山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题（含答案）

怀仁市2020—2021学年度下学期期末

高二教学质量调研测试

理科数学Ⅰ卷

（考试时间120分钟，满分150分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．若，其中为虚数单位，则复数等于（ ）

A．   B．   C．   D．

2．设随机变量，且，则的值为（ ）

A．1    B．2    C．3    D．4

3．对于自变量和因变量，当取值一定时，的取值带有一定的随机性，，之间的这种非确定性关系叫做（）

A．函数关系   B．线性关系   C．相关关系   D．回归关系

4．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电

B．猜想数列，，，……通项公式为

C．半径为的圆的面积，则单位圆的面积

D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为

5．安排5位同学站成一排照相，若甲同学与乙同学相邻，且甲同学与丙同学不相邻，则不同的摆法数（ ）

A．36    B．30    C．24    D．20

6．已知二项式，且，则（ ）

A．324    B．405    C．648    D．810

7．某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的大约2~3天，长的大约10~14天，甚至有20余天。某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图。根据该直方图估计；要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（ ）

A．12    B．13    C．14    D．15

8．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（   ）

A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系

C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米

D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米

9．在列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大（   ）

A．与 B．与 C．与 D．与

10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字的和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字的和是7”则（ ）

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

11．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列有以下结论：①；②是一个等差数列；③数列是一个等比数列；④数列的递推公式，其中正确的是（ ）

A．①②④   B．①③④   C．①②    D．①④

12．已知，不等式，，，…，可推广为，则的值为（   ）

A．    B．    C．    D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5，共20分

13．曲线在点处的切线方程为______．

14．给出下列关系：①人的年龄与他（她）身高的关系：②曲线上的点与该点的坐标之间的关系：③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系：⑤学生与他（她）的学号之间的关系．

其中有相关关系的是______．

15．随机变量的分布列如下：

若，则______．

16．如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；

（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知复数，若存在实数，使成立．

（1）求证：为定值；

（2）若，求的取值范围．

18．（12分）已知正项数列的前项和，满足。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：．

19．（12分）在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记 表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．

（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；

（2）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与，之间的关系为，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大？

参考公式：，，．

20．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活，网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．

参考公式：

21．（12分）已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，试判断方程是否有实数根？并说明理由．

选作题：本小题满分10分，请考生在第22题、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号。

22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，在以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设．（1）求的解集；

（2）若不等式，对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

怀仁市2020—2021学年度下学期期末

高二教学质量调研测试

理科数学答案Ⅰ卷

一．选择题：BDCCA  DCDBB  DB

二．填空题：13．  14．①③④  15．  16．；

三．解答题：

17．（12分）因为复数（、），若存在实数使成立，

则，可得，，所以

，即，

化简可得，即为定值．

（2）若，则，化简可得，求得，

，

综上可得，的取值范围为。

18．（12分）解（1）由，当时，得。∵，∴。

∵当时，，…①，当时，，……②

由①－②得：，

即，∴。

∴当时，。故数列是公差为1的等差数列。

故数列的通项公式为。

（2）∵

∴

∴

19．解、（1）法一：由表中数据和参考数据得，，，，，

∴，

∴，∴线性回归方程．

法二：由表中数据和参考数据得，，，，，

∴，∴，

∴线性回归方程．

（2）由题可知总年利润的预测值与之间的关系为，设该区每个分店的平均利润为，则，

∴的预测值与之间的关系为

，

当且仅当，即时，取得最大值，

∴该公司在区开设4个分店时，才能使区的每个分店的平均年利润最大．

20．解：（1）完成列联表（单位：人）：

由列联表，得：

，

∴能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为我市市民网购与性别有关．

（2）①由题意所抽取的 10 名女市民中，经常网购的有 人，

偶尔或不用网购的有人，

∴选取的 3 人中至少有 2 人经常网购的概率为：．

②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，

将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为 0.6，

由题意，∴随机变量的数学期望，

方差

21．解：（1）由已知可知函数的定义域为，

由，，

当时，所以在为增函数，

当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）当时，由（1）可知知在为增函数，在为减函数．

所以，所以．

令，则．当时，；

当时，，从而在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，即，

所以，方差没有实数根．

22．（10分）（1）由题意，曲线的极坐标方程是，

即，又由，，

所以，故的直角坐标方程为．

因为曲线的参数方程为（为参数），所以，

故的普通方程为．

（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，

则曲线的参数方程为（为参数）．

设，则点到曲线的距离

（其中满足）

当时，有最小值，

所以的最小值为．

23．（1）由有或

或

解得，∴所求解集为．

（2），

当且仅当时取等号．

由不等式对任意实数恒成立，

可得，解得或．