2021年九年级中考数学考点专题训练——专题十一：圆(含答案)

这是一份2021年九年级中考数学考点专题训练——专题十一：圆(含答案)，共28页。试卷主要包含了阅读下列材料，已知在△ABC中，BC⊥AB等内容，欢迎下载使用。
备战2021中考数学考点专题训练——专题十一：圆
1．阅读下列材料：如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心在P（2，1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝25．
（1）填空：以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为　 　．
（2）根据以上材料解决下列问题：如图2，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．
①连接EC，证明EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点P，使PB＝PC＝PE＝PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．







2．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．






3．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．







4．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，连接AD，BC，已知AE＝AD，∠BAD＝34°．
（1）如图①，连接CO，求∠ADC和∠OCD的大小；
（2）如图②，过点D作⊙O的切线与CB的延长线交于点F，连接BD，求∠BDF的大小．




5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3CD，BF＝2，求⊙O的半径．



6．已知在△ABC中，BC⊥AB．AB是⊙O的弦，AC交⊙O于点D，且D为AC的中点，延长CB交⊙O于点E，连接AE．
（I）如图①，若∠E＝50°，求∠EAC的大小；
（1）如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．若CF＝2CD，求∠CAB的大小．










7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝1，求EF的长．










8．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．
（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；
（2）若直径AB的长为4．
①当PE＝　 　时，四边形BOPQ为正方形；
②当PE＝　 　时，四边形AEOP为菱形．










9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若＝，AC＝2，求CD的长．











10．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．










11．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．
（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；
（2）证明：PD是⊙O的切线；
（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．











12．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．
（1）求证：直线DH是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．










13．已知：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2在⊙O1上（如图）．
（1）AD是⊙O2的直径，连接DB并延长交⊙O1于点C，求证：CO2⊥AD．
（2）若AD是⊙O2的非直径的弦，直线DB交⊙O1于点C，则（1）中的结论是否成立，为什么？请加以证明．














14．如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．
（1）求证：OE＝AC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求PB的长．










15．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，D为上一点，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，连接AD，若AD＝CD，∠P＝30°，求∠CAP的大小．











16．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．










17．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，CE＝2，求DE．












备战2021中考数学考点专题训练——专题十一：圆参考答案
1．阅读下列材料：如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心在P（2，1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝25．
（1）填空：以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为　 　．
（2）根据以上材料解决下列问题：如图2，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．
①连接EC，证明EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点P，使PB＝PC＝PE＝PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为：（x+1）2+（y+2）2＝2；
故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝2．
（2）①证明：∵BD⊥OC，
∴CD＝OD，
∴BE垂直平分OC，
∴EO＝EC，
∴∠EOC＝∠ECO，
∵BO＝BC，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴∠EOC+∠BOC＝∠ECO+∠BCO，
∴∠BOE＝∠BCE＝90°，
∴BC⊥CE，
∴EC是⊙B的切线；
②存在，
∵∠BOE＝∠BCE＝90°，
∴点C和点O都在以BE为直径的圆上，
∴当P点为BE的中点时，满足PB＝PC＝PE＝PO，
∵B点坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠AOC+∠DOE＝90°，∠DOE+∠BEO＝90°，
∴∠BEO＝∠AOC，
∴，
在Rt△BOE中，，
∴，
∴BE＝5，
∴，
∴E点坐标为（0，4），
∴线段AB的中点P的坐标为，
∴以为圆心，以为半径的⊙P的方程为．
2．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．

【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AH∥OD，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）解：连接BC交OD于E，
∵AB是半圆AOB的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC＝2CE＝4，
∵sin∠BAC＝＝，
∴AB＝12，
即半圆的直径为12．

3．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠3＝∠2，
∵AD平分∠CAM，
∴∠2＝∠1，
∴∠1＝∠3，
∴MN∥OD，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝3（cm），
∵DE⊥MN，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADC＝∠AED，
又∵∠2＝∠1，
∴△ADC∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AC＝15（cm），
∴OA＝AC＝cm，
即⊙O的半径为cm．

