专题20 函数内综合问题的常见压轴题-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练1

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（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接 ，，求面积的最大值；
（3）在（2）中面积取最大值的条件下，将抛物线（ ）沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点 为点的对应点，点为 的对称轴上任意一点，在确定一点 ，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【答案】（1）；（2）8；（3）或或．
【解题思路分析】（1）直接代入点，坐标即可；
（2）作轴交直线于，于，通过点，点的坐标可求得直线的函数关系式，，可得直线与轴正方向夹角为，可得，设，则，根据可求解；
（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和的坐标，从而平行四边形中，根据线段，分别为平行四边形的边，或者是对角线，分类讨论，通过点的平移得出 的横坐标所在的直线，然后代入抛物线得函数关系式，即可求得坐标．
【解析】解：（1）将，代入 得
，
，
，
（2）如图示，
作轴交直线于，于 ，
当时，，
点的坐标是，
点与点关于直线对称，
∴，
∴
∴（取非零值）
∴点的坐标是，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴直线的函数关系式为：，且
∴，
∴直线与轴正方向夹角为，
∴，
则有：，
∴，
设，
，
，
，
∴当时，最大为8，
（3）直线与轴正方向夹角为，
沿方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
由（2）可知，点的坐标是，且
∴点的坐标是，
∴平移后，点的对应点的坐标为，
∵抛物线
∴平移后，
抛物线的对称轴为：直线：，
当时，在抛物线中，，
即点在抛物线上，
当为平行四边形的边时：
如图1所示，
若点平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上点，
则，点往右平移个单位长度，
∴点的横坐标为，
∴点在直线上，
又∵点在抛物线上，
代入得，
点的坐标是；
如图2所示，
若平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上 点，
则，点往右平移个单位长度，
∴点的横坐标为，
∴点在直线上，
又∵点在抛物线上，
代入得，
点的坐标是；
如图3示，
若为平行四边形的对角线时，
若平移到对称轴上点，即点往右平移个单位长度，到对称轴上 点，
则，点往左平移个单位长度，
∴点的横坐标为，
∴点在直线上，
又∵点在抛物线上，
代入得，
点的坐标是；
∴综上所述，所有符合条件的点的坐标是或 或．
2．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级一模）已知一次函数：与x轴交于点A，与y交于点C． 抛物线（a、m为常数）过定点B，连接BC，点D为线段BC上一动点．
（1）求出点B的坐标；
（2）过D作DP⊥AC于点P，DQ⊥x于点Q，设Q点横坐标为t，DP长度为d，试求d关于t的函数解析式；
（3）①当m＝0，a＞0时，该抛物线上存在唯一的点H使∠CAH＝45°，求此时抛物线的解析式；
②过点D作DE⊥BC交线段OB于点E，连接CE并延长交△OBC的外接圆于点F，当点D在BC上移动时，求的最大值．
【答案】（1）点B的坐标为(4，0)；（2）=；；（3）①；②
【解题思路分析】（1）根据图形知抛物线过(0，0)，求得m=0，即可求得点B的坐标；
（2）延长QD交AC于点E，先求得直线BC的解析式为y=x−3，设D点坐标为 (t，t−3)，利用sin∠DEA=sin∠OCA即可求解；
（3）①作出辅助线，求得AG所在直线的函数解析式为y=-x−，根据该抛物线上存在唯一的点H，利用根的判别式求解即可；
②由题意得O、C、D、E四点共圆，且CE为直径，证明△ODB∽△CEB和△FBE∽△OCE，得到，利用二次函数的性质即可求解．
【解析】解：（1）由图可得抛物线过(0，0)，a≠0 ，则有4ma=0，
∴m=0，
∴y=ax2−4ax=a(x2−4x)=ax(x−4)，
∴点B的坐标为(4，0)；
（2）延长QD交AC于点E，
∵DQ⊥x轴，且Q点横坐标为t，E点在一次函数y=3x−3上，
则有E点坐标为(t，−3t−3)，
由（1）得， B点坐标为(4，0)，
又∵A、C两点在y=−3x−3上，
∴C点坐标为(0，3)，A点坐标为(-1，0)，
∴AC=，
设直线BC的解析式为y=kx−3，
把点B的坐标为(4，0)代入得0=4k−3，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x−3，
又∵D为线段BC上一动点，
∴D点坐标为 (t，t−3)，
∴DE=t−3-(−3t−3)=t，
∵∠DEA=∠OCA，
∴sin∠DEA=sin∠OCA=，
在Rt△DPE中，sin∠DEA=，
∴=；
（3）①过点A作∠CAH=45°，交抛物线于点H，过点C作MN//x轴，
过点A作AM⊥MN于点M，过点C作CG⊥AC交直线AH于点G，过点G作GN⊥MN于点N，如图：
∵∠ACG=∠AMC=90°，
∴∠ACM+∠MAC=∠NCG+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCG，
∴Rt△AMC≌Rt△GNC(AAS)，
∴AM=NC=3，MC=NG=1，
∴G点坐标为 (3，−2)．
同理可得AG所在直线的函数解析式为y=-x−，
∵m=0，
∴抛物线的解析式为，
因为该抛物线上存在唯一的点H，
联立，得，则有，
即，
解得，
又因为，
∴，
∴此时抛物线的解析式为；
②∵点B的坐标为(4，0)，C点坐标为(0，3)，
∴BC=，
∵∠EDC=∠COE=90°，
∴O、C、D、E四点共圆，且CE为直径，
则有∠BOD=∠DCE，
又∵∠OBC=∠CBO，
∴△ODB∽△CEB，
∴，
∴OD=CE，
连接BF，
∠BEF=∠CEO，∠FBE=∠OCE，
∴△FBE∽△OCE，
∴，即，
设，则，
∴
∴当时，原式取最大值，此时．
3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．
【解题思路分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求得答案；
