初中湘教版第5章 轴对称与旋转综合与测试单元测试课后作业题

湘教版初中数学七年级下册第五章《轴对称与旋转》单元测试卷

考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：100分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下面的四个汉字可以看作是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，与关于直线对称，若，，则度数为

A.
B.
C.
D.

3. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针旋转得到连接，则的长为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于

A.
B.
C.
D.

6. 如图、将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置．若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

7. 北京年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的如图下面四个图案中，可以通过平移图案得到的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图的正方形网格中，其中一个三角形绕某点旋转一定的角度，得到三角形，则其旋转中心是

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，则的度数是 

A.  B.  C.  D.

11. 如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形忽略拼接线小亮改变的位置，将分别摆放在图中左，下，右的位置摆放时无缝隙不重叠，还能拼接成不同轴对称图形的个数为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于   

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转后得，其中点、分别和点、对应，联结，如果，请写出一个关于与的等量关系的式子______ ．
14. 在中，，，，将绕点逆时针旋转后得，边的对应边所在的直线与交于点，，作交于点，连接，则的长为______．
15. 一副三角尺如图放置，将三角尺绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为________．
    
    
     

16. 把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转   度，可以与自身重合．

三、计算题（本大题共8小题，共52.0分）

17. 如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合．
    旋转中心是点______，旋转了______度；
    如果，，求：四边形的面积．
     

18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为
    画出关于轴对称的，写出点的坐标；
    画出将绕原点按逆时针旋转所得的，写出点的坐标并求出运动经过的路径的长度．

19. 正方形网格中的每个小正方形的边长都是，顶点叫做格点．的三个顶点、、都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到．
    在正方形网格中，画出．
    求出点运动到点所经过的路径长．

20. 小明在探究问题“正方形内一点到、、三点的距离之和的最小值”时，由于、、比较分散，不便解决．于是将绕点逆时针旋转得，连接．
    是______三角形；
    若正方形的边长为，则的最小值是______．

21. 已知点关于原点对称的点，求、的值．
    如图：已知是的中线，画出以为对称中心，与成中心对称的三角形．

22. 如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
    画出；
    写出点，关于原点的对称点，的坐标；
    求出在旋转的过程中，点经过的路径长．

23. 如图，中，，，点、在边上，且
    以点为旋转中心，将顺时针旋转，画出旋转后的图形；
    若，，求的长；
    若，，直接写出的长．

24. 如图，正方形中，为边上的一点，将旋转后得到．
    旋转中心是______；旋转角度是______．
    如果正方形的面积是，的面积是，则四边形的面积是多少？
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，
故选：．
利用轴对称图形定义判断即可．
此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：与关于直线对称，
，
，
，
故选：．
利用三角形内角和定理求出，再利用轴对称的性质解决问题即可．
本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据旋转的定义和性质可得，，．
所以．
所以在中，利用勾股定理可得．
故选：．
根据旋转的定义和性质可得，在中利用勾股定理可求的值．
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决旋转问题关键要找准旋转角，并弄清旋转后的对应边和对应角．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．证明，推出即可解决问题．
【解答】
解：，，
，
四边形的内角和为
，
，
．
故选D．  

6.【答案】
 

【解析】解：绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，
，，
，
，
．
．
故选：．
先根据旋转的性质得，，再利用得到，然后利用互余计算，即可得到的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用平移设计图案，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状并准确识图是解题的关键．根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小解答．
【解答】
解：能通过平移得到的是选项图案．
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】解：如图：作出三角形和三角形两组对应点所连线段的垂直平分线的交点为旋转中心．

故选：．
根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了格点作图，旋转的性质，坐标与图形变化旋转．先根据旋转的性质得到点的对应点为点，点的对应点为点，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，即两垂直平分线的交点为点，据此解答即可．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，
点的对应点为点，点的对应点为点，
利用正方形网格的特征作出线段和的垂直平分线，它们的交点即为点，
由图可知：点的坐标为．
  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：由旋转的性质得，，
，
所以，
所以．  

