2021年湖北省武汉市武昌区八年级下学期期末数学试卷（解析版）（含答案）

这是一份2021年湖北省武汉市武昌区八年级下学期期末数学试卷（解析版）（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）.
1．二次根式在实数范围内有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x＞﹣ B．x≥﹣ C．x＜﹣ D．x≤﹣
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点P，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，﹣4） D．（0，4）
4．某校对九年级6个班学生平均一周的课外阅读时间进行了统计，分别为（单位：h）：3.5，4，3.5，5，5，3.5．这组数据的众数是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，若AC＝6，则BC的长为（　　）
A．8 B．12 C． D．
7．在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：
投中次数
5
7
8
9
10
人数
2
3
3
1
1
则这10人投中次数的平均数是（　　）
A．7 B．7.2 C．7.4 D．7.5
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则AB长的取值范围是（　　）

A．1＜AB＜7 B．2＜AB＜4 C．6＜AB＜8 D．3＜AB＜4
9．在平面直角坐标系中，过点（﹣2，3）的直线l经过一、二、三象限，若点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1）都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜b B．a＜3 C．b＜3 D．c＜﹣2
10．在△ABC中，点D在BC上，∠BAC＝2∠ADB＝90°，BD＝3CD＝3，则AD的长是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：＝　 　．
12．将直线y＝2x﹣3向上平移2个单位后的直线解析式　 　．
13．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为　 　．

14．某校抽样调查了七年级学生每天体育锻炼时间，整理数据后制成了如下所示的频数分布表，这个样本的中位数在第　 　组．
组别
时间（小时）
频数（人）
第1组
0≤t＜0.5
12
第2组
0.5≤t＜1
24
第3组
1≤t＜1.5
18
第4组
1.5≤t＜2
10
第5组
2≤t＜2.5
6
15．快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．以下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是 　 　．（将正确答案的序号填在横线）

16．如图是一张面积为10的△ABC纸片，其中BC＝5，∠ABC＝45°，DE是三角形的中位线，M，N分别是线段DE，BC上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将MN两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点D，E旋转180°在同一平面内拼图，使得BD与AD重合，CE与AE重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为 　 　．

三、解答题（共8个小题，共72分】下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．计算：
（1）﹣+；
（2）×+÷．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE、BE相交于点E．求证：四边形BECD为菱形．

19．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100；
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99．
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
100
a
93
93
12
九（2）班
99
95
b
93
8.4
（1）求表中a，b的值；
（2）依据数据分析表，说明是（1）班的成绩好还是（2）班的成绩好？请给出两条理由．
20．如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3．现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合）．求：
（1）线段PG的长；
（2）∠APD的度数．

21．如图，在5×6的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，按要求画图（只用无刻度的直尺）．
（1）在图1中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形（D为格点）；
（2）在图2中作直线CE⊥AB（E为格点）；
（3）在图3中作∠FBA＝∠CBA（F为格点，且不在直线BC上）．

22．武汉的夏季到了，某服装店同时购进A，B两款夏装共300套，进价和售价如下表所示，设购进A款夏装x套（x为正整数），该服装店售完全部A，B两款夏装获得的总利润为y元．
夏装款式
A款
B款
每套进价（单位：元）
60
80
每套售价（单位：元）
100
150
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该服装店计划投入不多于2万元购进这两款夏装，则至少购进多少套A款夏装？若A，B两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，服装店购进A款夏装的进价降低a元（其中20＜a＜40），购进B款夏装的进价不变，且最多购进240套A款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完A，B两款夏装获得的利润最大？
23．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为线段BC上一动点，EF⊥AC，垂足为F．
（1）如图1，连接DE交AC于点M，若∠DEF＝15°，求AM的长；
（2）如图2，点G在BC的延长线上，点E在BC上运动时，满足CG＝BE，
①连接BF，DG，判断BF，DG的数量关系并说明理由；
②如图3，若Q为CG的中点，直接写出DE+2DQ的最小值为 　 　．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．

（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BD为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．


参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑．
1．二次根式在实数范围内有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x＞﹣ B．x≥﹣ C．x＜﹣ D．x≤﹣
解：由题意可知：2x+3≥0，
解得x≥，
故选：B．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
3．若一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点P，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，﹣4） D．（0，4）
解：∵一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点P，
∴令y＝0时，0＝x+4，
解得x＝﹣4，
∴点P的坐标为（﹣4，0），
故选：A．
4．某校对九年级6个班学生平均一周的课外阅读时间进行了统计，分别为（单位：h）：3.5，4，3.5，5，5，3.5．这组数据的众数是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
解：在这一组数据中3.5出现了3次，次数最多，故众数是3.5．
故选：B．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、4与3不能合并，所以A选项的计算错误；
B、原式＝2+＝3，所以B选项的计算错误；
C、原式＝2＝2，所以C选项的计算错误；
D、原式＝＝×2＝1，所以D选项的计算正确．
故选：D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，若AC＝6，则BC的长为（　　）
A．8 B．12 C． D．
解：∵△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵AB＝2AC，
∴3AC2＝BC2＝108，
解得BC＝6，
故选：C．

