初中数学湘教版七年级下册第5章 轴对称与旋转综合与测试学案

这是一份初中数学湘教版七年级下册第5章 轴对称与旋转综合与测试学案，共17页。学案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1.了解轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
3.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用；
4.掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平移变换
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
要点诠释：
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．
要点诠释：
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
要点二、旋转变换
1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
２．旋转变换的性质
图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.
３．旋转作图步骤
①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.
②分析所作图形，找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.
４．中心对称与中心对称图形
中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．
中心对称图形：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.
5．中心对称作图步骤
① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.
② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
要点诠释：
图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求；
②分析设计图案所给定的基本图案；
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
要点三、轴对称变换
1．轴对称与轴对称图形
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.
轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
3．轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．
要点四、图形的全等
1. 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
2. 全等多边形
（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.
3. 全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
（1）全等三角形的性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
（2）全等三角形的判定
如果两个全等三角形的边、角分别对应相等，那么这两个全等三角形全等.
【典型例题】
类型一、平移变换
1. 阅读理解题．
（1）两条直线a，b相交于一点O，如图①，有两对不同的对顶角；
（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同的对顶角；
（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图④，用（2）的方法把直线c平移，可数出 对不同的对顶角；
（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有 对不同的对顶角；
（5）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有 对不同的对顶角．
【思路点拨】
（3）画出图形，根据图形得出即可；
（4）根据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；
（5）把n=2013代入求出即可．
【答案与解析】
解：（3）
如图有12对不同的对顶角，
故答案为：12．

（4）有n（n-1）对不同的对顶角，
故答案为：n（n-1）；
（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，
故答案为：4050156．
【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律．
2．操作与探究：
对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是__________．

【思路点拨】（根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；
【答案】0；3；.
【解析】
解：点A′：-3×+1=-1+1=0，
设点B表示的数为a，则a+1=2，解得a=3，
设点E表示的数为b，则b+1=b，解得b=；
故答案为：0；3；.
【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定

【答案】B.
四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC．
类型二、旋转变换
3．正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：
（1）在图中1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使△OAF变到△OBE的位置．请说出其变化过程．
（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论．
（3）若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由．
【思路点拨】
（1）根据图形特点即可得到答案；
（2）延长AF交BE于M，根据正方形性质求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根据三角形内角和定理证出即可；
（3）延长EB交AF于N，根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．
【答案与解析】
解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．
（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AF⊥BE．
证明：延长AF交BE于M，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∴∠AOB=∠BOC=90°，
在△AOF和△BOE中
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，
∵∠EBO+∠OEB=90°，
∴∠FAO+∠OEB=90°，
∴∠AME=90°，
∴AF⊥BE，
即AF=BE，AF⊥BE．

（3）成立；
证明：延长EB交AF于N，
∵正方形ABCD，
∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，
∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，
∴∠ABF=∠BCE，
∵AB=BC，BF=CE，
∴△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，
∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，
∴∠E+∠FAB=45°，
∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，
∴∠ANE=180°-90°=90°，
∴AF⊥BE，
即AF=BE，AF⊥BE．
【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
4. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=AB．
①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角．
②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明．

【思路点拨】
（1）把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；
（2）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAF=∠EAD，又F是AD的中点，AE=AB，则AE=AF，根据旋转的定义得到△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，于是有BF=DE．
【答案与解析】
解：（1）可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置，即把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；
（2）线段BF和DE的数量关系是相等．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，
∵F是AD的中点，AE=AB，
∴AE=AF，
∴△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，即F点与E点重合，B点与D点重合，
∴BF与DE为对应线段，
∴BF=DE．
【总结升华】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．
举一反三：
【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是 ；平移的距离是 ；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是 ；旋转角度是 度．