11.【答案】
 

【解析】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为个．

故选：．
能拼接为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断．
本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质．掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据旋转变换的性质计算即可．
【解答】
解：，
．
绕点旋转到的位置，
，，
，
，
．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】解：如图，过作，
由旋转可得，，
，
，
由旋转可得，，，
，
中，，即，
．
故答案为：．
先过作，根据旋转的性质，得出，，，再根据等腰三角形的性质，即可得到中，，据此可得与的等量关系．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据等腰三角形三线合一的性质进行计算．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
，
，
，
将绕点逆时针旋转后得，
，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
且，
，
，即，
，
，．
，
，
，
在中，，
故答案为：．
由题意可得，，根据锐角三角函数可得由，可得是等边三角形．因此可得，且所以，根据平行线分线段成比例可得比例式，分别求出，，，由勾股定理可得的长．
本题考查旋转的性质，锐角三角函数，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，运用旋转变换中对应点到旋转中心的距离相等是解本题的关键．
 

15.【答案】或
 

【解析】

【分析】
分情况讨论：；．
本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．
【解答】
解：分情况讨论：
当时，，；
当时，，即．
故答案为或．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是旋转对称图形．
正六边形可以被经过中心的射线平分成个全等的部分，则旋转的角度即可确定．
【解答】
解：正六边形可以被经过中心的射线平分成个全等的部分，
则旋转至少，能够与本身重合．
故答案为．  

17.【答案】 
 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
绕点顺时针旋转后与重合，
即旋转中心是点，旋转了度；
故答案为，；
绕点顺时针旋转后与重合，
，，
而，
，
，
，
四边形的面积．
根据正方形的性质得，，则根据旋转的定义得到绕点顺时针旋转后与重合；
根据旋转的性质得，，利用得到，再加上，于是可计算出，所以四边形的面积．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度．也考查了正方形的性质．
 

18.【答案】解：如图，为所作，；
如图，为所作，，
，
所以运动经过的路径的长度

 

【解析】利用关于轴对称的点的坐标特征得到点、、的对应点、、，从而得到；
利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点、、，从而得到，再写出点的坐标，由于运动经过的路径是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，则可根据弧长公式计算运动经过的路径的长度．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
 

19.【答案】解：如图，为所作；

在中，，，
所以，
所以点运动到点所经过的路径长
 

【解析】利用网格特点和旋转的性质，画出点和的对应点、，从而得到；
利用勾股定理计算出，由于点运动到点所经过的路径为以点为圆心，为半径，圆心角为度的弧，于是根据弧长公式可计算出点运动到点所经过的路径长．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

20.【答案】等边 
 

【解析】解：绕点逆时针旋转得，
，，
为等边三角形；
连结，如图，
为等边三角形，
，
绕点逆时针旋转得，
，，，
，
当且仅当点、点在上时，取等号，
有最小值，最小值为的长，
作于，如图，
在中，，
，，
，
在中，．
的最小值是．
故答案为：等边，．
根据旋转的性质得，，则利用等边三角形的判定可判断为等边三角形；
连结，如图，由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，，，根据两点之间线段最短得，所以当且仅当点、点在上时，取等号，则有最小值，最小值为的长，作于，如图，先在中，利用含度的直角三角形三边的关系得到，，然后在中，利用勾股定理可计算出，于是得到的最小值是．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理．
 

21.【答案】解：根据题意得，，
解得，；
如图，与关于点中心对称．

 

【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征得到，，然后解两个一元一次方程即可得到和的值；
延长到使，则为所作．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了关于原点对称的点的坐标特征．
 

22.【答案】解：如图，为所作；

点的坐标为；
点的坐标为；
点经过的路径．
 

【解析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长的计算．
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、即可得到，；
根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
利用弧长公式计算．
 

23.【答案】解：如图，为所作；
连结，如图，
，，
，
顺时针旋转得到，
，，，，
，
，
在和中
，
≌，
，
在中，，，
，
，
；
，，
，
设，则，
由得，，
在中，，解得，
即的长为．
 

【解析】利用旋转的性质作图；
连结，如图，先根据等腰直角三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，，，则可根据“”判断≌，得到，然后在中利用勾股定理计算，从而得到的长；
设，则，由的证明得到，，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．本题的关键是把、、利用旋转组成一个直角三角形．
 

24.【答案】点 
 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
将旋转后得到，
旋转中心为点，等于旋转角，即旋转角为；
故答案为点，；
旋转后得到，
，
四边形的面积


利用正方形的性质得，，然后根据旋转的性质可判断旋转中心为点，旋转角为；
根据旋转的性质得，然后利用四边形的面积进行计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．