第3章专题6 函数的单调性（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

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函数的单调性考向一  函数单调性的证明 1、根据定义证明函数在区间上单调递增。证明：所以，函数在区间上单调递增。2、已知函数，∈[0,2]，用定义证明f(x)在区间上是增函数.证明：设 ，则.由 ，得 ，所以 ，即 ，故f(x)在区间 上是增函数.3、利用定义法证明：函数 在定义域内是减函数． 答案：略解析：在定义域内任意取 ，且 ，作差法比较大小


所以
函数 在定义域内是减函数
4、已知函数．判断函数在上的单调性，并用定义法证明； 答案：在上是单调递减函数解析：在上是单调递减函数，证明如下：
任取，且，则


，，
即
在上是单调递减函数．
5、利用定义求函数的单调区间.【答案】增区间为和，减区间为和【解析】由题意函数的定义域为，取，，则，当时，，，，此时，，单调递增；当时，，，，此时，，单调递减；当时，，，，此时，，单调递减；当时，，，，此时，，单调递增；综上，函数的单调增区间为和，减区间为和. 6、已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.求证：f(x)是R上的单调减函数．【答案】见解析【解析】(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2，则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)<f(x1)．所以f(x)是R上的单调减函数．7、已知函数的定义域为,对任意实数都有,且当 时,.（1）证明: 且时，；（2）证明: 在上单调递减.【答案】证明：（1）令，，代入中得：（1），即（1）（1），，（1），当时，，故得，令，，则，代入中得：，（2）设，则且，，，，，，，，在上单调递减．  考向二  函数单调性的判断 1、下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　)A．y＝2x＋1   B．y＝x2＋1     C．y＝3－x   D．y＝x2＋2x＋1答案：C解析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．2、在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（    ）A．    B．    C．    D．答案：C解析：A选项在 上是增函数；B选项在 是减函数，在 是增函数；C选项在是减函数；D选项 在是减函数，在是增函数；故选C.3、下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（  ）A． B． C． D．答案：D解析：由一次函数的性质可知，在区间上单调递增； 由二次函数的性质可知，在区间上单调递增； 由幂函数的性质可知，在区间上单调递增； 结合一次函数的性质可知，在上单调递减，在 上单调递增． 故选：D．4、函数 在区间 上是(　　)A．递减函数 B．递增函数 C．先递增再递减 D．先递减再递增 答案：D解析：因为 ，
所以函数在 上为减函数，在 上为增函数，
所以函数在 上先递减再递增．
5. 若函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在区间 上(　　)A．一定是增函数 B．不一定是增函数 C．一定是减函数 D．是增函数或减函数 答案：B解析：在3处左侧的极限值小于等于3右侧的极限值才是增函数
6、设 、 都是单调函数，有如下四个命题
①若 单调递增， 单调递增，则 单调递增；
②若 单调递增， 单调递减，则 单调递增；
③若 单调递减， 单调递增，则 单调递减；
④若 单调递减， 单调递减，则 单调递减．
其中，正确的命题是(　　)A．①③ B．①④ C．②③ D．②④答案：C解析： 当 是单调增函数时， 是单调减函数， 是单调减函数时， 是单调增函数， 根据两个单调增函数相加是增函数，两个单调减函数相加是减函数这一原理，易知 ② ③ 正确．
7、已知定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且，则（     ） A.为减函数                     B.为增函数   C.为减函数                      D.为增函数【答案】B 8、（多选）下列函数中，满足“对任意的，，当时，都有”的是　　A．       B．        C．D．      E． 【答案】AD9、下列函数中，对任意的，都有成立的是(　　)A．
B．
C．
D． 答案：B解析：单调性定义+判断
因为，都有，所以在上是增函数
A．是减函数.
B．时，,在是增函数
C．在是减函数。
D．在是减函数
10、下列命题中正确的有________．
① 若 是增函数，且 ，则 是减函数；
② 若 是减函数，则 是增函数；
③ 若 是增函数， 是减函数，则 为增函数．答案：①②③解析：根据函数的判定口诀，可知三种判断关系均正确．