【答案】
解：等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是水平向右；平移的距离是AB或BD；
△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是B；旋转角度是120度．
类型三、轴对称变换
5．现有如图①的瓷砖若干块．
（l）用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，请在图②的两
个长方形中各画出一种拼法（要求两种拼法不同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）；
（2）用四块如图①的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图③的三个正方形中各画出一种拼法，要求同（1）；
（3）在第（1）题中，请你计算用如图①的瓷砖拼成的所有长方形中，是轴对称图形的成功率是多少？
【思路点拨】
（1）根据用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，利用轴对称图形的性质拼凑即可；
（2）利用轴对称图形的性质拼凑即可；
（3）根据所有是轴对称图形的个数，以及拼凑总数即可求出是轴对称图形的成功率．
【答案与解析】
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）∵所有拼凑图形是16种，是轴对称图形的个数是4种，
∴是轴对称图形的成功率为：．
【总结升华】此题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力．趣味性强，便于操作，是一道好题．
举一反三：
【变式】把图中的某两个白色小方格涂上阴影，使整个图形为轴对称图形．

【答案】

给分标准：把图中的某两个白色小方格涂上阴影后，得到的整个图形为轴对称图形即可（只画出一种情况）
类型四、图形的全等
6. 如图，下面各图都是用全等的等边三角形密铺的一组图形，则在第n个这样的图形中，共有 个等腰梯形．

【思路点拨】
观察图形可知第一个图有1个等腰梯形，第二个有4=22个，第三个图形有9=32个，由此可得第n个图形有n2个等腰梯形，据此可以得到答案．
【答案与解析】
解：第一个图有1个等腰梯形，
第二个有4=22个，
第三个图形有9=32个，
此可得第n个图形有n2个等腰梯形．
故答案为：n2．
【总结升华】
本题考查了规律型：图形的变化，解题的关键是按照一定的顺序依次找到符合条件的等腰梯形，做到不重复不遗漏．
ADDIN CNKISM.UserStyle《轴对称与旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是（ ）
2.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（ ）.
①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
3.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ）.

A B C D
4.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（ ）.
A、30° B、60° C、120° D、180°
5.如图,把矩形纸条沿同时折叠，两点恰好落在边的点处，若，，，则矩形的边长为（ ）.
A.20 B.22 C.24 D.30

第4题 第5题
6．如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼
成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）.
A．2 B．4 C．8 D．10
二、填空题
7. 如图，图B是图A旋转后得到的，旋转中心是 ，旋转了 ．
8.在RtABC中，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于 度.

第7题 第8题 第10题
9. 26个大写英文字母中，有些字母可以看成轴对称图形，共有 个是轴对称图形．
10. 如图，正方形ABCD经过顺时针旋转后到正方形AEFG的位置，则旋转中心是 ，
旋转角度是 度．
11. 时钟的时针不停地旋转，从上午8：30到上午10：10，时针旋转的旋转角是 .
12. 如图所示，可以看作是一个基本图形经过 次旋转得到的；每次旋转了 度．

三、解答题
13.（1）以AO为对称轴画出图形的另一半，使它成为轴对称图形．
（2）画出这个轴对称图形绕0点逆时针旋转900，再向下平移3格后的图形．
（3）原图形中A点在第 列第 行，可以表示为 ；旋转再平移后A点在第 列第 行，可以表示为 .
14. 请你利用给出的直角三角形，通过平移、轴对称或旋转等变换，根据下列要求分别设计相应的图形：
（1）是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形．

15. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=AB．
①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角．
②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明．

16.阅读：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为整数的正n（n＞3）边形的边按照如图1的方式连续转动，当顶点P回到正n边形的内部时，我们把这种状态称为它的“点回归”；当△PQR回到原来的位置时，我们把这种状态称为它的“三角形回归”．
例如：如图2，边长为1的等边三角形PQR的顶点P在边长为1的正方形ABCD内，顶点Q与点A重合，顶点R与点B重合，△PQR沿着正方形ABCD的边BC、CD、DA、AB…连续转动，当△PQR连续转动3次时，顶点P回到正方形ABCD内部，第一次出现P的“点回归”；当△PQR连续转动4次时△PQR回到原来的位置，出现第一次△PQR的“三角形回归”．