（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标，由得∽，再根据与的面积相等，可得，故点F分别是AP、ED的中点，设，，结合中点坐标公式建立方程求解即可；
（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，以为圆心，为半径作⊙，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．
【解析】解：（1）抛物线交x轴于点，，
将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，
D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：，
，
交直线l：于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，
∽，设，，
又的面积为，的面积为，，
，
，，即点F分别是AP、ED的中点，
又，，，，
由中点坐标公式得：，
解得：（与“”不符，应舍去），，
，
，；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，
以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，
则，，
以为圆心，为半径作⊙，交抛物线对称轴于点，
过点作轴于点H，则，，，
，
，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，
连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙交抛物线对称轴于点M，
，
⊙经过点C，
连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则，，
，
，
，
综上所述，．
4．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．
（1）求抛物线的表达式．
（2）M为抛物线上的动点．
①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；
②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线B，当直线B与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．
【答案】（1）y＝；（2）①点M的坐标为（，）或（，）；②点M的横坐标为3或或
【解题思路分析】（1）先由直线解析式求出A，C，D的坐标，再由C，D坐标求出抛物线解析式；
（2）①设N（n，0），由平移与坐标关系可得点M的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可；②因为直线B与坐标轴平行，所以B∥x轴和B∥y轴分类讨论，以B∥x轴为例，画出草图，由于BM平分∠DB，又∠AOB＝∠BM，等量代换，可以证得△AOB是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A和D点坐标，求出∠DAO的三角函数值，过B作BH⊥x轴于H，在直角△ABH中，利用AB的长度，和∠BAH的三角函数值，求出AH和BH的长度，得到B点坐标，进一步得到直线OB的解析式，联立直线OB和抛物线解析式，求得交点M点坐标，当B∥y轴，用同样的方法解决．
【解析】解：（1）令x＝0，则y＝x＋1＝1，
∴C点坐标为（0，1），
令y＝0，则，①
∴，
∴A点坐标为（，0），
令x＝6，则y＝，
∴D点坐标为（），
将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：y＝；
（2）①设N（n，0），
∵四边形CDMN为平行四边形，
∴ ，
∴由平移与坐标关系可得M（n＋6，），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴n2＋9n+4＝0，
∴，
∴点M的坐标为（，）或（，）；
②第一种情况：如图1，当B∥x轴时，分别过B，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，
在直角△ADQ中，AQ＝6＋＝，DQ＝，
∴由勾股定理得： ，
∴tan∠DAQ＝＝，
∴cs∠DAQ＝，
∵∠BAH＝∠DAQ，
∴cs∠BAH＝，
∵直线BD与直线B关于直线OM对称，
∴∠DBM＝∠BM，
∵B∥x轴，
∴∠HOB＝∠BM＝∠DBM，
∴AB＝AO＝，
∴，
∴AH＝，
∴OH＝AH＋AO＝，
令x＝﹣，则y＝＝，
∴B点坐标为（﹣，），
设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，k＝，
∴直线OB的解析式为y＝x，
联立，
解得，，
∴点M的横坐标为3或，
第二种情况，如图2，当B∥y轴时，设B交x轴于G，
∴∠COB＝∠OBG，
∵直线BD与直线B关于直线OM对称，
∴∠CBO＝∠OBG＝∠COB，
∴CB＝CO＝1，
过C作CE⊥BG于E，
∴CE//x轴，
∴∠BCE＝∠CAO，
∵tan∠CAO＝＝，
∴cs∠CAO＝，
∴cs∠BCE＝＝，
∴CE＝＝，
∴＝，
∵CE⊥BG，BG⊥x轴，
∴∠CEG＝∠BGO＝∠COG＝90°，
∴四边形CEGO为矩形，
∴EG＝CO＝1，CE＝OG＝，
∴BG＝BE＋EG＝，
∴点B的坐标为（），
∴直线OB的解析式为y＝2x，
联立，
化简得，x2－11x＋4＝0，
∴，
∵点M在直线CD下方，
∴x＜6，
∴x＝，
∴点M的横坐标为，
即点M的横坐标为3或或．
5．（2021·江苏盐城·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
（初步感知）
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
（深入感悟）
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
（灵活运用）
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，
【解题思路分析】（1）根据旋转的定义得，观察点和在同一直线上即可直接得出结果．
（2）根据题意得出的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．
（3）先根据计算出交点坐标，再分类讨论①当时，先证明再计算面积．②当-时，证，再计算即可．
