高考数学二轮复习 专题06 三角函数及解三角形(含解析)

这是一份高考数学二轮复习 专题06 三角函数及解三角形(含解析)，共31页。试卷主要包含了【2022年新高考2卷】若，则，【2022年北京】已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
专题06 三角函数及解三角形
1．【2022年全国甲卷】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】
由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
2．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，(       )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.

3．【2022年全国甲卷】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
4．【2022年全国乙卷】函数在区间的最小值、最大值分别为(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】
，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
5．【2022年新高考1卷】记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则(       )
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】
由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
6．【2022年新高考2卷】若，则(       )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故选：C
7．【2022年北京】已知函数，则(       )
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
8．【2022年浙江】设，则“”是“”的(       )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
9．【2022年浙江】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点(       )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】
因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
10．【2022年新高考2卷】(多选)已知函数的图像关于点中心对称，则(       )
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】
由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
11．【2022年全国甲卷】已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】##
【解析】
【分析】
设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.

12．【2022年全国乙卷】记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】
解： 因为，(，)
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
13．【2022年北京】若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】     1    
【解析】
【分析】
先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】
∵，∴
∴

故答案为：1，
14．【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题中所给的公式代值解出．
【详解】
因为，所以．
故答案为：.
15．【2022年浙江】若，则__________，_________．
【答案】         
【解析】
【分析】
先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】
，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
16．【2022年全国乙卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
(1)
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
17．【2022年全国乙卷】记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【解析】
【分析】
(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
(2)根据(1)的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
(1)
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)
解：因为，
由(1)得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
18．【2022年新高考1卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
(2)由(1)知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
(1)
因为，即，
而，所以；
(2)
由(1)知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
19．【2022年新高考2卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
(2)由正弦定理得，即可求解.
(1)
由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)
由正弦定理得：，则，则，.
20．【2022年北京】在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
(2)利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
(1)
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
(2)
解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
21．【2022年浙江】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
(1)先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
(2)根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
(1)
由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
(2)
因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．

1．(2022·宁夏·银川一中模拟预测(文))已知点在角的终边上，且，则角的大小为(       )．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，确定角的范围，再利用三角函数定义求解作答.
【详解】
依题意，点在第二象限，又，则，而，
所以.
故选：B
2．(2022·安徽省舒城中学三模(理))将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为(       )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平移法则求出函数的解析式，进而求出的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系即可解出.
【详解】
依题意，，由，得：，于是得的一个单调递增区间是，因在上为增函数，因此，，即有，解得，即最大值为．
故选：A.
3．(2022·甘肃·武威第六中学模拟预测(理))已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是(       )
A． B．在区间单调递减
C．在区间上的最大值为2 D．为偶函数，则
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得，由可求得，可判断A选项，由此有；对于B，由得，由正弦函数的单调性可判断；对于C，由得，由此得在区间上的最大值为；对于D，，由，解得.
【详解】
解：因为函数，直线为图象的一条对称轴，
所以，所以，
又，所以，故A不正确；
所以，
对于B，当时，，所以在区间单调递增，故B不正确；
对于C，当时，，在区间上的最大值为，故C不正确；
对于D，若为偶函数，则，
所以，解得，故D正确，
故选：D.
4．(2022·全国·模拟预测)已知，，，，则(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据待求式的结构，求解即可．
【详解】
解：因为
=-.
，
；
，，
所以，
故．
故选：D.
5．(2022·全国·模拟预测(文))已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为(       )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得，所以，，由在区间上不单调可得在区间上有解，所以，在区间上有解，最终可得，，取值即可得解.
【详解】
由函数的一个对称中心为，
可得，
所以，，
，，
，
由在区间上不单调，
所以在区间上有解，
所以，在区间上有解，
所以，
所以，，
又，所以，
所以，
当时，，
此时的最小正整数为.
故选：B
6．(2022·河南省杞县高中模拟预测(理))已知，若，则(       )
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定，通过凑角，利用和角正弦求得，从而求得，根据角的范围确定符号，开方即可得结果.
【详解】
因为，所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
又，．
故选：B．
7．(2022·全国·模拟预测(理))函数的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的；②向左平移个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，则的解析式为(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数图象变换的性质逆推求解即可
【详解】
由题意，④纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，故④变换前为；③向上平移一个单位长度，故③变换前为；②向左平移个单位长度，故②变换前为；①横坐标变为原来的，故①变换前为，故的解析式为
故选：A
8．(2022·黑龙江·哈九中三模(文))已知函数的部分图象如图所示，且．将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图象．若，，，则的最大值为(       )