操作：如图3，
如果我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE的边连续转动，则连续转动的次数k= 时，第一次出现P的“点回归”；连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR的“三角形回归”．
猜想：
我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正n（n＞3）边形的边连续转动，
（1）连续转动的次数k= 时，第一次出现P的“点回归”；
（2）连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR的“三角形回归”；
（3）第一次同时出现P的“点回归”与△PQR的“三角形回归”时，写出连续转动的次数k与正多边形的边数n之间的关系．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】B.
【解析】A、多次平移相当于一次平移，故正确；
B、必须是对称轴有偶数条且平行时，才可以看作是原图形经过一次平移得到的，故错误；
C、一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换，故正确；
D、对称轴有偶数条且平行时，可以看作是原图形经过一次平移得到的，故正确．
故选B．
2．【答案】A.
3．【答案】B.
4．【答案】B.
【解析】正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合．则α最小值为60度．故选B．
5．【答案】C.
【解析】Rt△PHF中，有FH=10，则矩形ABCD的边BC长为PF+FH+HC=8+10+6=24，故选C．
6．【答案】B.
【解析】阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，
由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，
正方形的面积=4×4=16，
∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．
故选B．
二．填空题
7．【答案】X；180°.
【解析】观察图形中Z点对应点的位置是图A绕旋转中心X按逆时针旋转180°得到的．
故答案为：X；180°．
8．【答案】30°.
【解析】解：法一、在Rt△ABC中，∠A＜∠B
∵CM是斜边AB上的中线，
∴CM=AM，
∴∠A=∠ACM，
将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处
设∠A=∠ACM=x度，
∴∠A+∠ACM=∠CMB，
∴∠CMB=2x，
如果CD恰好与AB垂直
在Rt△CMG中，
∠MCG+∠CMB=90°
即3x=90°
x=30°
则得到∠MCD=∠BCD=∠ACM=30°
根据CM=MD，
得到∠D=∠MCD=30°=∠A
∠A等于30°．

法二、∵CM平分∠ACD，
∴∠ACM=∠MCD
∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°
∴∠A=∠BCD
∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°
∴∠A=30°
9．【答案】16.
【解析】解：26个大写英文字母中，A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y可以看成轴对称图形．故共有16个是轴对称图形．
故答案为：16．
10．【答案】A，45.
【解析】∵正方形ABCD经过顺时针旋转后得到正方形AEFG，
∴旋转中心为点A，旋转角为∠CAD，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD=45°，
∴旋转角为45°．
故答案为：A，45．
11.【答案】50°．
【解析】从上午8：30到上午10：10，共1个小时40分钟；时针旋转了圆周，故旋转角的度数是50度．故答案为：50°．
12．【答案】3；90．
【解析】如图所示的图形可以看作按照逆时针（或顺时针）旋转3次，且每次旋转了90°而成的．故答案是：3；90．
三.综合题
13．【解析】
解：（1）以AO为对称轴画出图形的另一半，使它成为轴对称图形如下：
（2）画出这个轴对称图形绕0点逆时针旋转900，再向下平移3格后的图形如下：

（3）原图形中A点在第6列第10行，可以表示为（6，10）；旋转再平移后A点在第3列第4行，
可以表示为（3，4）．
故答案为：6，10，（6，10），3，4，（3，4）．
14．【解析】
解：答案不唯一，
（1）
；
（2）
（3）
15．【解析】
解：（1）可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置，即把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；
（2）线段BF和DE的数量关系是相等．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，
∵F是AD的中点，AE=AB，
∴AE=AF，
∴△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，即F点与E点重合，B点与D点重合，
∴BF与DE为对应线段，
∴BF=DE．
16.【解析】
解：操作：3，5．
猜想：（1）第一次点回归，连续转动的次数都是3次，故填3；
（2）第一次出现△PQR的“三角形回归”，连续转动的次数就是多边形的边数，故填n；
（3）当n不是3的倍数时，k=3n，当n是3的倍数时，k=n．
A．经过两次翻折（对称轴平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的
B．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的
C．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的
D．经过几次翻折（对称轴有偶数条且平行）后的图形可以看作是经过一次平移得到的