（4）先证明为等边三角形，再证明，根据在中，，写出，从而得出的函数表达式，当直线与抛物线相切时取最小值，得出，由计算得出的面积最小值．
【解析】（1）由题意可得:
∴的坐标为
故答案为：；
（2）∵，由题意得
坐标为
∵，在原一次函数上，
∴设原一次函数解析式为
则
∴
∴原一次函数表达式为；
（3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则
解得
①当时
作轴于
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
即；
②当-时
作于轴于点
∵
∴
∴
∴
∴
在和中
∴
∴；
（4）连接，，将，绕逆时针旋转得，，作轴于
∵，
∴
∴
∴为等边三角形，此时与重合，即
连接，∵
∴
∴在和中
∴
∴，
∴作轴于
在中，
∴
∴，即，此时的函数表达式为：
设过且与平行 的直线解析式为
∵
∴当直线与抛物线相切时取最小值
则
即
∴
当时，得
∴
设与轴交于点
∵
∴
6．（2021·浙江义乌·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为C，其中，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D．点M坐标为．
（1）当时，抛物线经过原点，求a的值．
（2）当时，
①若点M、点D、点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D坐标．
②设反比例函数与抛物线相交于点，当时，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）①，②或
【解题思路分析】（1）把和原点代入，直接解方程即可，
（2）①过C点作CN⊥y轴，首先表示出C,D的坐标，再利用相似构造方程解出m即可求出D的坐标，②求出交点，再根据交点的情况确定m取值范围；
【解析】（1）当时，抛物线
∵经过原点
∴得，
解得：
（2）①过C点作CN⊥y轴，

；
点，点
∴点C在直线上，M(0，4)，
过作轴于
∵△MDC是直角三角形
∴∠MCD=90°
∴∠MCD=∠CND=∠CNM=90°
∴∠CDM=∠MCN
∴△CDN∽△MCN
∴
即，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴此时点D坐标为
②∵，
∴当P=2时，可得
当P=4时，可得
当抛物线经过点时，
，解得
当抛物线经过点时
，解得
当交点在抛物线对称轴左边时，即m＜2时，
可得
又
∴
当交点在抛物线对称轴右边时，即m＞2时，
可得
∴m的取值范围为
或
7．（2021·河北九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交双曲线于点抛物线过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为．
（1）求双曲线与抛物线的解析式．
（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为，求线段的长．
（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作轴，交抛物线于点N．设线段的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．
【答案】（1），；（2）或；（3）的最大值是，，，时，随的增大而减小．
【解题思路分析】（1）根据直线解析式求出点、、的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据抛物线和双曲线解析式求出点、的坐标，然后根据平行于轴的直线上两点间的距离的求法求解即可；
（3）分点在、、上三种情况，根据直线、抛物线和双曲线的解析式表示出，再根据二次函数的增减性解答．
【解析】解：（1）令，则，
解得，
令，则，
所以，点，，
时，，
所以，点，
设双曲线解析式为，
则，
解得，
所以，双曲线解析式为，
点的纵坐标为，
，
解得，
点，
抛物线过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
整理得，，
解得，，
点的坐标为，或，，
，
解得，
点的坐标为，
或；
（3）①点在上时，，
，
随的增大而减小，
②点在上时，，
，
时，有最大值为，
时，随的增大而减小，
③点在上时，，
，
由图可知，随的增大而减小，
综上所述，的最大值是，，，时，随的增大而减小．
8．（2021·山东济宁·中考真题）如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）求证：；
（3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，点P 的横坐标为或±．
【解题思路分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AD的解析式为y=-x+3，进而得到点E的坐标为（1，2），运用三角函数定义可得即∠OAB=∠OEG=90°即可证得结论；
（3）先求出直线CD解析式为y=3x+3，再根据以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似，分两种情况：①当△AOM ∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，从而得出OM//CD，进而得出直线OM的解析式为y=3x，再结合抛物线的解析式即可确定点P的横坐标；②当△AMO∽△ACD时，利用，求出AM，进而求得点M的坐标，求得直线AM的解析式，进而完成解答．
【解析】解：（1）∵直线分别交轴、轴于点A，B
∴A（3,0），B（0，），
∵抛物线经过A（3，0），D（0，3），
∴，解得
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线AD的解析式为y=kx+a，
将A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得
∴直线AD的解析式为y=-x+3，
∴E（1，2），G（1，0），
∵∠EGO=90°，
∴
∵OA=3，OB=，∠A0B=90°，
∴
∴
∴∠OAB=∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG=90°，
∴∠OAB+∠EOG=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在.
