四川省泸州市泸县第一中学2022届高三二诊模拟考试+数学(文)试题+Word版含答案
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文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 客观题(60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则
A. B.
C. D.
2.i为虚数单位,若是实数,则实数b的值为
A.3 B. C. D.
3.下列函数中为奇函数且在单调递增的是
A. B.
C. D.
4.如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为和,样本极差分别为和,则
A.,, B.,,
C.,, D.,,
5.如果是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是
A.与 B.与
C.与 D.与
6.设,则“”是“函数在上单调递增”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.函数在上的图象大致为
A.B.C.D.
8.素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式(是素数),法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式(是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为,第19个梅森素数为,则下列各数中与最接近的数为 (参考数据:)
A. B. C. D.
9.已知,,,则、、的大小关系为
A. B. C. D.
10.如图,正方体中,是的中点,则
A.直线与直线相交,直线平面
B.直线与直线平行,直线//平面
C.直线与直线垂直,直线//平面
D.直线与直线异面,直线平面
11.在△中,,,,则△的面积为
A. B. C. D.
12.已知双曲线,过原点的直线与双曲线交于,两点,以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点,若的面积为,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
第II卷 主观题(90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知实数,满足约束条件则的最小值为______.
14.若,则___________.
15.若直线与曲线相切,则实数t的值为________ .
16.已知椭圆的两个焦点分别为,,离心率,点在椭圆上,,且△的面积为1,则右焦点的坐标为___________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)在锐角中,角,,所对的边分别为,,,,从以下三个条件中任选一个:①;②;③,解答如下的问题
(1)证明:;
(2)若边上的点满足,求线段的长度的最大值.
18.(12分)某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别,,,,(单位:克)中,经统计频率分布直方图如图所示.
(1)估计这组数据的平均数;
(2)在样本中,按分层抽样从质量在,中的芒果中随机抽取10个,再从这10个中随机抽取2个,求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率;
(3)某经销商来收购芒果,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表,用样本估计总体,该种植园中共有芒果大约10000个,经销商提出以下两种收购方案:
方案①:所有芒果以10元/千克收购;
方案②:对质量低于350克的芒果以3元/个收购,对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购.
请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
19.(12分)《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,三棱锥中,面,.
(1)判断四面体是否为鳖臑,并说明理由;
(2)若,为中点,求三棱锥的体积.
20.(12分)已知抛物线与直线相交于两点,为坐标原点,.
(1)求;
(2)已知点,过点的直线交抛物线于两点(异于点),证明:为直角.
21.(12分)已知函数.
(1)讨论的零点个数;
(2)若,求证:.
(二)选考题,共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线:(为参数,实数),曲线:(为参数,实数).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:,(,)与交于O,A两点,与交于O,B两点.当时,;当时,.
(1)求a,b的值;
(2)求的最大值.
23. [选修4-5: 不等式选讲] (10分)
已知,若在R上恒成立.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设实数a的最大值为m,若正数b,c满足,求bc+c+2b的最小值.
泸县第一中学高2019级高三二诊模拟考试
文科数学参考答案:
1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C 11.B 12.B
13. 14. 15. 16.
17.(1)选条件①:由,得,
由正弦定理可得:,
因为,所以,
所以,
因为,所以,即,因为,所以;
在中,由正弦定理可得:,
所以,即证;
选择条件②:由正弦定理可得:,
又因为,
所以,
化简整理得:,由,所以,
又,所以,在中,由正弦定理可得:,
所以,即证;
选择条件③:由已知得:,
由余弦定理得,
所以,
因为,所以,
由正弦定理可得:,
因为,所以,又,所以,
在中,由正弦定理可得:,
所以,即证;
(2)由及,可得,在中,由余弦定理可得:
,因为为锐角三角形,所以,解得:,所以,
所以当即时,取最大值为,所以线段的长度的最大值为.
18.(1)由频率分布直方图可得这组数据的平均数为:
(克);
(2)由题可知质量在,中的频率分别为0.2,0.3,按分层抽样从质量在,中的芒果中随机抽取10个,则质量在中的芒果中有4个,质量在中的芒果中有6个,
从这10个中随机抽取2个,共有种等可能结果,
记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”,则事件A有种等可能结果,
∴;
(3)方案①收入:(元);
方案②收入:由题意得低于350克的收入:(元);
高于或等于350克的收入:(元).
故总计(元),由于,
故种植园选择方案②获利更多.
19.解:(1)三棱锥中,面,,
,,,
又,平面,,
四面体中,,,,都是直角三角形,
四面体为鳖臑;
(2),为中点,平面,
三棱锥的体积.
20.(1)将代入,有,
设,易知,可得,
而,即.
(2)设,直线,
将代入,易知,
故,而
故.
21.(1)由题意(其中),只需考虑函数在的零点个数.
①当时,函数在内没有零点,②当时,函数在单调递增,
取时,,时,,此时在存在唯一个零点,且.
③当时,,则时,;时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
则是函数在上唯一的极小值点,且.
取时,,取时,.
因此:若,即时,没有零点;若,即时,有唯一个零点;若,即时,有且仅有两个零点.
综上所述,时,有两个零点;或时,有唯一个零点;时,没有零点.
(2)不等式即为(其中),
先证时,.
令,则,则单调递增,所以,则.
所以,故只需证明即可.即证明(其中),令,,只需证明即可.
又,,则时,;时,.
所以在上单调递增,在上单调递减.
则时,取得极大值,且,也即为最大值.
由得.
则时,;时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
则时,取得极小值,且,也即为最小值.
由于,
即有,则,
所以时,不等式成立,则不等式也成立.
22.(1)由曲线:(为参数,实数),
化为普通方程为,展开为:,
其极坐标方程为,即,由题意可得当时,,∴.
曲线:(为参数,实数),化为普通方程为,展开可得极坐标方程为,由题意可得当时,,∴.
(2)由(1)可得,的极坐标方程分别为,.
∴,
∵,∴的最大值为,当,时取到最大值.
23.(1)令,则
由解析式易知,,因为在R上恒成立,所以,即
(2)由(1)可知,,则.
当且仅当,即时,取等号.故的最小值为
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