专题05 二次函数与几何图形的综合-2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）专题05 二次函数与几何图形的综合【典型例题】1．（2018·全国初三单元测试）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=﹣（x﹣2）2+k过点A．（1）求k的值；（2）若把抛物线y=﹣（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．【答案】（1）∵经过点A（3，4），∴，解得：；（2）如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD=3，OD=4，∴．∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=OC=5，BD=AB﹣AD=2，∴B（﹣2，4）．令y=0，得，解得：x1=0，x2=4，∴抛物线与x轴交点为O（0，0）和E（4，0），OE=4，当m=OC=5时，平移后的抛物线为，令x=﹣2得，，∴点B在平移后的抛物线上；当m=CE=9时，平移后的抛物线为，令x=﹣2得，，∴点B不在平移后的抛物线上．综上，当m=5时，点B在平移后的抛物线上；当m=9时，点B不在平移后的抛物线上． 【专题训练】一、选择题1．（2020·厦门市松柏中学月考）如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（    ）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】B2．边长为1的正方形的顶点在x轴的正半轴上，如图将正方形绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数的图象上，则a的值为（　　　　）A． B． C．-2 D．【答案】D3．（2019·浙江秀洲·中考模拟）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y=x2沿射线OC平移得到新抛物线y=（x-m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（   ） A．2，6，8   B．0<m≤6  C．0<m≤8 D．0<m≤2或 6 ≤ m≤8【答案】D 二、填空题4．（2020·江苏南通第一初中初三月考）如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数的图象上，点A,B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为__________．【答案】（-2,2）5．（2020·河北青县·初三其他）已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD.则抛物线的顶点是______．正方形的边长AB的最小值是______．【答案】(2,2)        6．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学初三一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y=ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC长为_____．【答案】4.7．（2020·湖北江夏·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧），P是抛物线上段的一点（点P不与A、B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN．设点P的横坐标为m，当正方形的四个顶点分别落在四个不同象限时，m的取值范围是__________．【答案】8．（2020·安徽亳州·初三月考）如图，点O为坐标原点，点C，F都在y轴正半轴上，点M为OC中点，四边形OABC和CDEF都是正方形，抛物线经过M，B，E三点．（1）当b=1时，a=___________；       （2）的值为______________．【答案】         三、解答题9．（2019·辽宁绥中·初三期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4,3)，D是抛物线上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？【答案】∵D是抛物线上一点∴设∵顶点C的坐标为(4,3)∴ ∵四边形OABC是菱形，且顶点A在x轴正半轴上∴BC=OC=5，轴∴∵∴有最大值当x=3时，最大值为15． 10．（2020·山东日照·二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，∵点A（﹣2，0），点B（8，0），∴对称轴为直线x＝3，∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC解析式为：y＝kx﹣8，∴0＝8k﹣8，∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣8，当x＝3，y＝﹣5，∴点D（3，﹣5）；（3）存在，∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8，如图，∵△ACE与△ACD面积相等，∴DE∥AC，∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n，∴﹣5＝﹣4×3+n，∴n＝7，∴DE解析式为：y＝﹣4x+7，联立方程组可得：，解得：，，∴点E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）． 11．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学初三一模）如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】（1）设抛物线解析式为，∵当t=2时，AD=4，∴点D的坐标为(2,4)，∴将点D坐标代入解析式得，解得：，抛物线的函数表达式为；（2）由抛物线的对称性得，，当x=t时，，矩形ABCD的周长，，，，当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4)，矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5,2)，∵直线GH平分矩形的面积，∴点P是GH和BD的中点，∴DP=PB，由平移知，PQ∥OB∴PQ是△ODB的中位线，，所以抛物线向右平移的距离是4个单位． 12．（2019·山西郊区·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线x=-2与x轴交与点C，与抛物线交于点A，此抛物线与轴的正半轴交于点B（1,0），且AC=2BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE=3PE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）∵直线x=-2与x轴交于点C．∴C(-2,0)∵B(1,0)∴BC=3∵AC=2BC∴AC=6∵直线x=-2与x轴交于点A．∴A点坐标为(-2,6)把点A、B标代入解析式得解得：∴抛物线的解析式为：（2）①∵P是直线AB上方的抛物线上一点∴设点P为坐标为设直线AB解析式：将点A、B坐标代入解析式，得解得：∴∵轴于D，交AB于点E∴点E坐标为∴∵∴解得：（舍去），当时，∴点P坐标是②∵点M在直线PD上，
