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专题05 二次函数与一元二次方程、不等式-2021-2022学年高一数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第一册）学案

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知识点一一元二次不等式的概念
知识点二一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
题型1：解不含参数的一元二次不等式
例1 解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6>0；
(2)3x2＋5x－2≥0；
(3)x2－4x＋5>0.
变式解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
题型2：三个“二次”间的关系及应用
例2 已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
变式已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
题型3：含参数的一元二次不等式的解法
例3 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
变式 (1)当a＝eq \f(1,2)时，求关于x的不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))x＋1≤0的解集；
(2)若a>0，求关于x的不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))x＋1≤0的解集．
考点1：练习题
1．已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－22．若0A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,m)\f(1,m)或xC.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>m或x<\f(1,m))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－24．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1A．5 B．－5 C．－25 D．10
5．若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2}
C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－26．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________．
7．不等式x2＋3x－4<0的解集为________．
8．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,m)9．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
11．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2eq \r(5)x＋eq \r(5)>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是( )
A．① B．② C．③ D．④
12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－113．若关于x的方程(a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0无实数解，则a的取值范围是________．
14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对∀x∈R恒成立，则a的取值范围为________．
考点2：等式性质与不等式性质
知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1．理解题意，搞清量与量之间的关系；
2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题．
3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
题型1：分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)eq \f(2x－5,x＋4)<0； (2)eq \f(x＋1,2x－3)≤1.
变式解下列不等式：
(1)eq \f(2x－1,3x＋1)≥0；(2)eq \f(2－x,x＋3)>1.
题型2：一元二次不等式的实际应用
例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
变式北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入eq \f(1,6)(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入eq \f(x,5)万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
考点2：练习题
1．不等式eq \f(3x－1,2－x)≥1的解集是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x≤2)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)≤x<2))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>2或x≤\f(3,4))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(3,4)))))
2．与不等式eq \f(x－3,2－x)≥0同解的不等式是( )
A．(x－3)(2－x)≥0 B．0C.eq \f(2－x,x－3)≥0 D．(x－3)(2－x)>0
3．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式eq \f(ax＋b,x－2)>0的解集为( )
A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－14．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}
C．{x|156．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．
8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝eq \f(1,18)x＋eq \f(1,180)x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.
9．解关于x的不等式eq \f(a－x,x＋1)>0(a∈R)．
10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
11．不等式eq \f(x2－x－2,x－2)>0的解集为( )
A．{x|x>－1且x≠2} B．{x|x>－1}
C．{x|－12}
12．若a>0，b>0，则不等式－bA.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,b)或x>\f(1,a)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,a)或x>\f(1,b)))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,b)13．不等式eq \f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．∅ D．{x|x<－2或x>2}
14．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.这次事故的主要责任方为________．
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