3，
∴所求的两个函数的解析式分别为y＝﹣，y＝﹣x+2；

（2）由y＝﹣x+2，
令x＝0，得y＝2．
∴直线y＝﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
A、C两点坐标满足 ，
解得x1＝﹣1，y1＝3，x2＝3，y2＝﹣1，
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），
∴S△AOC＝S△ODA+S△ODC＝•|OD|•（|y1|+|y2|）＝×2×（3+1）＝4．
6．如图，已知线段AB，A（2，1），B（4，3），现将线段AB沿y轴方向向下平移得到线段MN，直线y＝mx+b过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线y＝的一条分支上，
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）直接写出不等式mx+b﹣≥0的解集．
（3）若点C（x1，a），D（x2，a﹣1）在双曲线y＝上，试比较x1和x2的大小．

【答案】解：（1）设线段AB沿y轴方向向下平移t个单位得到线段MN，
则点M、N的坐标分别为（2，1﹣t）、（4，3﹣t），
将点M、N的坐标代入y＝得：k＝2（1﹣t）＝4（3﹣t），解得t＝5，
故点M、N的坐标分别为（2，﹣4）、（4，﹣2），则k＝2×（﹣4）＝﹣8，
故反比例函数表达式为y＝﹣，
将点M、N的坐标代入一次函数表达式得，解得，
故一次函数表达式为y＝x﹣6；

（2）观察函数图象知，不等式mx+b﹣≥0的解集为x≥4或0＜x≤2；

（3）将点C、D的坐标分别代入反比例函数表达式得：ax1＝﹣8，（a﹣1）x2＝﹣8，
则x1﹣x2＝＝，
当＞0时，即a＞1或a＜0时，x1＞x2；
当＜0时，即0＜a＜1时，x1＜x2．
7．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于A、B两点，点B坐标为（4，2），连接OA、OB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC＝CA．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接说出不等式ax+b﹣＜0的解集为　 　；
（3）求△ABC的面积．

【答案】解：（1）如图，过点A作AN⊥x轴于点N，交BD于点E，

∵点B（4，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵B（4，2），
∴EN＝2，
∵BD⊥y轴，OC＝CA，
∴AE＝EN＝AN，
∴AN＝4，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（2，4），
∴4a+b＝2，2a+b＝4，
∴a＝﹣1 b＝6，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；

（2）观察函数图象知，不等式ax+b﹣＜0的解集为：0＜x＜2或x＞4，
故答案为：0＜x＜2或x＞4；

（3）如图，过点A作AF⊥y轴于F，

∵A（2，4），
∵OC＝CA，
∴CD是Rt△AOF的中位线，
∴CD＝AF＝1，同理OD＝OF＝2，
∴C（1，2），
∵A（2，4），
∴BC＝4﹣1＝3，
∴S△ABC＝×BC×（yA﹣yC）＝3×（4﹣2）＝3．
8. 点P(1，a)在反比例函数y＝的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y＝2x＋4的图象上，求此反比例函数的解析式．
【答案】
解：点P(1，a)关于y轴的对称点是(－1，a)．
∵点(－1，a)在一次函数y＝2x＋4的图象上，
∴a＝2×(－1)＋4＝2.
∵点P(1，2)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2.
∴反比例函数的解析式为y＝.
9.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y(k>0，x>0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．
(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
(3)平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．

【答案】(1)点A在该反比例函数的图象上，理由如下：
如图，过点P作x轴垂线PG，连接BP，

∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD=2，
∴BP=2，G是CD的中点，
∴PG，
∴P(2，)，
∵P在反比例函数y上，
∴k=2，
∴y，
由正六边形的性质，A(1，2)，
∴点A在反比例函数图象上；
(2)由题易得点D的坐标为(3，0)，点E的坐标为(4，)，
设直线DE的解析式为y=ax+b，
∴，
∴，
∴yx﹣3，
联立方程，
解得x(负值已舍)，
∴Q点横坐标为；
(3)A(1，2)，B(0，)，C(1，0)，D(3，0)，E(4，)，F(3，2)，
设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为
∴A(1﹣m，2n)，B(﹣m，n)，C(1﹣m，n)，D(3﹣m，n)，E(4﹣m，n)，
F(3﹣m，2n)，
①将正六边形向左平移两个单位后，E(2，)，F(1，2)；
则点E与F都在反比例函数图象上；
②将正六边形向左平移–1个单位，再向上平移个单位后，C(2，)，B(1，2)，
则点B与C都在反比例函数图象上；
③将正六边形向左平移2个单位，再向上平移–2个单位后，B(﹣2，)，C(﹣1，﹣2)；
则点B与C都在反比例函数图象上．
10．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与y轴交于点A，过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象，反比例函数y＝的图象分别交于点C，D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；
（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．