∴设点M的坐标为∵点A（-2，6），点B（1，0），∴∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形，
Ⅰ：当BM为斜边时，可得：AB2+AM2=BM2，∴，∴∴点M的坐标为Ⅱ：当AM为斜边时，可得：AB2+BM2=AM2，∴，∴∴点M的坐标为综上所述，符合题意的点M的坐标为或 13．（2019·江西定南·期中）如图，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）当点P在线段OB上（点P不与点O、B重合）运动时，直线交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（4）当点P在线段OB上（点P不与点O、B重合）运动时，连接BQ ，试探究m为何值时，四边形CQBO的面积最大？【答案】解：（1）∵令x=0得；y=2，∴C（0，2）∵令y=0得：，解得：，∴A（﹣1，0），B（4，0）；（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，﹣2），设直线BD的解析式为，∵将（4，0）代入得：，∴．∴直线BD的解析式为；（3）∵QM∥DC，∴当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形，∵点P的坐标为（m，0），∴点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），M（m，m﹣2），∴﹣m2+m+2﹣(m﹣2)=4解得：m=2，m=0（不合题意，舍去），∴当m=2时，四边形CQMD是平行四边形；（4）连接BC 交直线于点N，设直线BC的解析式为，∵ 点B（4，0）在直线BC上，∴ ，∴，∴直线BC的解析式为，则点N的坐标为（m，﹣m+2），QN=，当m=2时，四边形CQBO的面积最大． 14．（2020·河北滦州·其他）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t>0）秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0)、B(1,-5)、D(4,0)．（1）求c、b（用含t的代数式表示）；（2）嘉琪认为：“当这条抛物线经过点B时，一定不会经过点C”请你通过计算说明他的说法对吗？（3）当时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由：若不变，求出∠AMP的值；②在矩形ABCD的内部（不含动界），把横、纵华标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．【答案】解：⑴抛物线过原点O，把代入，得．点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动tS，P（t,0），再把，代入，得，  t（t+b）=0，∵，∴． ，（2）嘉琪说的正确 ．由（1）得y=x²-tx，把B（1，-5）代入-5=1-t得t=6 ∴y=x²-6x，当x=4时，y=16-24=-8≠-5，∴嘉琪说的正确，（3）①不变．在点P的运动过程中，A（1，0），如图，当时，，故．AM=t-1，∵OP=t， ∴AP=t-1，∴AP=t-1=AM，∵矩形ABCD，，∴．∴∠AMP的大小是不会变，且，②在矩形中共有8个好点Ⅰ、左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；，x=2时y<-4，x=3时，y>-1，即解得此时无公共解，Ⅱ、左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，＜t＜4且＜t＜，解得＜t＜；Ⅲ、左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：则有-3＜y2＜-2，-3＜y3＜-2即-3＜4-2t＜-2，-3＜9-3t＜-2，无解；Ⅳ、左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：则有-2＜y2＜-1，-4＜y3＜-3即-2＜4-2t＜-1，-4＜9-3t＜-3，无解；Ⅴ、左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：则有-1＜y2， y3＜-4即-1＜4-2t， 9-3t＜-4，无解；综上所述，t的取值范围是：＜t＜． 15．（2020·保定市第二十一中学初三期末）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结PA、PB．设△PAB的面积为S．点P的横坐标为．①试求S关于的函数关系式；②请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？③过点P作轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由抛物线的表达式可化为，则-12a=6，解得：a=，故抛物线的表达式为：；（2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D， 由点A(0,6)、B的坐标可得直线AB的表达式为：y=-x+6，设点 ，则点D（m，-m+6），∴；②∵，＜0∴当m=3时，S有最大值；③∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE=PD，∵点，函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，则|PE|=2m-4，即，解得：m=4或-2或或（舍去-2和）当m=4时，=6；当m=时，=．故点P的坐标为（4,6）或（，）．