2021年九年级中考复习数学考点训练——几何专题：《圆的综合》(四)及答案

这是一份2021年九年级中考复习数学考点训练——几何专题：《圆的综合》(四)及答案，共27页。试卷主要包含了初步思考，已知等内容，欢迎下载使用。
备战2021年九年级中考数学考点训练——几何专题：
《圆的综合》（四）
1．（1）初步思考：
如图1，在△PCB中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN＝PC
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD﹣PC的最大值．


2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与⊙O交于点D，E为⊙O上一点，且满足∠EAC＝∠ACB，连接BD，BE．
（1）求证：∠ABE＝2∠CBD；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE＝6，BF＝，求⊙O的半径长．

3．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．
（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；
（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD；
（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．




4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．
（1）求线段AE的长；
（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；
（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．





5．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4．
①当OD＝3，求AD的长度；
②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．


6．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是BC边上一动点，连接AE、DE，作△ECD的外接⊙O，交AD于点F，交AE于点G，连接FG．
（1）求证△AFG∽△AED；
（2）当BE的长为　 　时，△AFG为等腰三角形；
（3）如图②，若BE＝1，求证：AB与⊙O相切．







7．如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE．

（1）当时，
①若＝130°，求∠C的度数；
②求证AB＝AP；
（2）当AB＝15，BC＝20时
①是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；
②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内，则CP的取值范围为　 　．（直接写出结果）

8．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D、E是⊙O上两点，连接AD、DE、AE．
（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；
（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．


9．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；
（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．





10．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：△DAF≌△DCE．
（2）求证：DE是⊙O的切线．
（3）若BF＝2，DH＝，求四边形ABCD的面积．



参考答案
1．（1）证明：如图1，

∵PB＝2，BC＝4，BN＝1，
∴PB2＝4，BN•BC＝4．
∴PB2＝BN•BC．
∴＝．
又∵∠B＝∠B，
∴△BPN∽△BCP．
∴＝＝．
∴PN＝PC；
（2）如图2，在BC上取一点G，使得BG＝1，



（3）同（2）中证法，如图3，

取BG＝1，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的最大值，最大值为．
2．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，即∠CBD+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝∠CBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴∠EAC＝90°﹣∠BAC
＝90°﹣（∠EAC﹣∠BAE），
∴∠BAE＝2∠EAC﹣90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE
＝90°﹣（2∠EAC﹣90°）
＝2（90°﹣∠EAC）
＝2（90°﹣∠ACB）
＝2∠CAB
＝2∠CBD．
∴∠ABE＝2∠CBD；
（2）如图，连接DO并延长交AE于点G，

∵∠DOB＝2∠BAD，
∠ABE＝2∠CAB，
∴∠DOB＝∠ABE，
∴DG∥BE，
∴∠AGO＝∠AEB＝90°，
∴AG＝EG＝AE＝3，
∠AOG＝∠DOF，
OA＝OD，
∴△AOG≌△DOF（AAS）
∴DF＝AG＝3，
又OF＝OB﹣BF＝OD﹣，
在Rt△DOF中，根据勾股定理，得
OD2＝DF2+OF2，
即OD2＝32+（OD﹣）2，
解得OD＝．
答：⊙O的半径长为．
3．证明：（1）∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，
∴∠CAD＝∠ABD，
∴∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠BAC＝90°，
即AB⊥AC，且AO是半径，
∴AC为⊙O的切线；

（2）∵DE2＝EF•EA，
∴，且∠DEF＝∠DEA，
∴△DEF∽△AED，
∴∠EDF＝∠DAE，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD；

（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，

∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，
∴DF＝FH＝2，
∵S△ABF＝AB×FH＝×BF×AD，
∴2AB＝4BF，
∴AB＝2BF，
在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，
∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，
∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）
∴AB＝，
∴⊙O的半径为．
4．解：（1）∵点A（0，4），
∴AO＝4，
∵AD是⊙Q的直径，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠AOB＝90°，
∵BA垂直平分CD，
∴BC＝BD
∴∠ABO＝∠ABE
在△ABE和△ABO中，，
∴△ABE≌△ABO（AAS）
∴AE＝AO＝4；
（2）设BO＝x，则AB＝x+2，
在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴OB＝BE＝3，AB＝5，
∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠EAB＝∠ACB，
∵∠BFA＝∠AFC，
∴△BFA∽△AFC
∴＝＝，
设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），
∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，
∴32+x2＝[（4+x）]2，
解得：x＝，即EF＝，
∴tan∠AFC＝＝＝；
（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，
∴∠ADE＝∠FDE，
∴BD垂直平分AF，
∴EF＝AE＝4；
②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，
∴AB∥DF，
∴∠ADF＝∠CAB＝90°，
∴DF相切⊙Q，
∴∠DAE＝∠FDE，
设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：
则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，
∴OG＝FH，
∵△ABE≌△ABO，
∴∠OAB＝∠EAB，
∵AB⊥AD，
∴∠DAE＝∠CAO，
∵∠CAO＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，
∴AG＝AE＝4，
∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，
综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．