4．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，连接AD，BC，已知AE＝AD，∠BAD＝34°．
（1）如图①，连接CO，求∠ADC和∠OCD的大小；
（2）如图②，过点D作⊙O的切线与CB的延长线交于点F，连接BD，求∠BDF的大小．

【答案】解：（1）连接OD，
∵AE＝AD，∠BAD＝34°，
∴∠ADC＝∠AED＝（180°﹣34°）＝73°，
∵OA＝OD＝OC，
∴∠ADO＝∠A＝34°，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝73°﹣34°＝39°；
（2）连接OD，
∵DF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO＝∠BDF，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠BDF＝∠BAD＝34°．


5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3CD，BF＝2，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∴∠1＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AC＝AB，
∴CD＝BD，
∵AC＝3CD，
∴AB＝3BD，
设BD＝x，则AB＝3x，
∴AD＝2x，
∵∠BDF+∠1＝∠ADO+∠1＝90°，
∴∠BDF＝∠ADO，
∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠BDF＝∠DAF，
∵∠F＝∠F，
∴△ADF∽△DBF，
∴＝，
∴＝＝，
∴DF＝2，x＝2，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3．

6．已知在△ABC中，BC⊥AB．AB是⊙O的弦，AC交⊙O于点D，且D为AC的中点，延长CB交⊙O于点E，连接AE．
（I）如图①，若∠E＝50°，求∠EAC的大小；
（1）如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．若CF＝2CD，求∠CAB的大小．

【答案】解：（1）连接ED，如图1，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴ED⊥AC，
∵AD＝DC，
∴AE＝CE，
∴∠AED＝∠CED＝AEC＝＝25°，
∴∠EAC＝90°﹣∠AED＝90°﹣25°＝65°；
（2）连接ED，如图2，
∵D为AC的中点，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是直径，
∵EF是⊙OO的切线，
∴∠AEF＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AC＝2CD，
∵CF＝2CD，
∴AC＝CF，
∴CE＝＝AC，
由（1）得AE＝CE，
∴AE＝CE＝AC，
∴∠EAC＝60°，
∵AB⊥EC，
∴∠CAB＝＝30°


7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝1，求EF的长．

【答案】解：（1）连接OC，∵AO＝CO，AD＝CD，OD＝OD，
∴△ADO≌△CDO（SSS），
∴∠AOD＝∠COD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠COD，
∴OD∥BC；
（2）连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，
∵AB＝AD，AD是圆的切线，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，∠DAF＝∠45°，
∵∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠DAF＝∠DEF＝45°，
∴AF＝DF，
∴∠AFE＝∠DFM，
∵∠EAF＝∠FDM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∵OA＝1，
∴AE＝DM＝，DE＝，
∴EM＝，
∴EF＝．


8．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．
（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；
（2）若直径AB的长为4．
①当PE＝　 　时，四边形BOPQ为正方形；
②当PE＝　 　时，四边形AEOP为菱形．

【答案】（1）证明：∵OQ∥AP，
∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO，
又∵OP＝OA，
∴∠APO＝∠OAP，
又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP，
∴∠POQ＝∠BOQ，
在△BOQ与△POQ中，
，
∴△POQ≌△BOQ（SAS），
∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，
∵点P在⊙O上，
∴PQ是⊙O的切线；
（2）解：①∵△POQ≌△BOQ，
∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°，
当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，
而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB＝2；
②∵PE⊥AB，
∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，
∵OC＝OA＝1，
∴PC＝＝＝，
∴PE＝2PC＝2．
故答案为：2；2．
9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若＝，AC＝2，求CD的长．

【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1＝∠4．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图2，

连接BC，
∵＝，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2（负值舍去），
∴AD＝4，
∴CD＝＝2．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

【答案】（1）证明：连接OA．

∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠BAD．
（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．

则＝＝，
∴＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2＝，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝．
11．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．
（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；
（2）证明：PD是⊙O的切线；
（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．

