2022年中考复习数学考点专题训练——专题九：图形的相似(含答案)

这是一份2022年中考复习数学考点专题训练——专题九：图形的相似(含答案)，共39页。
备战2022中考数学考点专题训练——专题九：图形的相似

1．如图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，DE＝2，那么AD•BC＝　 　．

2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为　 　．

3．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为　 　．

4．九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度．在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH＝30°，CD＝1.6m，DG＝0.8m，BE＝2.1m，EF＝1.7m，则电杆的高约为　 　m．（精确到0.1，参考数据：，）

5．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝　 　．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　 　．

7．如图，AB⊥CB于点B，AC⊥CD于点C，AB＝6，AC＝10，当CD＝　 　时，△ABC∽△ACD．

8．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为　 　cm．

9．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD＝2DE．若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为　 　．

10．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，且DE将△ABC分成面积相等的两部分．把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上，DF交BC于点G，EF交BC于点H，那么＝　 　．

11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，正方形EFDQ、正方形MNPQ公共顶点记为点Q，其余的各个顶点都在Rt△ABC的边上，若AC＝5，BC＝3，则EP＝　 　．

12．如图，边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的点P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3（反射角等于入射角）．
（1）若∠P2P3B＝45°，CP1＝　 　；
（2）若＜BP3＜，则P1C长的取值范围是　 　．

13．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为　 　时，使得△BOC∽△AOB．

14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为　 　．

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，S△AOD：S△BOC＝1：9，AD＝2，则BC的长是　 　．

16．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝　 　．

17．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为　 　．

18．如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA＝20cm，AA′═50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长比是　 　．

19．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为　 　．

20．如图，∠DAB＝∠EAC，请补充一个条件：　 　，使△ADE∽△ABC（只写一个答案即可）．

21．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且BC：EF＝3：2，则S△ABC：S△DEF＝　 　．

22．如图，平行四边形ABCD的面积是16，对角线AC、BD相交于点O，点M1、N1、P1分别为线段OD、DC、CO的中点，顺次连接M1N1、N1 P1、P1M1得到第一个△P1M1N1，面积为S1，分别取M1N1、N1P1、P1M1三边的中点P2、M2、N2，得到第二个△P2M2N2，面积记为S2，如此继续下去得到第n个△PnMnNn，面积记为Sn，则Sn﹣Sn﹣1＝　 　．（用含n的代数式表示，n≥2，n为整数）

23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于　 　．

24．某校举行数学家“摇篮杯”会徽设计大赛，小明设计的会徽如图所示，正△DEF和正△GMN是由正△ABC旋转2次得到，其中阴影部分的面积是空白部分面积的3倍，若正△ABC的边长是6cm，则正△GEC的边长是　 　cm．

25．如图：点M是Rt△ABC的斜边BC上不与B、C重合的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，这样的直线共有　 　条．

26．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，cosA＝，则k的值为　 　．

27．在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），以OA为直径在第二象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，作点A关于点B的对称点D，过点D作x轴垂线，分别交直线OB、x轴于点E、F，点F为垂足，当DF＝4时，线段EF＝　 　．

28．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝　 　．

29．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是　 　．

30．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为　 　．

31．如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，Pn，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，Pn﹣1Pn＝2n﹣1（n为正整数），分别过点P1，P2，P3，…，Pn向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Qn，则点Qn的坐标为　 　．

32．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，若AB＝15，AF＝4，则DE＝　 　．

33．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF：GH＝　 　．

34．如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处．若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为　 　．

































备战2021中考数学考点专题训练——专题九：图形的相似参考答案
1．如图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，DE＝2，那么AD•BC＝　 　．

【答案】解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴AD•BC＝DE•AB，且DE＝2，AB＝5，
∴AD•BC＝10，
故答案为：10．
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为　 　．