5．（1）证明：连接AF，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，
∴∠BGF+∠AFG＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，
∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，
又∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线；

（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO＝∠ACF，
∴AO∥CF，
∴＝，
∵半径是4，OD＝3，
∴DF＝1，BD＝7，
∴＝＝3，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，
∴＝，
∴AD•CD＝BD•DF，
∴AD•CD＝7，即AD2＝7，
∴AD＝（取正值）；

②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，
∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，
当∠ODC＝90°时，
∵∠ACO＝∠ACF，
∴OD＝DF＝2，BD＝6，
∴AD＝CD，
∴AD•CD＝AD2＝12，
∴AD＝2，AC＝4，
∴S△ABC＝×4×6＝12；
当∠COD＝90°时，
∵OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝4，
延长AO交BC于点M，
则AM⊥BC，
∴MO＝2，
∴AM＝4+2，
∴S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，
∴△ABC的面积为12或8+8．



6．（1）证明：∵四边形FGED是⊙O的内接四边形，
∴∠FGE+∠ADE＝180°，
∵∠AGF+∠FGE＝180°，
∴∠AGF＝∠ADE，
又∠GAF＝∠DAE，
∴△AFG∽△AED；
（2）解：由（1）得：△AFG∽△AED，
∴当△AED为等腰三角形时，△AFG为等腰三角形，
连接EF，如图①所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝9，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵⊙O是△ECD的外接圆，∠ECD＝90°，
∴DE是⊙O的直径，
∴∠DFE＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣∠DFE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BAF＝∠ABE＝∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AF＝BE，EF＝AB＝6，
△AED为等腰三角形，分三种情况：
①当AE＝DE时，
∵∠DFE＝90°，
∴AF＝DF＝AD＝×9＝，
∴BE＝AF＝；
②当DE＝AD＝9时，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝9﹣3；
③当AE＝AD＝9时，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝3；
综上所述，当BE的长为或9﹣3或3时，△AFG为等腰三角形，
故答案为：或9﹣3或3；
（3）证明：过O作OH⊥AB于点H，反向延长OH交CD于点I，如图②所示：
则∠AHI＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠AHI＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴四边形AHID为矩形，
∴HI＝AD＝9，∠OID＝90°，
∴∠ECD＝∠OID，
∴OI∥CE，
∵∠BCD＝90°，
∴DE为直径，
∴OD＝OE，
∴OI是△DCE的中位线，
∴DI＝CD＝3，OI＝EC，
∵BE＝1，BC＝9，
∴EC＝8，
∴OI＝×8＝4，
∴OH＝HI﹣OI＝9﹣4＝5，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE＝＝＝10，
∴⊙O的半径OD＝5
∴OH是⊙O的半径，
又OH⊥AB，
∴AB与⊙O相切．