7．在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：
投中次数
5
7
8
9
10
人数
2
3
3
1
1
则这10人投中次数的平均数是（　　）
A．7 B．7.2 C．7.4 D．7.5
解：这10人投中次数的平均数是＝7.4．
故选：C．
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则AB长的取值范围是（　　）

A．1＜AB＜7 B．2＜AB＜4 C．6＜AB＜8 D．3＜AB＜4
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，BO＝3，
∴4﹣3＜AB＜4+3，
解得：1＜AB＜7，
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，过点（﹣2，3）的直线l经过一、二、三象限，若点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1）都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜b B．a＜3 C．b＜3 D．c＜﹣2
解：设一次函数的解析式为y＝kx+t（k≠0），
∵直线l过点（﹣2，3）．点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1），
∴斜率k＝＝＝，即k＝＝b﹣3＝，
∵直线l经过一、二、三象限，
∴k＞0，
∴a＞3，b＞3，c＜﹣2．
故选：D．
10．在△ABC中，点D在BC上，∠BAC＝2∠ADB＝90°，BD＝3CD＝3，则AD的长是（　　）

A． B． C． D．
解：取BC的中点E，作EF⊥AD于点F，连接AE，如右图所示，
∵∠BAC＝2∠ADB＝90°，BD＝3CD＝3，
∴∠FDE＝45°，CD＝1，BC＝4，
∵点E为BC的中点，
∴AE＝BC＝2，CE＝2，
∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，
∴DF＝EF＝，
∴AF＝＝＝，
∴AD＝AF+DF＝+＝，
故选：B．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：＝　3　．
解：＝＝3．
故答案为3．
12．将直线y＝2x﹣3向上平移2个单位后的直线解析式　y＝2x﹣1　．
解：平移后的解析式为：y＝2x﹣3+2＝2x﹣1．
故填：y＝2x﹣1．
13．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为　x＞3　．

解：∵正比例函数y＝x也经过点A，
∴kx+b＜x的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
14．某校抽样调查了七年级学生每天体育锻炼时间，整理数据后制成了如下所示的频数分布表，这个样本的中位数在第　2　组．
组别
时间（小时）
频数（人）
第1组
0≤t＜0.5
12
第2组
0.5≤t＜1
24
第3组
1≤t＜1.5
18
第4组
1.5≤t＜2
10
第5组
2≤t＜2.5
6
解：共12+24+18+10+6＝70个数据，
12+24＝36，
所以第35和第36个都在第2组，
所以这个样本的中位数在第2组．
故答案为：2．
15．快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．以下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④快车先到达目的地．其中正确的是 　②③　．（将正确答案的序号填在横线）

解：根据题意可知，两车的速度和为：360÷2＝180（km/h），
慢车的速度为：88÷（3.6﹣2.5）＝80（km/h），则快车的速度为100km/h，
所以快车速度比慢车速度多20km/h；故②结论正确；
（3.6﹣2.5）×80＝88（km），
故相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，故①结论错误；
88+180×（5﹣3.6）＝340（km），
所以图中a＝340，故③结论正确；
快车到达终点的时间为360÷100+1.6＝5.2小时，
慢车到达终点的时间为360÷80+0.5＝5小时，
因为5.2＞5，
所以慢车先到达目的地，故④结论错误．
所以正确的是②③．
故答案为：②③．
16．如图是一张面积为10的△ABC纸片，其中BC＝5，∠ABC＝45°，DE是三角形的中位线，M，N分别是线段DE，BC上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将MN两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点D，E旋转180°在同一平面内拼图，使得BD与AD重合，CE与AE重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为 　1　．

解：如图，

由旋转的性质可知，BC＝N′N″，M′M″＝2DE，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∴M′M″∥N′N″，M′M″＝N′N″，
∴四边形M′M″N″N′是平行四边形，
∴四边形M′M″N″N′的周长＝2MN+10，
如图，连接BE，过点A作AH⊥BC于H，EJ⊥BC于J．

∵S△ABC＝•BC•AH＝10，BC＝5，
∴AH＝4，
∵∠ABC＝45°，
∴AH＝BH＝4，
∴CH＝CB﹣BH＝5﹣4＝1，
∵AH∥EJ，AE＝EC，
∴JH＝JC＝，
∴EJ＝AH＝2，BJ＝BH+JH＝，
∴BE＝＝＝，
当MN⊥BC时，MN的值最小，此时拼成的四边形纸片周长的的值最小，最小值＝14，
当MN与线段BE重合时，MN的值最大，此时拼成的四边形纸片周长的最大，最大值＝15，
∴拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值的差为1．
故答案为1．
三、解答题（共8个小题，共72分】下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．计算：
（1）﹣+；
（2）×+÷．
解：（1）﹣+
＝2﹣+2
＝+2；
（2）×+÷
＝+
＝2+．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE、BE相交于点E．求证：四边形BECD为菱形．