【答案】（1）证明：连接OD、OP、CD．

∵AD•AO＝AM•AP，
∴，∠A＝∠A，
∴△ADM∽△APO．
（2）证明：∵△ADM∽△APO，
∴∠ADM＝∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，
∵OD＝OM，
∴∠DMO＝∠MDO，
∴∠DOP＝∠POC，
∵OP＝OP，OD＝OC，
∴△ODP≌△OCP（SAS），
∴∠ODP＝∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP＝90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线．
（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，

∵AM＝MC，
∴AM＝2MO＝2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，
∴R2+122＝9R2，
∴R＝3，
∴OD＝3，MC＝6，
∵，
∴，
∴AP＝18，
∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，
∵O是MC的中点，
∴，
∴点P是BC的中点，
∴PB＝CP＝DP＝6，
∵MC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠CDM＝90°，
在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，
∴BM＝＝＝6，
∵△BCM∽△CDM，
∴，即，
∴DM＝2．
12．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．
（1）求证：直线DH是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．

【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，
∴∠AOD＝AOB＝90°，
∵DH∥AB，
∴∠ODH＝90°，
∴OD⊥DH，
∴直线DH是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵点D是半圆AB的中点，
∴＝，
∴AD＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD＝180°，
∵∠DBH+∠CBD＝180°，
∴∠CAD＝∠DBH，
由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∵DH∥AB，
∴∠BDH＝∠OBD＝45°，
∴∠ACD＝∠BDH，
∴△ACD∽△BDH，
∴，
∴＝，
解得：BH＝．

13．已知：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2在⊙O1上（如图）．
（1）AD是⊙O2的直径，连接DB并延长交⊙O1于点C，求证：CO2⊥AD．
（2）若AD是⊙O2的非直径的弦，直线DB交⊙O1于点C，则（1）中的结论是否成立，为什么？请加以证明．

【答案】（1）连结AB，如图1，
∵AD是⊙O2的直径，
∴∠ABD＝90°，得∠A+∠D＝90°．
又∵∠C＝∠A，
∴∠C+∠D＝90°，
得∠CO2D＝90°，即CO2⊥AD；

（2）（1）中的结论仍成立．证明如下：
连结直径AO2交⊙O2于点D′，连D′B并延长交⊙O1于点C′，连O2C′，如图2，
由（1）知C′O2⊥AD′，
又∠A＝∠DBD′，
∠DBD′＝∠CBC′，
∠CBC′＝∠CO2C′，
∴∠A＝∠CO2C′，
∵C′O2⊥AD，
∴∠AO2C+∠CO2C′＝90°，
∴∠AO2C+∠A＝90°，
∴CO2⊥AD．
14．如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．
（1）求证：OE＝AC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求PB的长．

【答案】证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C
∴PB＝PC，∠BPO＝∠CPO．
∴PO⊥BC，BE＝CE．
∵OB＝OA，
∴OE＝AC；
（2）∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°．
由（1）可得∠BEO＝90°，OE＝AC＝3．
∴∠OBP＝∠BEO＝90°．
∴tan∠BOE＝＝，
在Rt△BEO中，OE＝3，OB＝5，
∴BE＝4．
∴PB＝．
15．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，D为上一点，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，连接AD，若AD＝CD，∠P＝30°，求∠CAP的大小．

【答案】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，
∵∠CAB＝27°，
∴∠COB＝2∠CAB＝54°，
在Rt△AOE中，∠P+∠COP＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠COP＝36°；
（Ⅱ）连接OC，OD，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠COD，
∵OA＝OD＝OC，
∴∠OAD＝∠ADO＝∠ODC＝∠DCO，
∵∠P＝30°，
∴∠PAD+∠ADP＝150°，
∴∠COP＝∠DCO﹣∠P＝20°，
∵∠CAP＝COP，
∴∠CAP＝10°．


16．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，CE＝2，求DE．

【答案】解：（1）如图，连接OD，AD，

∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAD＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠CDE．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ACB＝∠B，
∴cos∠ACB＝cosB，
∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，
∴AD＝＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴，即，
解得：DE＝4．