【答案】解：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，
∴AB＝2BC＝8cm，
∵D为BC中点，
∴BD＝2cm，
∵0≤t＜12，
∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，
按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，
①当0≤t≤8时，AE＝tcm，BE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，
当∠EDB＝90°时，则有AC∥ED，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
此时AE＝4cm，可得t＝4；
当∠DEB＝90°时，
∵∠DEB＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴＝，即＝，解得t＝7；
②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；
综上可知t的值为4或7或9，
故答案为：4或7或9．
3．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为　 　．

【答案】解：∵直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0可得y＝1；
令y＝0可得x＝﹣2，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴＝＝，
∴O′B′＝3，AO′＝6，
∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．
故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．
4．九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度．在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH＝30°，CD＝1.6m，DG＝0.8m，BE＝2.1m，EF＝1.7m，则电杆的高约为　 　m．（精确到0.1，参考数据：，）

【答案】解：延长AF交BH于点N，过点F作FM⊥BH于点M，
∵∠FEH＝30°，EF＝1.7m，
∴FM＝0.85m，
∴EM＝×1.7≈1.47，
由题意可得出：AB∥FM，
∴＝，
∵CD＝1.6m，DG＝0.8m，
∴MN＝0.425m，
∵BE＝2.1m，
∴BN＝2.1+1.47+0.425≈4.0（m），
∵＝，
∴＝，
解得：AB＝8.0（m）．
答：电杆的高约8.0m．
故答案为：8.0．

5．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝　 　．

【答案】解：∵∠ACB＝90°，AO＝OB，
∴OC＝OA＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，
∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，

∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，
∴∠OMC+∠B＝180°，
∴∠MOB+∠BCM＝180°，
∴∠MOB＝90°，
∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOM∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
∴CM＝AC﹣AM＝8﹣＝．

②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，

∵∠BOC＝∠OMN，
∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，
∴∠MOC＝∠A，
∵∠MCO＝∠ACO，
∴△OCM∽△ACO，
∴OC2＝CM•CA，
∴25＝CM•8，
∴CM＝，
故答案为或．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　 　．

【答案】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBE，
∴CD＝BC＝6，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∴CE＝AC＝×8＝3，
BE＝，
DE＝BE＝×＝，
故答案为．

7．如图，AB⊥CB于点B，AC⊥CD于点C，AB＝6，AC＝10，当CD＝　 　时，△ABC∽△ACD．

【答案】解：∵AB⊥CB，AC⊥CD，AB＝6，AC＝10，
∴∠B＝∠ACD＝90°，BC＝8，
∵△ABC∽△ACD
∴当AB：BC＝AC：CD时
∴，
解得CD＝．
8．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为　 　cm．

【答案】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm，
∴投影三角形的对应边长为：8÷＝20（cm）．
故答案为：20．
9．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD＝2DE．若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为　 　．

【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵CD＝2DE，
∴CE＝3DE，AB＝2DE，
∴＝，＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∴＝（）2＝，＝（）2＝，
∵△DEF的面积为1，
∴△CEB的面积是9，△ABF的面积是4，
∴四边形BCDF的面积是9﹣1＝8，
∴平行四边形ABCD的面积是8+4＝12，
故答案为：12．
10．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，且DE将△ABC分成面积相等的两部分．把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上，DF交BC于点G，EF交BC于点H，那么＝　 　．

【答案】解：
连接AF，交DE于M，交BC于N，
∵把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点F的位置上，
AF⊥BC．AM＝FM，
∵DE∥DE
∴△ADE∽△ABC，AF⊥BC，
∵DE将△ABC分成面积相等的两部分，
∴＝，
∴＝，
∴＝
∴＝，
∴＝＝2﹣，
∵BC∥DE，
∴△FHG∽△FED，
∴＝＝2﹣．
故答案为：2﹣．
11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，正方形EFDQ、正方形MNPQ公共顶点记为点Q，其余的各个顶点都在Rt△ABC的边上，若AC＝5，BC＝3，则EP＝　 　．

