2020-2021学年5.2.1 平行线学案

这是一份2020-2021学年5.2.1 平行线学案，共14页。
专题二 平行线几何模型-M模型（知识讲解）几何模型1：M型模型（也称“猪蹄模型”）     图 一几何模型2：鸡翅模型        图三几何模型3：折鸡翅模型            图四几何模型4：多个M型模型  证明思路参考几何模型1例题讲解：1．如图，若，则，你能说明为什么吗？【分析】过作，利用两直线平行，内错角相等来证明． 解：过作，则，，，，．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，关键是过点作的平行线，利用平行线的性质来证明．2．（1）如图1，已知，，求证：（2）如图2，已知，，，求证：
 【分析】（1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合可得∠DCE=∠E，即可得当BE//DE，最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论；（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比较即可得到结论． （1）证明：如图：延长BF、DC相较于G∵AB//CD∴∠ABF=∠G∵∴∠DCE=∠G∴BG//CE∴；
 （2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180°∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y），∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）=180°-[80°-（4x+4y）]=4x+4y=4（x+y）∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-[180°-（3x+3y））]=3x+3y=3（x+y），∴．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键．3．请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．（1）在图（1）中，与有何关系？（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）【答案】（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．解答：（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º；（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，即∠B+∠A+∠C=360º；（4）如图（4），设BE与AC相交于D，∵与平行，∴∠C=∠ADE，∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；（5）如图（5），设CF与AB相交于D，∵与平行，∴∠B=∠ADF，∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．4．问题情境：如图1，已知，．求的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得________．问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，，．（1）当点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________．【答案】问题情境： 252°；问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β-∠α；理由见解析；或∠CPD=∠α-∠β．理由见解析；问题拓展：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．【分析】问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；
问题迁移：（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解． 解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；
故答案为：252°；
问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．5．已知射线平行于射线，点、分别在射线、上.（1）如图1，若点在线段上，若，时，则_________.（2）如图1，若点在线段上运动（不包含、两点），则、、之间的等量关系是_____________________.（3）①如图2，若点在线段的延长线上运动，则、、之间的等量关系是________________；②如图3，若点在线段的延长线上运动，则、、之间的等量关系是________________.（4）请说明图2中所得结论的理由.【答案】（1）；（2）；（3）①；②；（4）见解析；【分析】（1）过P作GH∥CD，根据平行线的性质得∠HPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥GH，得到∠APH=∠A，则∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，把∠A=25°，∠APC=70°代入计算可得到∠C的度数；（2）过P作GH∥CD，根据平行线的性质得∠HPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥GH，得到∠APH=∠A，则∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，可得到∠APC=∠A+∠C；（3）过P作MN∥CD，根据平行线的性质得∠MPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥MN，得到∠APM=∠A，则∠APC=∠MPC-∠APM=∠C-∠A，可得到∠APC=∠C-∠A；② 过P作IJ∥CD，根据平行线的性质得∠IPC=∠C，由AB∥CD得到AB∥IJ，得到∠API=∠A，则∠APC=∠API-∠IPC=∠A-∠C，可得到∠APC=∠A-∠C；（4）过点作，由两直线平行，内错角相等，得到，，再由角的关系进行相减即可.解：（1）如图1，过P作GH∥CD，∴∠C=∠CPH.∵AB∥CD，∴AB∥GH，∴∠A=∠APH.∵∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，∴∠C=∠APC-∠A=70°-25°=45°.（2）如图1，如图1，过P作GH∥CD，∴∠C=∠CPH.∵AB∥CD，∴AB∥GH，∴∠A=∠APH.∵∠APC=∠HPC+∠APH=∠A+∠C，∴.（3）①如图2，过P作MN∥CD，∴∠MPC=∠C.∵AB∥CD，∴AB∥MN，∴∠APM=∠A.∵∠APC=∠MPC-∠APM=∠C-∠A∴；②如图3，过P作IJ∥CD，∴∠IPC=∠C.∵AB∥CD,∴AB∥IJ,∴∠API=∠A.∵∠APC=∠API-∠IPC=∠A-∠C∴.（4）理由：过点作  ∵∴∴，∵∴【点拨】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题的关键是熟练运用平行线的性质进行解题.6．（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明.【答案】（1）详见解析（2）∠BCF=∠B+∠F（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（1）过点E作EF∥AB，得∠BEF =25°，得∠DEF=55°，从而可证AB∥CD；（2）作CD∥AB，根据平行线的传递性得CD∥EF，则根据平行线的性质得∠BCD=∠B，∠DCF=∠F，所以∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，故可得结论；（3）方法同（2）解答：（1）AB∥CD 理由如下：过点E作EF∥AB    ∵∠B=25°∴∠BEF=∠B=25°∵∠BED=80°∴∠DEF=∠BED－∠BEF=55°∵∠D=55°∴∠D=∠DEF∴EF∥CD        ∴AB∥CD     （2）∠C=∠B+∠F，理由如下：过点C作CD∥AB，则CD∥EF， ∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B，∵CD∥EF，∴∠DCF=∠F，∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，即∠C=∠B+∠F．     （3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，如图，作MN∥AB，由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7，∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5.【点拨】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．作出相关辅助线是解此题