（通用版）中考数学一轮复习讲与练17《二次函数的实际应用》精讲精练（教师版）

这是一份（通用版）中考数学一轮复习讲与练17《二次函数的实际应用》精讲精练（教师版），共12页。试卷主要包含了5x＝70，得等内容，欢迎下载使用。
第六节　二次函数的实际应用　二次函数的实际应用1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为(　A　)A.6 cm　B.12 cm　C.24 cm　D.36 cm2.某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q＝W＋100，而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素)，W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.次数n21速度x4060指数Q420100(1)用含x和n的式子表示Q；(2)当x＝70，Q＝450时，求n的值；(3)若n＝3，要使Q最大，确定x的值；(4)设n＝2，x＝40，能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由.[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是]解：(1)Q＝－x2＋6nx＋100；(2)将x＝70，Q＝450代入Q＝－x2＋6nx＋100中，得450＝－×702＋6×70n＋100，解得n＝2；(3)当n＝3时，Q＝－x2＋18x＋100＝－(x－90)2＋910.∵－<0，∴函数图像开口向下，有最大值，则当x＝90时，Q有最大值，即要使Q最大，x＝90；(4)由题意，得420＝－[40(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100，即2(m%)2－m%＝0，解得m1＝50，m2＝0(舍去)，∴m＝50.中考考点清单　二次函数的实际应用二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案.解二次函数应用题步骤及关键点：步骤关键点(1)分析问题明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变量及函数(2)建立模型，确定函数表达式根据题意确定合适的表达式或建立恰当的坐标系(3)求函数表达式变量间的数量关系表示及自变量的取值范围续表(4)应用性质，解决问题熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围【方法技巧】(1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；(2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值.中考重难点突破　二次函数的实际应用【例1】如图所示，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.(1)求S与x之间的函数关系式；(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，那么AB的长是多少？(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.【答案】解：(1)设宽AB为x m，则BC为(24－3x)m.这时面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x；(2)由条件得，－3x2＋24x＝45.整理，得x2－8x＋15＝0.解得x1＝5，x2＝3.∵0＜24－3x≤10，∴≤x＜8.∴x＝3不合题意，舍去.故花圃的宽为5 m；(3)能围成面积比45 m2更大的花圃.S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48.∵≤x＜8，∴当x＝时，S最大＝48－3＝46(m2).故能围成面积比45 m2更大的花圃.围法：24－3×＝10(m)，花圃的长为10 m，宽为4 m，这时有最大面积46 m2.1.某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16 m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24 m，设每间羊圈与墙垂直的一边长为x(m)，三间羊圈的总面积为S(m2)，则S与x的函数关系式为__S＝－4x2＋24x__，x的取值范围是__2≤x＜6__，当x＝__3__时，面积S最大，最大面积为__36__m2__.【例2】某商场经营某种品牌的玩具，购进单价是30元.根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件.(1)设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你用含x的代数式分别来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具获得利润W(元)，并把结果填写在下面的表格中：销售单价(元)x销售量y(件)________销售玩具获得利润W(元)________(2)若商场要获得10 000元的销售利润，该玩具的销售单价x应定为多少元？(3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单位不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，则商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】解：(1)销售单价(元)x销售量y(件)1 000－10x销售玩具获得利润W(元)－10x2＋1 300x－30 000　　(2)由题意，得－10x2＋1 300x－30 000＝10 000.解得x1＝50，x2＝80.答：该玩具销售单价为50元或80元时，可获得10 000元的销售利润；(3)根据题意，得解得44≤x≤46.W＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，∵a＝－10＜0，∴w随x增大而增大，∴当x＝46时，w最大值＝8 640(元).2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(　C　)A.140元  B.150元    C.160元  D.180元【例3】杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4 m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4 m，则这次表演是否成功？请说明理由.【答案】解：(1)y＝－x2＋3x＋1＝－＋.∵a＝－＜0，∴函数有最大值，即演员弹跳离地面的最大高度是 m；(2)由于OC＝4 m，故将x＝4代入函数表达式，得y＝－×42＋3×4＋1＝3.4，因此点(4，3.4)在该抛物线上，说明这次表演能够成功.3.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面下降1 m时，水面的宽度为__2__m.【例4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，当运动时间为多少秒时，△PBQ的面积最大？