【答案】解：（1）∵过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与反比例函数y＝的图象交于点D，
∴点D的纵坐标为2m，
∴2m＝，x＝2，
∴D（2，2m）；
（2）当m＝1时，B（0，2），D（2，2），
∵过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象交于点C，
∴2m＝x+m，x＝m，
∴C（m，2m），
∴C（1，2），
∴BD＝＝2，CD＝＝1，
∴BD＝2CD；
（3）∵B（0，2m），C（m，2m），D（2，2m），
∴BD＝2，CD＝|m﹣2|，
∵BD≤CD，
∴|m﹣2|≥2，
∴m≥4或m＜0．
11．如图，已知A（﹣3，n），B（2，﹣3）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）写出一次函数和反比例函数的解析式　 　；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣＝0的解；
（3）观察图象，直接写出kx+b﹣＜0的解集；
（4）求△AOB的面积．

【答案】解：（1）B（2，﹣3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝2×（﹣3）＝﹣6，
则反比例函数的解析式是y＝﹣，
当x＝﹣3时，y＝n＝2，
则A的坐标是（﹣3，2）．
根据题意得，
解得：，
则一次函数的解析式是y＝﹣x﹣1．
故答案是：y＝﹣x﹣1，y＝﹣；

（2）根据题意得方程kx+b﹣＝0的解是x＝﹣3或2；

（3）kx+b﹣＜0的解集是：﹣3＜x＜0或x＞2；

（4）在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，解得x＝﹣1，
则C的坐标是（﹣1，0）
S△AOC＝×1×2＝1，S△BOC＝×1×3＝，
S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1+＝．
12．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．

【答案】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，
a＝＝2，
∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，
∴正比例函数的关系式为y＝2x；
（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，
∴OB＝5，
当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，
∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，
∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6．
13．疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元）与日销售量y（只）之间有如下关系：
日销售单价x（元）
3
4
5
6
日销售量y（只）
2000
1500
1200
1000
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；
（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，
（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
【答案】解：（1）由表可知，xy＝6000，
∴y＝ （x＞0）；

（2）根据题意，得：
W＝（x﹣2）•y＝（x﹣2）•＝6000﹣；
（3）∵x≤10，
∴6000﹣≤4800，
即当x＝10时，W取得最大值，最大值为4800元，
答：当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是4800元．
14．如图，反比例函数y＝（x＞0）与直线AB：交于点C（，m），点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当△POQ面积最大时，求P点坐标．

【答案】解：（1）将点C的坐标代入一次函数表达式得：m＝（22）﹣2＝﹣1，
故点C（2+2，﹣1），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：﹣1＝，解得k＝4，
故反比例函数表达式为y＝；

（2）设点P（m，），则点Q（m，m﹣2），
则△POQ面积＝PQ×xP＝（﹣m+2）•m＝﹣m2+m+2，
∵﹣＜0，故△POQ面积有最大值，此时m＝﹣＝2，
故点P（2，2）．
15．如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为　 　；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为　 　．

【答案】解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；

（3）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．

16．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．
（1）这场沙尘暴的最高风速是　 　千米/小时，最高风速维持了　 　小时；
（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有　 　小时．

【答案】解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；
4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4＝32千米/时，
10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；
故答案为：32，10；

（2）设y＝，
将（20，32）代入，得32＝，
解得k＝640．
所以当x≥20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为y＝；
（3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，
∴4.5时风速为10千米/时，
将y＝10代入y＝，
得10＝，解得x＝64，
64﹣4.5＝59.5（小时）．
故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时．
故答案为：59.5．