初中数学人教版八年级下册18.2.2 菱形达标测试

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.2 菱形达标测试，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

18.2.2 菱形（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为（ ）

A．75° B．65°
C．55° D．50°
2．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　）

A．8 B．7 C．4 D．3
3．如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E．于点F．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为（ ）

A．4 B． C．6 D．
4．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(　　)
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
5．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（ ）

A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
7．如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( )

A． B． C． D．
9．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
10．如图，菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ）

A．20 B．30 C．40 D．50


二、填空题
11．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．

12．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别与AB、DC相交于E、F两点，若AC＝10，BD＝4，则图中阴影部分的面积等于_____．

14．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．

15．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件_____使平行四边形ABCD是菱形．

16．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：_____．

17．如图，在菱形中，，，为等边三角形，点，分别在菱形的边，上滑动，且，不与，，重合，则四边形的面积是________．

18．如图，矩形的对角线相交于O，∠AOB＝120°，，若则四边形的周长为______________．

19．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠使点D与点B重合，点C的对应点是点C'．若AB=4，EF=，则AD的长等于____．

20．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．

21．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于________．

22．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为______．

23．如图，菱形ABCD和菱形CEFG中，∠ABC＝60°，点B，C，E在同一条直线上，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长为________.


三、解答题
24．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．
小明的作法如下：
①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；
②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝AP＝　 　＝　 　．
∴四边形ABQP是菱形（　 　）（填推理的依据）．
∴PQ∥l．

25．如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．


26． 如图，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作交的延长线于F，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．



27．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，OE与AB交于点F．
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．




28．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．









参考答案
1．B
【详解】
本题考查了菱形的性质，我们知道菱形的对角线互相平分且垂直，外加，即可得
出．选B．
2．A
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
故选A．
【点拨】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．
3．B
【分析】
连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．
【详解】
解：连接BP，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB=BC=20÷4=5，
又∵菱形ABCD的面积为24，
∴SABC=24÷2=12，
又SABC= SABP+SCBP
∴SABP+SCBP=12，
∴ ，
∵AB=BC，
∴
∵AB=5，
∴PE+PF=12×=．
故选：B．

【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值．
4．C
【详解】
试题分析：A．对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
B．对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
C．对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
D．邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选C．
点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
考点：菱形的性质；矩形的性质．
5．A
【详解】
∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴ABCD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
故选A.
6．C
【详解】
试题分析：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．
故选C．
7．B
【分析】
由菱形的性质，得∠AOB=90°，∠ABO=，从而得：∠BAO=55°，进而可得：55°＜＜90°，即可得到答案．
【详解】
∵在菱形中，
∴，即：∠AOB=90°，
∴＜90°，
∵，
∴∠ABO=，
∴∠BAO=55°，
∵=∠BAO+∠ABE，
∴＞55°，
即：55°＜＜90°．
故选B．
【点拨】本题主要考查菱形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
8．D
【分析】
过点作轴于点，由直角三角形的性质求出长和长即可．
【详解】
解：过点作轴于点，
∵四边形为菱形，，
∴，OB⊥AC，，
∵，∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选D．

【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．A
【详解】
连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD=，DE=2，∴OE=，即OF=EF=，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，
则S菱形ODEC=OE•DC=××2=．
故选A．


10．C
【分析】
由题意可知EF为△ABD的中位线，可求出AB的长，由于菱形四条边相等即可得到周长．
【详解】
解：∵E，F分别是，的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长为
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现EF为△ABD的中位线是解题的关键．
11．45°
【分析】
根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数．
【详解】


∵
∴
∴

故答案为：45°．
【点拨】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
12．5
【分析】
根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为＝5．
故答案为5．
【点拨】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.
13．10
【详解】
分析：由菱形ABCD，可得OA=OC,AB∥CD，易证△AOE≌△COF,△ABD≌△CDB，又因为菱形的面积为：所以可求得：图中阴影部分的面积和为S菱形ABCD.
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,AB∥CD，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠DCB，
∴∠AEO=CFO，∠OAE=∠OCF，
∴△AOE≌△COF,△ABD≌△CDB，
∵S菱形ABCD=
∴图中阴影部分的面积和为S菱形ABCD=
故答案为：10.
点睛：考查菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解题的关键.
14．3
【分析】
过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,

∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,
∴∠DAC＝∠CAB＝30°,
∴PE＝AP;
∵∠DAF＝60°,
∴∠ADF＝30°,
∴AF＝AD＝×6＝3;
∴DF＝3;
∵AP+PD＝PE+PD,
∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,
PE+DP的值最小，最小值为DF的长,
∴AP+PD的最小值为3.
故答案为：3.
【点拨】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.
15．AB=BC(或AC⊥BD)答案不唯一
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形可知添加条件AB=BC．
【详解】
解：添加条件：AB=BC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可以判定四边形ABCD是菱形．
故答案为AB=BC．
【点拨】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
16．四条边相等的四边形是菱形．
【分析】
由作法知，AB=AD=BC=CD,根据菱形的定义可知所得四边形ABCD为菱形.
【详解】
由作法知，AB=AD=BC=CD,
∴四边形ABCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.
故答案为四条边都相等的四边形是菱形.
【点拨】本题考查了尺规作图和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键. 本题考查了菱形的判定定理：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
17．
【分析】
首先通过菱形的性质得出为等边三角形，进而可证，从而有，则可以得出四边形的面积=，然后利用勾股定理求出AG的长度，利用求面积即可．
【详解】
连接AC,过点A作AG⊥BC于点G，

∵四边形是菱形，

∴为等边三角形
∴
∵为等边三角形



在和中,


∴四边形的面积=





∴四边形的面积是
故答案为：．
【点拨】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的判定及性质，掌握菱形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
18．16
【分析】
首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝4，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，DO＝BO，AO＝CO，
∴OD＝OA，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOA＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO＝AO＝AD＝OC＝4，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点拨】本题考查菱形的判定与性质以及矩形的性质，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
19．8
【分析】
由折叠得到，结合矩形的性质，解得，继而证明四边形是菱形，由菱形对角线的性质结合菱形的面积解得，最后在中，利用勾股定理解得的长即可．
【详解】
解：由折叠的性质可知




连接，与相交于点，

折叠


四边形是菱形，

中，
设




在中，



故答案为：8．
【点拨】本题考查矩形与折叠、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．
【详解】
试题分析：连接DB，BD与AC相交于点M，

∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB．
∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形．
∴DB=AD=1，∴BM=
∴AM=
∴AC=．
同理可得AE=AC=（）2，AG=AE=（）3，…
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n-1
21．3
【分析】
根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．
【详解】
∵菱形ABCD的周长等于24，
∴AD==6，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，
∴OH=AD=3．
故答案为3．
【点拨】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.
22．15°
【分析】
根据菱形的性质，可得∠ADC=∠B=70°，从而得出∠AED=∠ADE．又因为AD∥BC，故∠DAE=∠AEB=70°，∠ADE=∠AED=55°，即可求解．
【详解】
解：根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°．
∵AD=AB=AE，
∴∠AED=∠ADE．
根据折叠得∠AEB=∠B=70°．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=70°，
∴∠ADE=∠AED=（180°-∠DAE）÷2=55°．
∴∠EDC=70°-55°=15°．
故答案为：15°.
【点拨】本题考查了翻折变换，菱形的性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
23．
【分析】
连接AC、CF，GE，根据菱形性质求出AC、CF，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
解：如图，连接AC、CF、GE，CF和GE相交于O点
∵在菱形ABCD中， ，BC=1，
∴，AC=1，
∴
∵在菱形CEFG中，是它的对角线，
∴，
∴，
∴
∵==，
∴在，
又∵H是AF的中点
∴.

【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，菱形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．
【分析】
（1）根据要求作出图形即可．（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
【详解】
解：（1）如图所示．

（2）∵AB＝AP＝PQ＝BQ，
∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）．
∴PQ∥l．
故答案为PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．
【点拨】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
25．证明见解析
【分析】
根据菱形的性质可得AB=BC，AD∥BC，再根据两直线平行，同位角相等可得∠A=∠CBF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠A＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE＝CF．
【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键．
26．（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）由题意易得AE=ED，∠EAF=∠EDB，∠AFE=∠DBE，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意易得AF=BD=DC，则有四边形ADCF是平行四边形，由∠BAC=90°可得AD=DC，进而问题得证．
【详解】
证明：（1）∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠EDB，∠AFE=∠DBE，
∴（AAS）；
（2）由（1）可得：，
∴AF=BD，
∵是边上的中线，
∴AF=BD=DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D为BC中点
∴AD=DC，
∴四边形ADCF是菱形．
【点拨】本题主要考查菱形的判定及直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的判定及直角三角形斜边中线定理、全等三角形的性质与判定是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）96
【分析】
（1）根据菱形的性质结合已知条件即可得证；
（2）由（1）所得结合菱形的性质计算出、的长度，再计算面积即可．
【详解】
解：（1）证明：∵，，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形AEBO为矩形；
（2）∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝AC＝8，
∴，
∴，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝．
【点拨】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理；掌握好相关的基础知识是解决本题的关键．
28．（1）OE＝OF，详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，详见解析
【分析】
（1）根据矩形的性质得出，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在和中，
，
，
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定；关键在于掌握好相关的基础知识．