2021-2022学年山西省朔州市怀仁市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题含解析

2021-2022学年山西省朔州市怀仁市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．在正方体中，底面的对角线交于点，且，，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的减法可得结果.

【详解】如下图所示：

.

故选：A.

2．如果直线与直线垂直，那么的值为（       ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值.

【详解】由于直线与直线垂直，

所以.

故选：A

3．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于(       )

A． B．0 C．3 D．0或3

【答案】D

【分析】根据等比中项和等差数列通项公式即可求解.

【详解】设等差数列的公差为d，∵，构成等比数列，

∴，解得d＝0或3.

故选：D.

4．双曲线的渐近线方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的性质得出渐近线方程.

【详解】因为，所以双曲线的渐近线方程是

故选：C

5．若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（       ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】B

【分析】根据题意得定点为抛物线的焦点，为准线，进而根据抛物线的定义判断即可.

【详解】解：由题知，定点为抛物线的焦点，为准线，

因为动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，

所以根据抛物线的定义得动圆的圆心到直线的距离等于圆心到定点，即圆心到直线的距离等于动圆的半径，

所以动圆与直线相切.

故选：B

6．正三棱柱各棱长均为为棱的中点，则点到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用点面距公式求得正确答案.

【详解】设分别是的中点，根据正三棱柱的性质可知两两垂直，

以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

，

，.

设平面的法向量为，

则，故可设，

所以点到平面的距离为.

故选：C

7．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用导数法判断其单调性即可.

【详解】当时，，排除C选项；

求导，

令，得或，

当或时，，

当时，，

所以在和上递增，

在上递减，

故选：B

8．若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据弦长求得的关系式，结合基本不等式求得的最大值.

【详解】圆的圆心为，半径为，

所以直线过圆心，

即，

由于为正数，所以，

当且仅当时，等号成立.

故选：A

9．下列求导运算错误的是（     ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】B

【分析】根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算即可.

【详解】，故A求导正确；

，则，故B求导错误.

，故C求导正确；

，故D求导正确.

故选：B.

10．中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得　　

A．78石 B．76石 C．75石 D．74石

【答案】A

【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差数列的前n项和的，能求出甲应该分得78石，得到答案．

【详解】由题意，今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，

只知道甲比丙多分三十六石，所以，

所以，解得石．

甲应该分得78石．

故选A．

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

11．等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（       ）

A． B．

C．当时最小 D．时的最小值为

【答案】C

【分析】利用数列的单调性结合等差数列的定义可判断A选项；利用可得出、的等量关系，可判断B选项；求出，利用二次函数的基本性质可判断C选项；解不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为等差数列是递增数列，则，A对；

对于B选项，因为，即，可得，B对；

对于C选项，，

所以，当或时，最小，C错；

对于D选项，，因为，解得，故时的最小值为，D对.

故选：C.

12．将正方形沿对角线翻折，使平面与平面的夹角为，如下四个结论错误的是(       )

A．

B．是等边三角形

C．直线与平面所成的角为

D．与所成的角为

【答案】C

【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判断①；

求解三角形可得的形状判定②；

求解线面角判断③；

求解三角形，可得是等边三角形判断④．

【详解】

取中点，连结，，则，，

平面AEC，平面，∴，故A正确；

设折叠前正方形的边长为2，则，，

平面平面，且平面平面，AE⊥BD，平面ABD，

平面，∴，

＝AD＝CD，即是等边三角形，故B正确；

∵面，与平面所成的线面角的平面角是，故C错误；

取中点，中点，连结，，，则，，

为异面直线，所成的角，

∵，，，

是等边三角形，则，故D正确．

故选：C．

二、填空题

13．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.

【答案】

【分析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.

【详解】解：因为向量，

所以，

所以

故答案为：

14．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为__________.

【答案】

【分析】直线与椭圆相交，求交点，利用列式求解即可.

【详解】联立方程得，因为，所以,即，所以， .

故答案为：.

15．已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】由于是递增数列，

所以.

所以的取值范围是.

故答案为：

16．数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________.

【答案】

【分析】根据牛顿迭代法的知识求得.

【详解】构造函数，，

切线的方程为，与轴交点的横坐标为.

，

所以切线的方程为，与轴交点的横坐标为.

故答案为：

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知.

(1)求直线的方程；

(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合点斜式求得直线的方程.

（2）设，根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程.

【详解】(1)，

于是直线的方程为，即

(2)设动点，于是，

代入坐标得，

化简得，

于是动点的轨迹方程为

18．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列的前项和为，且__________.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）若选①：根据，利用数列通项与前n项和的关系求解；若选②：构造利用等比数列的定义求解；

（2）根据（1）得到，再利用错位相减法求解.

【详解】(1)解:若选①：，

当时，，

当时，满足上式，

故

若选②：

易得

于是数列是以为首项，2为公比的等比数列，

(2)若选①：由（1）得，

从而，

，

作差得，

于是

若选②由（1）得，

从而，

，

作差得，

于是

19．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.

(1)若长为，把蒙古包的体积表示为的函数；

(2)求蒙古包体积的最大值.

【答案】(1)，其中.

(2).

【分析】（1）利用柱体和椎体体积公式求得的函数表达式.

（2）利用导数求得体积的最大值.

【详解】(1)正六边形的边长（0），

底面积，

于是，

其中.

(2)，

，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以当时，.

综上，当时，蒙古包体积最大，且最大体积为.

20．在长方体中，，点分别在上，且.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析.

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；

（2）以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由面面角的空间向量求解方法可得答案.

【详解】(1)证明：长方体中，平面，又平面，

又平面，

又平面

同理可证，而平面，

平面

(2)解：以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

从而，，，

由（1）知，为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则，

，

则，从而 ，令，则，得平面的一个法向量为

由图示得平面与平面所成的角为锐角，平面与平面所成的角的余弦值为

21．已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的面积.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积．

【详解】（1）由已知得，，解得，又，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，

由得，①

设、的坐标分别为，（），中点为，

则，，

因为是等腰△的底边，所以．

所以的斜率为，解得，此时方程①为．

解得，，所以，，所以，

此时，点到直线：的距离，

所以△的面积．

【解析】1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.

【思路点晴】

本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．

22．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

（1）求f(x)的极值点；

（2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；

（3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）极大值点为，极小值点为；（2）；（3）.

【分析】（1）求导，讨论导函数的正负得出函数的单调性，根据函数的单调性可求得其极值点；

（2）由（1）可知函数的单调性及极值，结合数形结合分析可得的范围；

（3）由题意分离参数即在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，求出其在上的最小值即可得到答案.

【详解】（1），令，

得，

当时，f′(x)>0，当，f′(x)<0，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

所以，分别为的极大值点，极小值点.

(2)当时，，当时，，

，

要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点，则

则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为.

（3）当时，由f(x)≥k(x－1)，即，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，

所以在(1，＋∞)上恒成立，

令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，

所以g(x)>g(1)＝－3，所以所求k的取值范围是为(－∞，－3].