【解答】证明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴CD＝AB．
又∵CD为AB边上的中线
∴BD＝AB．
∴BD＝CD．
∴平行四边形BECD是菱形．
19．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100；
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99．
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
100
a
93
93
12
九（2）班
99
95
b
93
8.4
（1）求表中a，b的值；
（2）依据数据分析表，说明是（1）班的成绩好还是（2）班的成绩好？请给出两条理由．
解：（1）a＝（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）＝94；
把九（2）班成绩排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99，
则中位数b＝（95+96）＝95.5，
∴a＝94；b＝95.5；
（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；
②九（2）班方差小于九（1）班，故九（2）班的成绩比九（1）班稳定；
③九（2）班的成绩的中位数大于九（1）班成绩的中位数，
故九（2）班成绩好（任意选两个即可）．
20．如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3．现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合）．求：
（1）线段PG的长；
（2）∠APD的度数．

解：四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵PA＝1，PD＝2，PC＝3，
将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），
∴PD＝GD＝2，∠CDP＝∠ADG，AG＝PC＝3，
∴∠PDG＝∠ADC＝90°，
∴△PDG是等腰直角三角形，
∴∠GPD＝45°，PG＝PD＝2，
（2）由（1）知∠GPD＝45°，PG＝PD＝2，
∵AG＝PC＝3，AP＝1，
∴12+（2）2＝32，
∴AP2+PG2＝AG2，
∴∠GPA＝90°，
∴∠APD＝90°+45°＝135°．
21．如图，在5×6的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，按要求画图（只用无刻度的直尺）．
（1）在图1中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形（D为格点）；
（2）在图2中作直线CE⊥AB（E为格点）；
（3）在图3中作∠FBA＝∠CBA（F为格点，且不在直线BC上）．

解：（1）如图1，四边形ABDC即为所求作的平行四边形；
（2）如图2，直线CE即为所求；

（3）如图3，∠FBA＝∠CBA．
22．武汉的夏季到了，某服装店同时购进A，B两款夏装共300套，进价和售价如下表所示，设购进A款夏装x套（x为正整数），该服装店售完全部A，B两款夏装获得的总利润为y元．
夏装款式
A款
B款
每套进价（单位：元）
60
80
每套售价（单位：元）
100
150
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该服装店计划投入不多于2万元购进这两款夏装，则至少购进多少套A款夏装？若A，B两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，服装店购进A款夏装的进价降低a元（其中20＜a＜40），购进B款夏装的进价不变，且最多购进240套A款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完A，B两款夏装获得的利润最大？
解：（1）根据题意得y＝（100﹣60）x+（150﹣80）（300﹣x）＝﹣30x+21000，
即y＝﹣30x+21000；

（2）由题意得，60x+80（300﹣x）≤20000，
解得x≥200，
∴至少要购进甲款运动服200套．
又∵y＝﹣30x+21000，﹣30＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝200时，y有最大值，
y最大＝﹣30×200+21000＝15000，
∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元；

（3）由题意得，y＝（100﹣60+a）x+（150﹣80）（300﹣x），其中200≤x≤240，
化简得，y＝（a﹣30）x+21000，
∵20＜a＜40，则：
①当20＜a＜30时，a﹣30＜0，y随x的增大而减小，
∴当x＝200时，y有最大值，
则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大；
②当a＝30时，a﹣30＝0，y＝21000，
则服装店应购进甲款运动服的数量应满足200≤x≤240，且x为整数时，服装店获利最大；
③当30＜a＜40时，a﹣30＞0，y随x的增大而增大，
∵200≤x≤240，
∴当x＝240时，y有最大利润，
则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．
23．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为线段BC上一动点，EF⊥AC，垂足为F．
（1）如图1，连接DE交AC于点M，若∠DEF＝15°，求AM的长；
（2）如图2，点G在BC的延长线上，点E在BC上运动时，满足CG＝BE，
①连接BF，DG，判断BF，DG的数量关系并说明理由；
②如图3，若Q为CG的中点，直接写出DE+2DQ的最小值为 　　．