【答案】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，由勾股定理得：AB＝4，
过P作PG⊥BC于G，
∵四边形EFDQ和四边形QMNP是正方形，
∴∠CGP＝∠QMN＝∠QDF＝∠B＝90°，PN＝MN＝MQ，
∴∠GPN+∠GNP＝90°，∠GNP+∠BNM＝90°，
∴∠GPN＝∠BNM，
同理∠BNM＝∠QMD，
在△GPN、△BNM、△DMQ中，
∠PGN＝∠B＝∠QDM＝90°，∠GPN＝∠BNM＝∠DMQ，PN＝MN＝QM，
∴△QDM≌△MBN≌△NGP，
∴PG＝BN＝DM，GN＝BM＝DQ，
∵∠PGC＝∠B＝90°，
∴△CGP∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝
同理＝，＝，
设EF＝3a，CG＝3b，则AE＝5a，AF＝4a，PC＝5b，PG＝4b＝BN＝DM，GN＝BM＝DQ＝EF＝3a，
可列一元二次方程组：
解得：a＝，b＝
EP＝5﹣5a﹣5b＝，
故答案为：．

12．如图，边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的点P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3（反射角等于入射角）．
（1）若∠P2P3B＝45°，CP1＝　 　；
（2）若＜BP3＜，则P1C长的取值范围是　 　．

【答案】解：（1）过P0作P0H⊥AC于H，
∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B，
又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°，
∴△P0P1C∽△P2P3B，
∴∠CP1P0＝∠P2P3B＝45°，
∴P0H＝P1H，
∵P0是BC边的中点，
∴CP0＝1，
∴CH＝，P0H＝P1H＝，
∴CP1＝+＝；
故答案为：；

（2）∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B，
又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°，
∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，
∴＝＝，
设P1C＝x，P2A＝y，则P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．
∴＝，
∴，
∴x＝（2+P3B），
又∵＜BP3＜，
∴＜x＜，
即P1C长的取值范围是：＜P1C＜，
故答案为：＜P1C＜．

13．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为　 　时，使得△BOC∽△AOB．

【答案】解：∵△BOC∽△AOB，
∴＝，
∴＝，
∴OC＝1，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）；
故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．
14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为　 　．

【答案】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，
∴＝，
∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝；
故答案为：1：16．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，S△AOD：S△BOC＝1：9，AD＝2，则BC的长是　 　．

【答案】解：∵AD∥BC，
∴△AOD～△COB，
∵S△AOD：S△BOC＝1：9，
∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝2，
∴BC＝6．
故答案为：6．
16．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝　 　．

【答案】解：∵∠ACB＝90°，AO＝OB，
∴OC＝OA＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，
∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，

∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，
∴∠OMC+∠B＝180°，
∴∠MOB+∠BCM＝180°，
∴∠MOB＝90°，
∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOM∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
∴CM＝AC﹣AM＝8﹣＝．

②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，

∵∠BOC＝∠OMN，
∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，
∴∠MOC＝∠A，
∵∠MCO＝∠ACO，
∴△OCM∽△ACO，
∴OC2＝CM•CA，
∴25＝CM•8，
∴CM＝，
故答案为或．
17．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为　 　．

【答案】解：如图，
∵GF∥HC，
∴△AGF∽△AHC，
∴＝＝，
∴GF＝HC＝，
∴OF＝OG﹣GF＝2﹣＝．
同理MN＝，则有OM＝．
∴S△OFM＝××＝，
∴S阴影＝1﹣＝．
故答案为：．

18．如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA＝20cm，AA′═50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长比是　 　．

【答案】解：如图，∵OA＝20cm，AA′＝50cm，
∴＝＝＝，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比＝AB：A′B′＝2：7．
故答案为2：7．

19．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为　 　．

【答案】解：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，

∵PC∥AE，
∴＝，
而AM＝CM，
∴PC＝AE，
∵AE＝AB，
∴CP＝AB，
∴CP＝BE，
∵CP∥BE，
∴＝＝，
∴BD＝3CD，
∴BC＝2CD，即BC：CD为2：1，
故答案为：2：1．
20．如图，∠DAB＝∠EAC，请补充一个条件：　 　，使△ADE∽△ABC（只写一个答案即可）．

