山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题（含答案）

怀仁市2020—2021学年度下学期期末

高二教学质量调研测试

理科数学Ⅰ卷

（考试时间120分钟，满分150分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．若，其中为虚数单位，则复数等于（ ）

A．   B．   C．   D．

2．对于自变量和因变量，当取值一定时，的取值带有一定的随机性，，之间的这种非确定性关系叫做（）

A．函数关系   B．线性关系   C．相关关系   D．回归关系

3．下列表述正确的是①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；

A．①②    B．①③    C．①④    D．②④

4．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图（如图），根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）

A．样本中的男生数量多于女生数量   B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量

C．样本中多数男生喜欢现金支付    D．样本中多数女生喜欢手机支付

5．在列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大（   ）

A．与 B．与 C．与 D．与

6．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是．

…由，，可推（ ）

A．270    B．271    C．272    D．273

7．某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的大约2~3天，长的大约10~14天，甚至有20余天。某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图。根据该直方图估计；要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（ ）

A．12    B．13    C．14    D．15

8．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（   ）

A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系

C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米

D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米

9．从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数据中一定正确的是（）

A．平均分   B．方差    C．中位数   D．标准差

10．有一组样本数据，，，…，由这组数据得到新样本数据，其中，，，…，为非零常数，则（ ）

A．两组样本数据的样本平均数相同   B．两组样本数据的样本中位数数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同   D．两组样本数据的样本极差不同

11．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列有以下结论：①；②是一个等差数列；③数列是一个等比数列；④数列的递推公式，其中正确的是（ ）

A．①②④   B．①③④   C．①②    D．①④

12．已知，不等式，，，…，可推广为，则的值为（   ）

A．    B．    C．    D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5，共20分

13．已知函数．则曲线在点处的切线方程______．

14．下列命题中，正确的命题有______．

①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；

②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；

③用相关指数来刻画回归效果，越接近0，说明模型的拟合效果越好；

④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．

15．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动．若点在线段上，且，则动点的极坐标方程______．

16．如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；

（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知复数，．

（1）若为纯虚数，求实数的值；

（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．

18．（12分）已知正项数列的前项和，满足。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：．

19．（12分）某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：

（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：

（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数及众数（保留一位小数）；

（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样（如表），根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？

20．（12分）甲、乙两校分别有120名、100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训，考试结果出来以后，培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况，从甲校随机抽取60人，从乙校随机抽取50人进行分析，相关数据如下表．

（1）完成上面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；

（2）现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人，再从所抽取的5人种随机抽取2人，求2人全部来自于乙校的概率．

参考公式：，．

参考数据：

21．（12分）已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

选作题：本小题满分10分，请考生在第22题、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号。

22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，在以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设．（1）求的解集；

（2）若不等式，对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

怀仁市2020—2021学年度下学期期末

高二教学质量调研测试

文科数学答案Ⅰ卷

一．选择题：BCACA  BCDCC  DB

二．填空题：13．  14．②④  15．  16．；

三．解答题：

17．解：（Ⅰ）若为纯虚数，则，且，解得实数的值为2；

（Ⅱ）在复平面上对应的点，

在直线上，则，

解得．

18．（12分）解（1）由，当时，得。∵，∴。

∵当时，，…①，当时，，……②

由①－②得：，

即，∴。

∴当时，。故数列是公差为1的等差数列。

故数列的通项公式为。

（2）∵

∴

∴

19．解（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：

（2）中位数的估计值：

由，，

所以中位数位于区间中，设中位数为，则，

解得．即样本中位数是29.2．

因为样本中频率最高的一组为，所以样本的众数为32.5

（3）依题意可知，休闲跑者共有人，

核心跑者人，

精英跑者人，所以该市每位跑步爱好者购买装备，

平均需要元．

即该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要3720元．

20．解（1）列联表如下：

由上表数据算得：

所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关

（2）按照分层抽样的方法，应从甲校中抽2人，乙校中抽3人，甲校2人记为，，乙校3人记为，，，从5人中任取2人共有，，，，，，，，，10种情况，其中2人全部来自乙校的情况有，，共3种，所以所求事件的概率为

21．（Ⅰ）显然，，

（1）当时，，在上单调递减；

（2）当时，由得

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

（Ⅱ）当时，要证：，

只需证：，由（Ⅰ）易知，

所以即证：，

设，则，令得得，

当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴，即，即，所以

22．（10分）（1）由题意，曲线的极坐标方程是，

即，又由，，

所以，故的直角坐标方程为．

因为曲线的参数方程为（为参数），所以，

故的普通方程为．

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，

则曲线的参数方程为（为参数）．

设，则点到曲线的距离

（其中满足）

当时，有最小值，

所以的最小值为．

23．（1）由有或

或

解得，∴所求解集为．

（2），

当且仅当时取等号．

由不等式对任意实数恒成立，

可得，解得或．