数学北师大版第三章 圆7 切线长定理授课课件ppt

3.7切线长定理  教学设计

教学目标

1.了解切线长的概念,并经历探索切线长定理的过程.

2.会证明切线长定理,并能运用切线长定理进行相关的计算.

教学重点

【重点】　了解切线长的概念,掌握切线长定理.

【难点】　切线长定理的证明及应用.

教学准备

【教师准备】　多媒体课件和圆规.

【学生准备】　

1.复习三角形内切圆等相关知识.

2.直尺和圆规.

教学过程

【新课导入】

活动内容：过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看

处理方式：学生前后四人一组，分工合作，

互相帮助，动手画圆的切线，让学生明白

过圆外一点画圆的切线能画出两条.

一、切线长概念

想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条?

【师生活动】　学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题.

【教师点评】　过圆外一点能画出两条圆的切线.

课件出示:

【议一议】　如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.

问题:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?

学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线.

问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗?

【师生活动】　学生思考后得出PA=PB.教师要求学生说说理由.

代表发言:因为这个图形是轴对称图形,根据其性质“对应线段相等” 就可以得出PA=PB.

【教师点评】　图中的线段PA,PB是圆的切线,它们的长度就叫做切线长.

切线长概念:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

[设计意图]　通过切线长概念的探究过程,不但了解了切线长的概念,而且通过对相等线段的判断,使学生初步感知了切线长定理的证明方法,为下面定理的证明打下良好的基础.

[知识拓展]　

切线与切线长的区别:它们是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.

二、切线长定理及其证明

【教师引导】　通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.

【想一想】　除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗?

学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA=PB.

【师生活动】　要求学生先独立解答,完成后同伴相互交流,代表板演展示.学生完成后,教师课件出示解答过程,供学生参考,规范他们的解题步骤.

　已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.

求证:PA=PB.

证明:连接OA,OB,PO.

∵PA,PB是☉O的切线,

∴∠PAO=∠PBO=90°.

在Rt△OPA和Rt△OPB中,

∵OA=OB,OP=OP,

∴Rt△OPA≌Rt△OPB.

∴PA=PB.

符号语言描述:

若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB.

 [设计意图]　通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助线的做法,一举两得.

[知识拓展]　切线长定理推论1:圆心和圆外一点的连线,平分从这点出发的两条切线的夹角.

三、圆外切四边形边的性质

【想一想】　如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴进行交流.

【教师活动】　为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析.

【学生活动】　学生仔细观察,找出图中相等的线段后,与同伴交流,统一答案.

代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH.

【问题】　但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你还能得出线段之间的相等关系吗?

【师生活动】　学生分组讨论,教师巡视并参与到学生的讨论当中去,对感觉有难度的学生及时进行点拨、指正.每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案,教师找学生说明理由.

证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH,

∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)= AD+BC,

即AB+CD=AD+BC.

【教师点评】　切线长定理推论2:圆的外切四边形的两组对边之和相等.

[设计意图]　通过探究,使学生对切线长定理有了更深刻的理解,同时利用切线长定理的拓展也提高了学生分析问题、解决问题的综合能力.

课件出示:

　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径.

思路一

〔解析〕　由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据 “见切点连半径”作出辅助线,可以得出四边形OECF是正方形.然后利用切线长定理可以列出以☉O半径为未知数的方程,解方程得出半径.

解:连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF,设OD=r.

在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,

∴AB===26.

∵☉O分别与AB,BC,CA相切于点D,E,F,

∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF.

又∵∠C=90°,

∴四边形OECF为正方形.

∴CE=CF=r.

∴BE=24-r,AF=10-r.

∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r.

而AB=26,∴34-2r=26.

∴r=4,

即☉O的半径为4.

思路二

〔解析〕　由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据 “见切点连半径”作出辅助线,利用“△ABC的面积=△ABO的面积+△BCO的面积+△ACO的面积”, 列出以☉O半径为未知数的方程.

解:设OD=r,分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,

在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,

∴AB===26.

∵S△ABC =S△ABO+S△BCO+S△ACO,

∴×10×24=×26×r+×24×r+×10×r,

解得r=4.

即☉O的半径为4.

[设计意图]　本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点,通过对例题的解答,既巩固了本节课的重点,又培养了学生灵活应用切线长定理的能力.

【课堂总结】

1.切线长概念.

2.切线长定理.

3.切线长定理的两个推论.