【答案】解：∵∠DAB＝∠CAE
∴∠DAE＝∠BAC
∴当∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE时两三角形相似．
故答案为：∠D＝∠B（答案不唯一）．
21．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且BC：EF＝3：2，则S△ABC：S△DEF＝　 　．

【答案】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，
∵BC：EF＝3：2，
∴＝（）2＝，
故答案为：9：4．
22．如图，平行四边形ABCD的面积是16，对角线AC、BD相交于点O，点M1、N1、P1分别为线段OD、DC、CO的中点，顺次连接M1N1、N1 P1、P1M1得到第一个△P1M1N1，面积为S1，分别取M1N1、N1P1、P1M1三边的中点P2、M2、N2，得到第二个△P2M2N2，面积记为S2，如此继续下去得到第n个△PnMnNn，面积记为Sn，则Sn﹣Sn﹣1＝　 　．（用含n的代数式表示，n≥2，n为整数）

【答案】解：∵平行四边形ABCD被对角线所分的四个小三角形面积相等，
∴S△OCD＝16×＝4，
∵M1、N1、P1分别为各边中点，故将△OCD分为四个面积相等的三角形，
∴S△M1N1P1＝4×＝1，依次往下，M2、N2、P2又将△M1N1P1的面积分为相等四分，故S2＝S△M2N2P2＝S△M1N1P1＝4××＝4×，
依此类推…
∴Sn＝4×，
∴Sn﹣1＝4×，
∴Sn﹣Sn﹣1＝4×﹣4×＝﹣．
故答案为：﹣．
23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于　 　．

【答案】解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
24．某校举行数学家“摇篮杯”会徽设计大赛，小明设计的会徽如图所示，正△DEF和正△GMN是由正△ABC旋转2次得到，其中阴影部分的面积是空白部分面积的3倍，若正△ABC的边长是6cm，则正△GEC的边长是　 　cm．

【答案】解：∵△ABC、△CGE是等边三角形，
∴∠B＝∠GEC＝60°，
∴GE∥AB，
∵阴影部分的面积是空白部分面积的3倍，
∴四边形AGEB是等腰梯形，且它的面积等于△GCE的面积，
∴△GEC的面积是△ABC面积的，
有S△GEC：S△ABC＝GE2：AB2＝1：2，
∴GE＝3cm．

25．如图：点M是Rt△ABC的斜边BC上不与B、C重合的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，这样的直线共有　 　条．

【答案】解：∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意．
∴过点M作直线l共有三条，
故答案为：3．

26．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，cosA＝，则k的值为　 　．

【答案】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
则∠BOD+∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，cosA＝，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，tanA＝，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴△OBD∽△AOC，
∴＝（）2＝（tanA）2＝2，
又∵S△AOC＝×2＝1，
∴S△OBD＝2，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．

27．在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），以OA为直径在第二象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，作点A关于点B的对称点D，过点D作x轴垂线，分别交直线OB、x轴于点E、F，点F为垂足，当DF＝4时，线段EF＝　 　．

【答案】解：①当点D在第二象限时，连接OD，
∵点A、点D关于B点对称，
∴OD＝OA＝5．
在Rt△ODF中，OD＝5，DF＝4，∠DFO＝90°，
∴OF＝＝3，
∴AF＝OA﹣OF＝2．
∵AO为⊙C的直径，
∴∠ABO＝90°，
∴∠DBE＝90°＝∠DFA，
又∵∠BDE＝∠FDA，
∴△BDE∽△FDA，
∴．
在Rt△ADF中，AF＝2，DF＝4，∠AFD＝90°，
∴AD＝＝2．
∵OA＝OD，且OB⊥AD，
∴AB＝DB＝AD＝，
∴DE＝＝，
∴EF＝DF﹣DE＝；
②当点D在第一象限时，连接OD，
∵AO为直径，
∴∠ABO＝90°＝∠DBO．
在△ABO和△DBO中，，
∴△ABO≌△DBO（SAS），
∴DO＝AO＝5，
∴OF＝＝＝3，
DA＝＝＝4，
∴AB＝DB＝2．
∵∠DBE＝∠DFA＝90°，∠BDE＝∠FDA，
∴△BDE∽△FDA，
∴，
∴DE＝＝10，
∴EF＝DE﹣DF＝10﹣4＝6．
综上所述：EF的长度为或6．
故答案为：或6．

