2021年湖南省永州市宁远县七年级下学期期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021年湖南省永州市宁远县七年级下学期期末数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省永州市宁远县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．xy＝3 B．3x+y2＝1 C．x+y＝5 D．+y＝2
2．已知方程组和有相同的解，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣2a＝1 B．（3ab）3＝27a3b3
C．a2•a3＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
4．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1
C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．8a2b2＝2a2•4b2
6．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（　　）

A．15 B．17 C．20 D．22
7．如图，直线l1截l2、l3分别交于A、B两点，则∠1的同位角是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
8．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（　　）
A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm
9．甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是（　　）

甲
乙
丙
丁
平均分
90
85
90
85
方差
42
50
50
42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　）

A．57° B．58° C．59° D．60°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．计算（﹣8ab）•（a2b）＝　 　．
12．已知是二元一次方程ax+by＝1的一组解，则b﹣2a+2021＝　 　．
13．下列多项式：①a2﹣4b2；②a2+4ab+4b2；③a2b+2ab2；④a3+2a2b，它们的公因式是　 　．
14．因式分解：4a2﹣1＝　 　．
15．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是　 　．

16．如图，两直线交于点O，∠1＝34°，则∠3的度数为 　 　．

17．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD的大小为　 　度．

18．开学前，根据学校防疫要求，小明同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温（℃）
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数（天）
2
3
3
4
1
1
这组体温数据的中位数是　 　℃．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
20．因式分解：
（1）4x2y﹣8xy+4y；
（2）（a2+1）2﹣4a2．
21．已知A＝（3x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣1+6y2）．
（1）化简A；
（2）当x、y满足方程组时，求A的值．
22．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？

23．利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）．
（1）先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出上面所作的图形连同原四边形绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形；
（2）完成上述设计后，求出整个图案的面积．

24．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价；
（2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
25．春节期间为了表达美好的祝福，抢微信红包成为了人们最喜欢的活动之一．某中学九年级六班班长对全班学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次抽取的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（Ⅱ）求统计的这组红包金额数据的平均数、众数和中位数．
26．如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动，直线MN保持不动，如图2，设转动时间为t（0≤t≤60，单位：秒）

（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；
（2）在转动过程中，当∠AOB第二次达到80°时，求t的值；
（3）在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值：如果不存在，请说明理由．


参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．xy＝3 B．3x+y2＝1 C．x+y＝5 D．+y＝2
解：根据二元一次方程的定义可知：x+y＝5是二元一次方程．
故选：C．
2．已知方程组和有相同的解，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
解：联立得：，
①×3+②得：7x＝42，
解得：x＝6，
把x＝6代入②得：y＝﹣2，
把代入得：，
①×3+②得：9b+1＝9+5b，
解得：，
则a﹣b＝3﹣2＝1．
故选：A．
3．下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣2a＝1 B．（3ab）3＝27a3b3
C．a2•a3＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
解：A、3a﹣2a＝a，是同类项合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
B、（3ab）3＝27a3b3，原计算正确，故此选项符合题意．
C、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意．
D、（﹣a2）3＝﹣a6，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1
C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．8a2b2＝2a2•4b2
解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（　　）

A．15 B．17 C．20 D．22
解：由题意可得：阴影部分面积＝（a﹣b）•a+b2＝（a2+b2）﹣ab．
∵a+b＝10，ab＝22，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×22＝56，
∴阴影部分面积＝×56﹣×22＝28﹣11＝17．
故选：B．
7．如图，直线l1截l2、l3分别交于A、B两点，则∠1的同位角是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
解：∵∠1和∠3分别在l2、l3的下方，在直线l1截的同侧，
∴∠1和∠3是同位角．
故选：B．
8．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（　　）
A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm
解：如图1，直线a和b之间的距离为：5﹣3＝2（cm）；
如图2，直线a和b之间的距离为：5+3＝8（cm）．

故选：D．
9．甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是（　　）

甲
乙
丙
丁
平均分
90
85
90
85
方差
42
50
50
42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：∵＝＞＝，
∴四位同学中甲、丙的平均成绩较好，
又∵S甲2＜S丙2，
∴甲的成绩好又稳定，
故选：A．
10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（　　）

A．57° B．58° C．59° D．60°
解：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．计算（﹣8ab）•（a2b）＝　﹣6a3b2　．
解：（﹣8ab）•（a2b）
＝（﹣8×）•（a•a2）•（b•b）
＝﹣6a3b2，
故答案为：﹣6a3b2．
12．已知是二元一次方程ax+by＝1的一组解，则b﹣2a+2021＝　2020　．
解：根据题意将x＝2、y＝﹣1代入ax+by＝1，得：2a﹣b＝1，
则原式＝﹣（2a﹣b）+2021
＝﹣1+2021
＝2020．
故答案为：2020．
13．下列多项式：①a2﹣4b2；②a2+4ab+4b2；③a2b+2ab2；④a3+2a2b，它们的公因式是　a+2b　．
解：①a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）；
②a2+4ab+4b2＝（a+2b）2；
③a2b+2ab2＝ab（a+2b）；
④a3+2a2b＝a2（a+2b），
它故多项式：①a2﹣4b2；②a2+4ab+4b2；③a2b+2ab2；④a3+2a2b的公因式是a+2b．
故答案为：a+2b．
14．因式分解：4a2﹣1＝　（2a+1）（2a﹣1）　．
解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：（2a+1）（2a﹣1）．
15．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是　4　．