【答案】解：(1)设x s后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意，得×2x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4，∵当x＝4时，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1；(2)设x s后，PQ的长度等于5 cm，根据题意，得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2；(3)设x s后，△PBQ的面积等于y cm2，根据题意，得y＝x(5－x)＝－x2＋5x，∵a＝－1＜0，∴当x＝－＝时，y有最大值.4.如图，已知等腰Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2 cm，在三角形内作矩形CDEF，使D在AC上，E在AB上，F在BC上，则矩形CDEF的最大面积为__1__cm2__；此时矩形CDEF为__正方形__.第六节　二次函数的实际应用1.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝x2(x>0).若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为(　C　)A.40 m/s  B.20 m/s  C.10 m/s  D.5 m/s2.一个小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(　C　)A.1 m  B.5 m  C.6 m  D.7 m3.凸四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC＋BD＝20.则当AC＝__10__时，此四边形面积有最大值为__50__.  4.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为 m.(1)求该抛物线的关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？解：(1)y＝－x2＋2x＋4.∴当x＝－＝6时，y最大＝10，即拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)由题知车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，当x＝2或x＝10时，y＝>6，∴能安全通过；(3)令y＝8，即－x2＋2x＋4＝8，可得x2－12x＋24＝0，解得x1＝6＋2，x2＝6－2，x1－x2＝4.答：两排灯的水平距离最小是4 m.5.市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元.经市场调查发现：日销售量y(kg)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元.(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求该公司销售该原料日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，根据题意，得解得∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)；(2)由题意，得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6 450，∴所求函数的关系式为W＝－2x2＋260x－6 450(30≤x≤60)；(3)W＝－2(x－65)2＋2 000.∵－2<0，对称轴为直线x＝65，∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大.∴当x＝60时，W有最大值为1 950，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大利润为1 950元.6.宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图像如图.工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？解：(1)根据题意，得：∵若7.5x＝70，得：x＝＞4，不符合题意：∴5x＋10＝70，解得x＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)由函数图像知，当0≤x≤4时，P＝40，当4＜x≤14时，设P＝kx＋b，由题意，得解得∴P＝x＋36；①当0≤x≤4时，W＝(60－40)·7.5x＝150x，∵w随x的增大而增大，∴当x＝4时，w最大＝600元；②当4＜x≤14时，W＝(60－x－36)(5x＋10)＝－5x2＋110x＋240＝－5(x－11)2＋845，∴当x＝11时，w最大＝845，∵845＞600，∴当x＝11时，W取得最大值为845元，∴w＝答：第11天时，利润最大，最大利润是845元.7.某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间.每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例.每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长(cm)2030出厂价(元/张)5070(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润是26元.(利润＝出厂价－成本价)①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是]解：(1)设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y＝kx＋n.由表格中的数据得解得∴y＝2x＋10；(2)①设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得P＝y－mx2＝2x＋10－mx2.将x＝40，P＝26代入P＝2x＋10－mx2中，得26＝2×40＋10－m×402.解得m＝.∴P＝－x2＋2x＋10；②∵a＝－<0，∴当x＝－＝－＝25(在5～50之间)时，P最大值＝＝＝35.即出厂一张边长为25 cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元.8.如图所示，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.解：(1)当h＝2.6时，将点A(0，2)代入y＝a(x－6)2＋h，得36a＋2.6＝2，a＝－，∴y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6；(2)当x＝9时，y＝2.45＞2.43，∴球能越过球网；令y＝0，－(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6－2(舍去)，x2＝6＋2＞18，∴球会出界；(3)将A(0，2)代入y＝a(x－6)2＋h得36a＋h＝2，a＝；当x＝9时，y＝(9－6)2＋h＞2.43①；当x＝18时，y＝(18－6)2＋h≤0②，由①②得h≥.