高中数学北师大版 必修第二册第一章 ——正切函数【课件+同步练习】
展开7.3 正切函数的图象与性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.sin 2·cos 3·tan 4的值为( )
A.负数 B.正数 C.0 D.不存在
解析因为<2<π,所以sin 2>0.
因为<3<π,所以cos 3<0.因为π<4<,所以tan 4>0.
所以sin 2·cos 3·tan 4<0.
答案A
2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则f的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
解析由题意,可知T=,所以ω==4,即f(x)=tan 4x,所以f=tan4×=tan π=0,故选A.
答案A
3.函数f(x)=2x-tan x在上的图象大致为 ( )
解析函数f(x)=2x-tan x为奇函数,所以图象关于原点对称,故排除A,B.当x→时,f(x)→-∞,所以排除D,选C.
答案C
4.(多选)下列关于函数y=tanx+的说法不正确的是( )
A.在区间-上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点,0成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
解析由kπ-<x+<kπ+,k∈Z,得kπ-<x<kπ+,k∈Z.当k=0时,函数的单调递增区间为-.当k=1时,函数的单调递增区间为,故A错误.函数的最小正周期为T=π,故B正确.由x+,k∈Z,得x=-,k∈Z,即函数f(x)的对称中心为-,0,k∈Z,故C错误.正切函数没有对称轴,故D错误.
答案ACD
5.直线y=a与y=tan x的图象的相邻两个交点的距离是 .
解析由题意知,相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度,故为π.
答案π
6.给出下列四个结论:
①sin->sin-;
②cos->cos-;
③tan >tan ;
④tan >sin .
其中正确结论的序号是 .
解析函数y=sin x在区间-,0上单调递增,0>->->-,所以sin->sin-,①正确;cos-=cos-6π-=cos,cos-=cos-4π-=cos,所以cos-=cos-,②不正确;函数y=tan x是,π上的增函数,<π,所以tan<tan,③不正确;易知在0,上,tan x>x>sin x,所以tan>sin,④正确.
答案①④
能力提升练
1.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是( )
解析当<x<π时,tan x<sin x,y=2tan x<0,排除A,B.当π<x<时,tan x>sin x,y=2sin x,排除C.故选D.
答案D
2.若不等式tan x>a在x∈上恒成立,则a的取值范围为( )
A.a>1 B.a≤1
C.a<-1 D.a≤-1
解析因为函数y=tan x在x∈上单调递增,所以tan x>tan=-1,所以a≤-1.
答案D
3.(多选)关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:其中正确的说法是( )
A.对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
B.f(x)的图象关于-φ,0对称
C.f(x)的图象关于(π-φ,0)对称
D.f(x)是以π为最小正周期的周期函数
解析若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,故A错误;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于,0(k∈Z)对称,令x+φ=得x=-φ,分别令k=1,2知B,C正确,D显然正确.
答案BCD
4.若y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为,且-<θ<,则θ的值是 .
解析令2x+θ=(k∈Z),由对称中心为,得θ=(k∈Z).
又θ∈,故θ=-.
答案-
5.已知-≤x≤,f(x)=tan2x+2tan x+2,求f(x)的最值及相应的x值.
解因为-≤x≤,所以-≤tan x≤1,
f(x)=tan2x+2tan x+2=(tan x+1)2+1,
当tan x=-1,即x=-时,f(x)有最小值1,
当tan x=1,即x=时,f(x)有最大值5.
素养培优练
是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.
解y=tan-ax=tan-ax+,
因为y=tan x在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上为增函数,所以a<0,
又x∈,所以-ax∈-,-,
所以-ax∈,
所以
解得-≤a≤6-8k(k∈Z).
由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.
所以a=-2<0,
所以存在a=-2∈Z,满足题意.