解：∵AB⊥l1，
则点A到直线l1的距离是AB的长＝4；
故答案为：4．
16．如图，两直线交于点O，∠1＝34°，则∠3的度数为 　34°　．

解：∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝34°，
∴∠3＝34°．
故答案为：34°．
17．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD的大小为　30　度．

解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD，
∴∠DOB＝70°，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°，
故答案为：30．
18．开学前，根据学校防疫要求，小明同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温（℃）
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数（天）
2
3
3
4
1
1
这组体温数据的中位数是　36.5　℃．

解：∵共有14个数据，其中位数是第7、8个数据的平均数，而第7、8个数据均为36.5，
∴这组体温数据的中位数是＝36.5（℃），
故答案为：36.5．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
解：（1），
把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则原方程组的解是：．

（2），
①×3+②×2得：19x＝114，
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：18+4y＝16，
解得：y＝﹣，
所以方程组的解．
20．因式分解：
（1）4x2y﹣8xy+4y；
（2）（a2+1）2﹣4a2．
解：（1）4x2y﹣8xy+4y
＝4y（x2﹣2x+1）
＝4y（x﹣1）2；

（2）（a2+1）2﹣4a2
＝（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）
＝（a﹣1）2（a+1）2．
21．已知A＝（3x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣1+6y2）．
（1）化简A；
（2）当x、y满足方程组时，求A的值．
解：（1）A＝（3x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣1+6y2）
＝6x2+x﹣1﹣x+1﹣6y2
＝6x2﹣6y2；
（2）A＝6x2﹣6y2
＝6（x2﹣y2）
＝6（x+y）（x﹣y）
又∵x+y＝5，x﹣y＝1，
∴原式＝6×5×1
＝30．
22．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？

解：（1）DG∥BC．
理由：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；

（2）CD⊥AB．
理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，
∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．
∵∠DCE：∠DCG＝9：10，
∴∠DCE＝95°×＝45°．
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，
∴CD⊥AB．
23．利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）．
（1）先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出上面所作的图形连同原四边形绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形；
（2）完成上述设计后，求出整个图案的面积．

解：（1）如图所示：

（2）一个四边形面积为：×5×1×2＝5，
整个图案面积为：5×4＝20．

24．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价；
（2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种免洗手消毒液的单价为15元，乙种免洗手消毒液的单价为25元；
（2）设需要300ml的空瓶m个，500ml的空瓶n个，
依题意得：（300+20）m+（500+20）n＝9600，
∴m＝30﹣n，
∵m，n均为非负整数，
∴或或，
当m＝30，n＝0时，总损耗为20（m+n）＝600（ml）；
当m＝17，n＝8时，总损耗为20（m+n）＝500（ml）；
当m＝4，n＝16时，总损耗为20（m+n）＝400（ml）；
∵600＞500＞400，
∴分装成300ml的4瓶，500ml的16瓶时，总损耗最小，此时需要300ml的空瓶4个，500ml的空瓶16个．
25．春节期间为了表达美好的祝福，抢微信红包成为了人们最喜欢的活动之一．某中学九年级六班班长对全班学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次抽取的学生人数为　40　，图①中m的值为　25　；
（Ⅱ）求统计的这组红包金额数据的平均数、众数和中位数．
解：（Ⅰ）4+6+12+10+8＝40（人），
m＝100×＝25．
故答案是：40，25；
（Ⅱ）∵＝33，
∴这组红包金额数据的平均数为33，
∵这组数据中，30出现了12次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为30，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是30，
∴，
∴这组红包金额数据的中位数为30．
26．如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动，直线MN保持不动，如图2，设转动时间为t（0≤t≤60，单位：秒）

（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；
（2）在转动过程中，当∠AOB第二次达到80°时，求t的值；
（3）在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值：如果不存在，请说明理由．
解：（1）当t＝3时，∠AOB＝180°﹣4°×3﹣6°×3＝150°．
（2）依题意，得：4t+6t＝180+80，
解得 t＝26，
答：当∠AOB第二次达到80°时，t的值为26秒．
（3）当0≤t≤18时，180﹣4t﹣6t＝90，
解得t＝9，
当18≤t≤60时，4t+6t＝180+90或4t+6t＝180+270，
解得t＝27或t＝45．
答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为9秒、27秒或45秒．