数学必修 第一册2.1 函数概念学案及答案

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[问题] 你知道这种对应关系在数学中叫什么吗？



知识点一 生活中的变量关系
1．在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．
2．函数关系可用表格、表达式、图象及分段函数形式表达．
1.(多选)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中正确的有( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D．这天21时的温度是30 ℃
解析：选ABD 这天的最高温度与最低温度相差36－22＝14(℃)，故C错．A、B、D均正确．
2．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压，使之成为一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为( )

解析：选B 圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．
知识点二 函数的有关概念
eq \a\vs4\al()
对函数概念的再理解
(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；
(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式；
(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
1．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
2．函数f(x)＝eq \f(1,\r(4－x))的定义域是________．
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x－1且x≠1，∴定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．
[例3] (链接教科书第53页练习1题)(1)已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1；②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
③y＝eq \f(3x－1,x＋1)；④y＝2x－eq \r(x－1).
（1）[解析] ∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
[答案] eq \f(1,3) eq \f(1,7)
（2）[解] ①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．
③(分离常数法)y＝eq \f(3x－1,x＋1)＝eq \f(3x＋3－4,x＋1)＝3－eq \f(4,x＋1).
∵eq \f(4,x＋1)≠0，∴y≠3，
∴y＝eq \f(3x－1,x＋1)的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
④(换元法)设t＝eq \r(x－1)，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(15,8)，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)，＋∞)).
[母题探究]
1．(变条件)在本例(1)条件下，若f(b)＝eq \f(1,2)，求b的值．
解：由f(b)＝eq \f(1,1＋b)＝eq \f(1,2)，得b＝1.
2．(变设问)在本例(1)条件下，判断点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))是否在函数f(x)的图象上？
解：由f(x)＝eq \f(1,1＋x)知f(3)＝eq \f(1,4)，故点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))在f(x)的图象上．
eq \a\vs4\al()
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
[跟踪训练]
1．设f(x)＝eq \f(x2－1,x2＋1)，则eq \f(f（2）,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝( )
A．1 B．－1
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
解析：选B eq \f(f（2）,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))＝eq \f(\f(22－1,22＋1),\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1))＝eq \f(\f(3,5),\f(－\f(3,4),\f(5,4)))＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝－1.
2．函数f(x)＝eq \f(1,1＋x2)(x∈R)的值域是( )
A．[0，1] B．[0，1)
C．(0，1] D．(0，1)
解析：选C 因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0