解：（1）如图1，过点M作MH⊥AD于点H，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AD＝2，AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝45°，
∴∠ADM＝∠DEC，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°﹣ACB＝90°﹣45°＝45°，
∵∠DEF＝15°，
∴∠MEC＝∠DEF+∠FEC＝15°+45°＝60°，即∠DEC＝60°，
∴∠ADM＝60°，
又∵MH⊥AD，∠DAC＝45°，
∴∠DMH＝30°，∠HMA＝∠DAC＝45°，
∴DM＝2DH，AH＝MH，
设DH＝x，则DM＝2x，
∴由勾股定理得MH＝x＝AH，
又∵AH+DH＝AD＝2，
∴x+x＝2，
∴x＝﹣1，即DH＝x＝﹣1，
∴AH＝MH＝x＝（）＝3﹣，
Rt△AHM中，∠AHM＝90°，
由勾股定理得：AM＝AH＝（3﹣）＝3﹣；
（2）①DG＝BF，理由如下：
如图2，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠FHB＝∠FHC＝90°，
∵∠ACB＝45°，EF⊥AC，
∴∠FEC＝45°＝∠ACB，
∴FE＝FC，
∴EH＝CH＝FH，
∵CG＝BE，
∴设CG＝BE＝y，则EH＝CH＝FH＝＝1﹣，BH＝BE+EH，
∴BH＝y+1﹣＝1+，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，点G在BC的延长线上，
∴∠DCG＝∠BCD＝90°，
在Rt△BFH和Rt△DGC中，∠FHB＝∠DCG＝∠90°，
分别由勾股定理得：
BF2＝FH2+BH2＝（1﹣）2+（1+）2＝2+y2，DG2＝DC2+CG2＝22+y2＝4+y2，
∴DG2＝2BF2，
∴DG＝BF；
②如图3，取DE、DC的中点P、H，延长DC至K，使CK＝CH＝1，延长PC至L，使CL＝CP，
连接PH，KL，过点Q作QR∥CL，延长KL交QR于R，
∵∠BCD＝90°，P为DE中点，
∴CP＝DE，
∵P、H分别是DE、DC的中点，
∴PH∥CE，PH＝CE，
∴∠CHP＝180°﹣∠BCD＝90°，
在△CKL和△CHP中，
，
∴△CKL≌△CHP（SAS），
∴KL＝PH＝CE，∠CKL＝∠CHP＝90°＝∠DCG，
∴KR∥CG，
∴∠CLK＝∠ECP，
又∵QR∥CL，
∴四边形CQRL是平行四边形，
∴QR＝CL＝CP＝DE，
∴DE+DQ＝QR+DQ，
∵当D、Q、R三点共线时，QR+DQ最小，
∴当D、Q、R三点共线时，DE+DQ＝QR+DQ＝DR最小，即2DR＝2（DE+DQ）＝DE+2DQ最小，
此时，∠DQC＝∠DRK＝∠CLK＝∠ECP，
∵CP＝PE，
∴∠DEC＝∠ECP，
∴∠DQC＝∠DEC，
∵∠DCQ＝∠DCE＝90°，DC＝DC，
∴△DCQ≌△DCE（AAS），
∴CQ＝CE，
∵Q为CG的中点，CG＝BE，
∴CQ＝CG＝BE，
∴CE＝BE，
∵BE+CE＝2，
∴BE+BE＝2，
∴BE＝，
∴CE＝CQ＝LR＝2﹣＝，
∴KL＝CE＝，
∴KR＝KL+LR＝+＝，
∵DK＝DC+CK＝2+1＝3，∠CKL＝90°，
∴DR＝＝＝，
∴2DR＝，
∴DE+2DQ的最小值为，
故答案为：．



24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．

（1）求a和k的值；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BD为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
解：（1）将点M的坐标代入y＝﹣x+3并解得：a＝1，
故点M（4，1），
将点M的坐标代入y＝kx﹣2，得4k﹣2＝1，
解得：k＝，
∴a＝1，k＝；
（2）由（1）得直线CD的表达式为：y＝x﹣2，
则点D（0，﹣2），
∴△PBM的面积＝S△BDM+S△BDP＝×BD×（xM﹣xP）＝×（3+2）（4﹣xP）＝20，
解得：xP＝﹣4，
故点P（﹣4，﹣5）；
（3）设点F的坐标为（m，﹣m+3），点N（a，b），
由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2），
则BD＝5，
①当BD是边时，
当点F在点N的上方时，则BD＝BF，即52＝m2+（﹣m）2，
解得m＝±2，
则点F的坐标为（2，﹣+3）或（﹣2，+3）
点N在点F的正下方5个单位，
则点N（2，﹣﹣2）或（﹣2，﹣2）；
当点F在点N的上方时，则BD＝DF，
即52＝m2+（﹣m+3+2）2，
解得m＝0（舍去）或4，
同理可得，点N（4，6）；
②当BD是对角线时，则BD的中点即为NF的中点且BF＝BN，
则，
解得，
故点N的坐标为（﹣5，0.5）；
综上，点N的坐标为（2，﹣﹣2）或（﹣2，﹣2）或（4，6）或（﹣5，0.5）．