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象求得，再根据图象变换可得的解析式，结合，，，求得的值，可得答案.
【详解】
设的最小正周期为T，则由图可知，得，则，所以，
又由题图可知图象的一个对称中心为点，
故，，故，，
因为，所以，所以.
又因为，
故，
所以；
将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，
得到的图象；
因为，所以 同时令取得最大值3，
由，可得，，
又，要求的最大值，故令，得；
令，得，所以的最大值为，
故选：C.
9．(2022·全国·模拟预测)为了得到函数的图象，只需将函数的图象(       )
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图像平移的规律，算出答案即可.
【详解】
由题意，由于函数，
观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故选：A.
10．(2022·贵州·贵阳一中模拟预测(文))如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像(       )

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变换即可求解.
【详解】
由题图知：，又，，
解得，又，
将向左平移得.
故选：A.
11．(2022·青海西宁·二模(文))在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角A，，的对边分别为，，，面积为S，且，，________？
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C的值，若选①，根据正弦定理，可求得的值，根据大边对大角原则，可得角A只有一解，根据同角三角函数关系，可求得的值；若选②，根据正弦定理，可求得的值，根据大边对大角原则，可得角A有两解，根据同角三角函数关系，可求得的值；若选③，根据正弦定理，可求得的值，因为，则三角形无解.
【详解】
由题意可知在中，
因为，且，
所以，
由余弦定理可知，
所以
因为，
所以；                 
若选①，由正弦定理可得，
解得，                 
在中，因为，所以，
又因为，则角A只有一解，且，                 
所以．
若选②，由正弦定理可得，
解得，                 
在中，因为，所以，
又因为，则角A有两解，                 
所以．                 
若选③，由正弦定理可得，
解得，                 
因为，
所以无解，即三角形不存在．
12．(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若D为边中点，且，求a的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用三角恒等变形及正弦定理即可求解；
(2)利用余弦定理及基本不等式即可求解.
(1)
∵，∴，即.
由正弦定理得.
∵，∴.
∵，∴，
又∵,   ∴，∴；
(2)
∵D为边中点，∴，即,
∵，∴，∴,
∴，即, 当且仅当时取等号,
∵，
∴，即.
故a的最小值为.
13．(2022·山东聊城·三模)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若b=4，求周长的最大值.
【答案】(1)；
(2)12.
【解析】
【分析】
(1)利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.
(2)利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值
(1)
因为，则，
在中，由正弦定理得，，而，即，
整理得，即，又，解得，
所以.
(2)
在中，由余弦定理得：，即，
而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以周长的最大值为12.
14．(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，的面积为4，求BC边上的高．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由余弦定理化简可得答案；(2)由三角形的面积公式可得b值，由余弦定理可得a值，结合面积公式可得高.
(1)
，即．
，
，
．
又，．
(2)
，．
故由余弦定理可知．
而，
解得，所以BC边上的高为．
15．(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(理))在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．，．请再从条件①：，；条件②：，．这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)的值；
(2)c和面积S的值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)条件选择见解析，，
【解析】
【分析】
(1)若选①，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，若选②，由已知条件可得，得或，由于，则可得，进而可求出，
(2)若选①，由正弦定理得，由得，再由余弦定理得，则，求得，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得，从而可得，则，然后利用三角形面积公式可求得结果，
(1)
若选①：，，
在中，，即，
而，故或，
则或，
∵，故，
∴；
若选②：，
在中，，即，
而，故或，则或，
由，得：，∴；
(2)
若选①：，，
由正弦定理得：，，则，
由知：，
故，
则，
∴，；
若选②：，
由正弦定理得：，∵
∴，即，，
∵，故，则，
∴
∴由余弦定理得，，得，
∴．