2022届湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高三下学期第七次月考数学试题含解析

  湖南师大附中2022届高三月考试卷（七）

数 学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，集合，，则（ ）

A.       B.       C.       D.

2. 已知，则的值为（ ）

A.       B.       C.       D.

3. 某种活性细胞的存活率与存放温度之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：

经计算，回归直线的斜率为-3.2，若这种活性细胞的存放温度为，则其存活率的预报值为（ ）

A. 32%      B. 33%      C. 34%      D. 35%

4. 已知双曲线，若对任意实数，直线与至多有一个交点，则的离心率为（ ）

A.       B.       C.       D.

5. 已知函数，则（ ）

A.       B. -6      C.       D. -3

6. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的3倍，，，则该曲池的体积为（ ）

A.       B.       C.       D.

7. 考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（ ）

A.       B.       C.       D.

8. 在中，角的边长分别为，点为的外心，若，则的取值范围是（ ）

A.       B.       C.       D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ）

A. 椭圆的长轴长等于4

B. 椭圆的离心率为

C. 椭圆的标准方程可以是

D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为

10. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）

A. 是以4为周期的周期函数

B.

C. 函数有3个零点

D. 当时，

11. 已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则（ ）

A. 为偶函数

B. 的最小正周期是

C. 的图象关于直线对称

D. 在区间上单调递减

12. 如图，棱长为2的正方体的内切球球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（ ）

A. 对于任意点，平面

B. 存在点，使平面

C. 直线的被球截得的弦长为

D. 过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知复数满足，则_________（用代数式表示）.

14. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有__________种.

15. 已知直线过点，且与圆相交于两点，设，若点在圆上，则直线的倾斜角为__________.

16. 已知函数.

（1）若对任意实数，恒成立，则的取值范围是___________；

（2）若存在实数，使得，则的取值范围是___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，已知.

（1）求角的值；

（2）设的平分线交边于，若，，求的面积.

18.（本小题满分12分）

在数列中，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，求满足的正整数的最小值.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为.

（1）证明：直线平面；

（2）设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，.

20.（本小题满分12分）

某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间内（单位：千元），按分成6组，其频率分布直方图如图所示.

（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；

（2）将一年来网购消费金额在20千元以上称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；

（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：

将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.

附：观测值公式：.

临界值表：

21.（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.

22.（本小题满分12分）

已知函数，其中为常数.

（1）设为的导函数，当时，求函数的极值；

（2）设点，，曲线在点处的切线的斜率分别为，直线的斜率为，证明：.

参考答案

一、选择题

1. D 【解析】由题设，，则，选D.

2. A【解析】

，选A.

3. C 【解析】设回归直线方程为，由表中数据可得，.因为回归直线经过样本点中心，则.所以当时，，选C.

4. B 【解析】据题意，直线与双曲线的渐近线平行或重合，则，

即，从而，所以的离心率，选B.

5. A【解析】因为，则，

所以，选A.

6. B 【解析】设所在圆的半径为，所在圆的半径为，因为，则.

因为，则，所以该曲池的体积，选B.

7. C 【解析】由，解得，则.

又，所以，选C.

8. D【解析】取的中点，则，

所以

.

因为，则，即.

所以，选D.

二、选择题

9. BCD【解析】设椭圆的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，则，得.

又，则，得.所以椭圆的长轴长等于8，离心率为，椭圆的标准方程可以是，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，选BCD.

10. ACD 【解析】因为，则.又为偶函数，则，从而，所以是周期为4的周期函数，A正确.

因为的周期为4，则，，所以，B错误；

作函数和的图象，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；

当时，，则，D正确.

选ACD.

11. BC 【解析】 由图知，，则，即，因为，所以.

因为为的零点，则，得.由图知，，

则，所以，，从而.

由题设，，

则为非奇非偶函数，的最小正周期.

当时，，则的图象关于直线对称.

当时，，不单调，选BC.

12. BD 【解析】

正方体内切球的球心即正方体的中心，且球半径，

当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；

当为的中点时，，，则平面，所以；

同理，，所以平面，即平面，B正确；

取的中点，由对称性可知，，则.

因为，，则，

所以直线的被球截得的弦长为，C错误；

设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.

因为，则，所以截面圆面积，D正确，选BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 【解析】.

14. 126 【解析】据题意，甲可收集1种或2种资料.

第一类，甲收集1种，则乙、丙、丁中有一人收集2种，另两人各收集1种，有种；

第二类，甲收集2种，则乙、丙、丁每人各收集1种，有种.

所以不同的分工收集方案种数共有108+18=126种.

15. 30°或150°【解析】因为，，则四边形为菱形，所以.

设为垂足，因为点在圆上，则.

设直线的方程为，由，得，即，所以直线的倾斜角为30°或150°.

16.（1）；（2）

【解析】（1）由，得，设，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.因为恒成立，则，所以的取值范围是.

（2）据题意，有两个不同零点，则直线与函数的图象有两个不同交点，

因为当时，；当时，；当时，，由图可知，的取值范围是.

四、解答题

17. 【解析】（1）设角的对边分别为，由已知及正弦定理，得，

即，

由余弦定理，得，则，即.

因为，所以.

（2）因为为的平分线，则，又，

由，得，即.

在中，由余弦定理，得，

因为，则，即，因为，则，

所以的面积.

18. 【解析】（1）解法一：因为，则，即，

即，所以数列为常数列.

因为，则，所以数列的通项公式是.

解法二： 因为，则，即.

当时，

，得，

又满足上式，所以数列的通项公式是.

（2）由题设，，设为奇数，则.

当为奇数时，.

由，得，则.

当为偶数时，.

由，得，则.

综上分析，的最小值为67.

19.【解析】（1）因为分别是的中点，则，

从而平面.

因为平面，平面平面，则，

因为平面平面，平面平面，，则平面，

所以直线平面.

（2）

因为平面，则.又，则.因为为正三角形，为的中点，则.从而平面.连接，则，

因为，，则，

在中，，在中，.

因为，则，得.

所以当时，.

解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，

建立空间直角坐标系，则点，，

从而，.

设平面的法向量，则，

取，得.

设点，则，所以，

.

因为，则，得，所以当时，.

20.【解析】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，

后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.

设直方图的面积平分线为，则，得，

所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.

（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.

因为非网购迷人数共有100-35=65，其中男性45人，则女性有20人，所以补全的2×2列联表如下：

因为，查表得，

所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.

（3）解法一：由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为.
设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意，，.

所以，，

因为，则，所以的数学期望为.

解法二： 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为，则.因为的可能取值为0，1，2，则的可能取值为0，1，2，3，4.

由表知，甲、乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为.

则，

，

=，

，

，

所以，即的数学期望为.

21.【解析】设点，由已知，则，即.

因为，则，所以抛物线的方程是.

（2）设点，直线的斜率为，

因为，则直线的斜率为.

因为，则，得，①

因为，则，即，②

因为，则，即③

将②③代入①，得，即，则，

所以

因为，则，又，则，从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.

22.【解析】（1）当时，，，则.

，

则当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，且无极大值.

（2）由题设，，，

则，

又，则所证不等式化为，

因为，，

则

.

令，，因为，则，，

所以在上单调递增，从而，即，

因为，则

，

从而，所以.