（通用版）中考数学二轮专题复习专题09《圆的有关计算证明与探究》精讲精练（教师版）

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专题九　圆的有关计算、证明与探究解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线找到解题思路与方法.一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等.重难点突破　圆内定理的应用【例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB.(1)若BE＝8，求⊙O的半径；(2)若∠DMB＝∠D，求线段OE的长.解：(1)设⊙O的半径为x，则OE＝x－8.∵CD＝24，由垂径定理得DE＝12.在Rt△ODE中，∵OD2＝DE2＋OE2，即x2＝(x－8)2＋122，解得x＝13.∴⊙O的半径为13；(2)∵∠DOE＝2∠DMB，∠DMB＝∠D，∴∠DOE＝2∠D.∵∠DOE＋∠D＝90°，∴∠D＝30°.在Rt△OED中，∵DE＝12，∠OED＝90°，∴OE＝DE·tan30°＝12×＝4.    1.如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.(1)弦长AB＝_______；(结果保留根号)(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.解：(1)2；(2)连接OA.∵OA＝OB＝OD，∴∠BAO＝∠B＝30°，∠D＝∠DAO＝20°，∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝50°，∴∠BOD＝2∠DAB＝100°；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC，∠BCO>∠D，∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°，∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝.【方法指导】熟练掌握圆内的4个定理，根据图形的形状和位置选择合适的定理.      　圆外定理的应用【例2】如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长.解：(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切.理由：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.∵CE切⊙O于点D，EB切⊙O于点B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°.设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6.      2.如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长.解：(1)连接AE，AO.∵BE为直径，∴∠BAE＝90°.∵＝，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴∠AFC＝∠B＋45°，∴∠CAF＝∠EAC＋45°.∵AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，∴∠B＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B＝∠EAC.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠EAC＝∠OAB，∴∠OAC＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，∴AC⊥OA，∴AC为⊙O的切线；(2)连接OD.∵＝，∴∠BOD＝∠DOE＝90°.在Rt△OFD中 ，OF＝5－3＝2，OD＝5，∴DF＝＝.【方法指导】掌握圆外3个定理和2个定义，了解一种证明方法，熟练应用6条辅助线解题.    　圆中的计算【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积.(结果保留π)解：(1)BC与⊙O相切.证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切；(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，在Rt△BOD中，由勾股定理得：OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋12，解得：x＝2，即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.∵Rt△ODB中，OD＝OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴S扇形DOF＝＝，∴S阴影＝S△ODB－S扇形DOF＝×2×2－＝2－.故阴影部分的面积为2－.3.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若DE＝1，BC＝2，求劣弧的长l.解：(1)连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC.∵EF⊥AD，∴EF⊥OC，∴EF是⊙O的切线；(2)连接OD，DC.∵∠DAC＝∠DOC，∠OAC＝∠BOC，∵∠DAC＝∠OAC.∴∠DOC＝∠BOC，∴DC＝BC.∵ED＝1，DC＝BC＝2，∴sin∠ECD＝＝，∴∠ECD＝30°，∴∠OCD＝60°.∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2，∴l＝＝.【方法指导】熟练应用5个公式，关注与前面知识的综合应用. 专题九　圆的有关计算、证明与探究一、选择题1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为(　B　)A.26π  B.13π   C.  D.2.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　A　)A.正三角形  B.正方形   C.正五边形  D.正六边形3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°.则CD的长为(　C　)A.  B.2  C.2  D.84.如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为(　C　)A.π  B.π  C.2π  D.3π5.如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为(　C　)A.114°  B.122°   C.123°  D.132°6.已知圆锥的底面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是(　A　)A.18π cm2  B.27π cm2      C.18 cm2  D.27 cm27.如图，在Rt△ABC中，AC＝5 cm，BC＝12 cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为(　B　)A.60π cm2  B.65π cm2   C.120π cm2  D.130π cm28.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(　D　)A.0≤b≤2          B.－2≤b≤2C.－2＜b＜2      D.－2＜b＜2二、填空题9.如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为__5__cm.10.如图，直线AB与CD分别与⊙O 相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.若BD＝4，则阴影部分的面积为__2π－4__.11.如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝__80°__.12.如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm的⊙O，＝90°，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为__(32＋48π)cm2__.13.如图，B，C在⊙O上，O在等腰直角三角形ABC内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6.则⊙O的半径为____.14.如图，⊙O上有三个点A，B，C，且∠CBD＝∠ABC，P为BC上一点，PE∥AB交BD于E.若∠AOC＝60°，BE＝3时，则点P到AB的距离为____.15.如图，在⊙O内有折线OABC，OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为__20__.16.如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是____.三、解答题17.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC.(1)求证：四边形ACBP是菱形；(2)若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积.解：(1)连接AO，BO.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠AOP＝∠CAO＋∠ACO，∴∠ACO＝30°，∴∠ACO＝∠APO，∴AC＝AP，同理BC＝PB，∴AC＝BC＝BP＝AP，∴四边形ACBP是菱形；(2)连接AB交PC于D.∵四边形ACBP是菱形，∴AD⊥PC，∵OA＝1，∠AOP＝60°，∴AD＝OA＝，∴PD＝，∴PC＝3，AB＝，∴菱形ACBP的面积＝AB·PC＝.18.如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA＝3.(1)求证：AB平分∠OAD；(2)若点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，求扇形OAB的面积.(计算结果保留π)解：(1)连接OB.∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC.∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB＝∠OBA.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠DAB＝∠OAB，∴AB平分∠OAD；(2)∵点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，∴∠AOB＝2∠AEB＝120°，∴S扇形OAB＝＝3π.19.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长.解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠FCB，∴∠ACB＝∠FCB，即CB平分∠DCF.∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC.∵BF为⊙O的切线，∴BF⊥AB.∵CF∥AB，∴BF⊥CF，∴BD＝BF；(2)∵AB＝AC＝10，CD＝4，∴AD＝AC－CD＝10－4＝6.在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝102－62＝64，在Rt△BDC中，BC＝＝＝4即BC的长为4.  20.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：(1)直线DM是⊙O的切线；(2)DE2＝DF·DA.证明：(1)连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG.∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G.∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°.∴∠MDB＋∠BDG＝90°.∴直线DM是⊙O的切线；(2)连接BE.∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE.∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴＝，即BD2＝DF·DA.∴DE2＝DF·DA. 21.如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E.已知BC＝，AC＝3.求：(1)AD的长；(2)图中阴影部分的面积.解：(1)在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.∵BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线.∵AB是⊙O的切线，∴BD＝BC＝，∴AD＝AB－BD＝；(2)在Rt△ABC中，sinA＝＝＝，∴∠A＝30°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠AOD＝90°－∠A＝60°.∵＝tanA＝tan30°，∴＝，∴OD＝1，∴S阴影＝＝.