28．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝　 　．

【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，又AB＝，BC＝，
∴BD＝＝3，
∵BE＝1.8，
∴DE＝3﹣1.8＝1.2，
∵AB∥CD，
∴＝，即＝，
解得，DF＝，
则CF＝CD﹣DF＝，
∴＝＝，
故答案为：．
29．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是　 　．

【答案】解：∵∠B＝∠D，
∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．
30．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为　 　．

【答案】证明：∵AB＝6，D是边AB的中点，
∴AD＝3，
∵AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠EAF，
∵∠ADE＝∠C，
∴△ADF∽△ACG；
∴＝＝，
故答案为：．
31．如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，Pn，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，Pn﹣1Pn＝2n﹣1（n为正整数），分别过点P1，P2，P3，…，Pn向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Qn，则点Qn的坐标为　 　．

【答案】解：∵△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，
∴∠AOC＝30°，
又∵Pn﹣1Pn＝2n﹣1，PnQn⊥OA，
∴OQn＝（OP1+P1P2+P2P3+…+Pn﹣1Pn）＝（1+3+5+…+2n﹣1）＝n2，
∴Qn的坐标为（n2•cos60°，n2•sin60°），
∴Qn的坐标为（n2，n2）．
故答案为：（n2，n2）．
32．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，若AB＝15，AF＝4，则DE＝　 　．

【答案】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∵DE∥AC，EF∥BC，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∴DE＝CF，
设DE＝x，则AE＝CF＝x，
∵EF∥BC，
∴＝，即＝，
整理得x2+4x﹣60＝0，解得x1＝6，x2＝﹣10（舍去），
∴DE＝6．
故答案为6．

33．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF：GH＝　 　．

【答案】解：过点H，F作HM⊥BC，FN⊥BC，

由EF⊥GH，∠GHM+∠HON＝∠EFN+∠FOG＝90°，
又∵∠HON＝∠FOG（对顶角相等），
∴可得∠GHM＝∠EFN，
∴Rt△MHG∽Rt△NFE
∴EF：GH＝NF：HM＝BC：AB＝3：2．
34．如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处．若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为　 　．

【答案】解：∵点A（2，0），点B（0，1），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1
∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，
∴直线L的解析式为；y＝2x﹣4，
∠BAO+∠PAC＝90°，
∵PC⊥x轴，
∴∠PAC+∠APC＝90°，
∴∠BAO＝∠APC，
∵∠AOB＝∠ACP，
∴△AOB∽△PCA，
∴＝，
∴＝＝，
设AC＝m，则PC＝2m，
∵△PCA≌△PDA，
∴AC＝AD，PC＝PD，
∴＝＝，
如图1：当△PAD∽△PBA时，

则 ＝，
则 ＝＝，
∵AB＝＝，
∴AP＝2，
∴m2+（2m）2＝（2）2，
∴m＝±2，
当m＝2时，PC＝4，OC＝4，P点的坐标为（4，4），
当m＝﹣2时，如图2，

PC＝4，OC＝0，P点的坐标为（0，﹣4），
如图3，若△PAD∽△BPA，

则 ＝＝，
PA＝AB＝，
则m2+（2m）2＝（）2，
∴m＝±，
当m＝时，PC＝1，OC＝，P点的坐标为（，1），
当m＝﹣时，如图4，PC＝1，OC＝，P点的坐标为（，﹣1）；

故答案为：P（4，4），P（0，﹣4），P（，﹣1），P（，1）．