7．（1）①解：连接BE，如图1所示：
∵BP是直径，
∴∠BEC＝90°，
∵＝130°，
∴＝50°，
∵＝，
∴＝100°，
∴∠CBE＝50°，
∴∠C＝40°；
②证明：∵＝，
∴∠CBP＝∠EBP，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°，
∴∠C＝∠ABE，∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE，
∴∠APB＝∠ABP，
∴AP＝AB；
（2）解：①由AB＝15，BC＝20，
由勾股定理得：AC＝＝＝25，
∵AB•BC＝AC•BE，
即×15×20＝×25×BE
∴BE＝12，
连接DP，如图1﹣1所示：
∵BP是直径，
∴∠PDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴PD∥AB，
∴△DCP∽△BCA，
∴＝，
∴CP＝＝＝CD，
△BDE是等腰三角形，分三种情况：
当BD＝BE时，BD＝BE＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝20﹣12＝8，
∴CP＝CD＝×8＝10；
当BD＝ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD＝BC＝10，
∴CP＝CD＝×10＝；
当DE＝BE时，作EH⊥BC，则H是BD中点，EH∥AB，如图1﹣2所示：
AE＝＝＝9，
∴CE＝AC﹣AE＝25﹣9＝16，CH＝BC﹣BH＝20﹣BH，
∵EH∥AB，
∴＝，
即＝，
解得：BH＝，
∴BD＝2BH＝，
∴CD＝BC﹣BD＝20﹣＝，
∴CP＝CD＝×＝7；
综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7；
②当点Q落在∠CPH的边PH上时，CP最小，如图2所示：
连接OD、OQ、OE、QE、BE，
由对称的性质得：DE垂直平分OQ，
∴OD＝QD，OE＝QE，
∵OD＝OE，
∴OD＝OE＝QD＝QE，
∴四边形ODQE是菱形，
∴PQ∥OE，
∵PB为直径，
∴∠PDB＝90°，
∴PD⊥BC，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴PD∥AB，
∴DE∥AB，
∵OB＝OP，
∴OE为△ABP中位线，
∴PE＝AE＝9，
∴PC＝AC﹣PE﹣AE＝25﹣9﹣9＝7；
当点Q落在∠CPH的边PC上时，CP最大，如图3所示：
连接OD、OQ、OE、QD，
同理得：四边形ODQE是菱形，
∴OD∥QE，
连接DF，
∵∠DBA＝90°，
∴DF是直径，
∴D、O、F三点共线，
∴DF∥AQ，
∴∠OFB＝∠A，
∵OB＝OF，
∴∠OFB＝∠OBF＝∠A，
∴PA＝PB，
∵∠OBF+∠CBP＝∠A+∠C＝90°，
∴∠CBP＝∠C，
∴PB＝PC＝PA，
∴PC＝AC＝12.5，
∴7＜CP＜12.5，
故答案为：7＜CP＜12.5．





8．（1）证明：如图1，连接CO，CE，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠COA＝2∠B＝90°，
∵，
∴∠CAD＝∠CED，
∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°，
即∠AED﹣∠CAD＝45°；

（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M，
则∠CAN＝90°，
∵AC＝BC，AO＝BO，
∴CN⊥AB，
∴AB垂直平分CN，
∴AN＝AC，
∴∠NAB＝∠CAB，
∵AB垂直平分DE，
∴AD＝AE，
∴∠DAB＝∠EAB，
∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB，
即∠GAD＝∠NAE，
∵∠CAN＝∠CME＝90°，
∴AN∥EM，
∴∠NAE＝∠MEA，
∴∠GAD＝∠MEA，
又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA，
∴△ADG≌△EAM（AAS），
∴AG＝EM，AM＝DG，
又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°，
∴∠MEF＝∠GAD，
又∵∠G＝∠FME＝90°，
∴△ADG≌△EFM（ASA），
∴DG＝MF，
∵DG＝AM，
∴AF＝AM+MF＝2DG；

（3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA，
∴△FCD∽△DCA，
∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA，
∵AC＝BC，AB为直径，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°，
∴△GFD为等腰直角三角形，
设GF＝GD＝a，则FD＝a，AF＝2a，
∴＝＝，
∵∠FAK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°，
∴△AFK∽△ADG，
∴＝＝，
在Rt△AFK中，
设FK＝x，则AK＝3x，
∵FK2+AK2＝AF2，
∴x2+（3x）2＝（2a）2，
解得，x＝a（取正值），
∴FK＝a，
在Rt△FKD中，FK2+DK2＝FD2，
∴（a）2+32＝（a）2，
解得，a＝（取正值），
∴GF＝GD＝，AF＝，
∵△FCD∽△DCA，
∴＝，
∴CD2＝CA•FC，
∵CD2＝CG2+GD2，
∴CG2+GD2＝CA•FC，
设FC＝n，
则（﹣n）2+（）2＝（+n）n，
解得，n＝，
∴AC＝AF+CF＝+＝，
∴AB＝AC＝，
⊙O的半径为．



9．（1）证明：连接OC，如图1所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠DCA＝∠B，
∴∠DCA＝∠OCB，
∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，
∴CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AD⊥CD
∴∠ADC＝∠ACB＝90°
又∵∠DCA＝∠B
∴△ACD∽△ABC
∴＝，即＝，
∴AC＝4，
即AC的长为4；
（3）解：AC＝BC+EC；理由如下：
在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，如图2所示：

∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠DAB＝45°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE，
在△AEF和△BEC中，，
∴△AEF≌△BEC（SAS），
∴EF＝CE，∠AFE＝∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝90°+45°＝135°，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣135°＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴△EFC为等腰直角三角形．
∴CF＝EC，
∴AC＝AF+CF＝BC+EC．
10．（1）证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS）；

（2）由（1）知，△DAF≌△DCE，则∠DFA＝∠DEC．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣2）2＝（2）2﹣22，
∴AD＝5．
∴AH＝＝＝2
∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2וAH＝BD•AH＝2×2＝20．即四边形ABCD的面积是20．