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴C（-1，0），
∴AC=3-（-1）=4，
∵OA=OD=3，∠AOD=90°，
∴，
设直线CD解析式为y=mx+n，则：
，解得
∴直线CD解析式为y=3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示，
∴OM//CD，
∴直线OM的解析式为y=3x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴3x=-x2+2x+3，解得：；
②当△AMO∽△ACD时，如图3所示，
∴
∴，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°，
∵∠OAD=45°，
∴
∴OG=OA-AG=3-2=1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y=m1x，将M（1，2）代入，得：m1=2，
∴直线OM解析式为y=2x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±．
综上，点P的横坐标为或±．
9．（2021·湖北宜昌·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为．
（1）写出点坐标；
（2）求，的值（用含的代数式表示）；
（3）当时，探究与的大小关系；
（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）当时，，当时，，当时，，当或时，；（4），，，
【解题思路分析】（1）令，解出x即可，
（2）把函数顶点式，即可得出结论，
（3）令，结合函数图像分类讨论即可，
（4）由题意可得：直线的解析式为：，再根据已知条件画出函数图像分三类情况讨论，进而得出n的值；
【解析】（1）∵，令，，
∴，，
∴．
（2），
∴，
∵，
∴．
（3）∵，，
当时，，
此时或，
．
由如图1图象可知：
当时，，
当时，，
当时，，
当或时，．
（4）设直线的解析式为：，
则，
由（1）-（2）得，，
∴，
直线的解析式为：．
第一种情况：如图3，
当直线经过抛物线，的交点时，
联立抛物线与的解析式可得：
①
联立直线与抛物线的解析式可得：
，
则，②
当时，把代入得：，
把，代入直线的解析式得：
，
∴，
∴．
此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．
当时，把代入①得：
，
该方程判别式，所以该方程没有实数根．
第二种情况：如图4，
当直线与抛物线或者与抛物线只有一个公共点时．
当直线与抛物线只有一个公共点时，
联立直线与抛物线可得，
∴，
此时，即，
∴，
∴．
由第一种情况而知直线与抛物线公共点的横坐标为，，
当时，，∴．
所以此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．
如图5，
当直线与抛物线只有一个公共点，
∵，，
∴，
联立直线与抛物线，
，
，
当时，，
此时直线与抛物线，的公共点只有一个，
∴．
综上所述：∴，，，．
10．（2021·湖北武汉·九年级模拟预测）已知：抛物线y＝a（x＋m）（x－3m）（a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l：y＝kx＋b经过点B，且与该抛物线有唯一公共点，平移直线l交抛物线于M、N两点（点M、N分别位于x轴下方和上方）
（1）若
①直接写出点A，点B的坐标和抛物线的解析式；
②如图1，连接AM、AN，取MN的中点P，连接PB，求证：PB⊥AB；
（2）如图2，连接MC．若MC∥x轴，求的值．
【答案】（1）①A(3，0)，B(－1，0)，；②见解析；（2）
【解题思路分析】（1）①分别将a=、代入求得m，再令y=0，确定A、B的坐标，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
②联立，由直线l与该抛物线有唯一公共点，则△=0，可得，即，设MN的解析式为，则，即，由根与系数的关系可得，即可证明；
（2）先求出抛物线的对称轴、A、B的坐标，可得，即，由直线与抛物线有唯一的公共点可得，则，设MN的直线解析式为y＝－4amx＋t
则，可得，过N作NGLx轴于G，过N作NG⊥x轴于G，过M作MH⊥x轴交x轴于H，交AN于P，设AN的直线解析式为，将点A与N代入可得，解得，即AN的解析式为，则PH=HM，再证明△AHM≌△AHP（SAS），进一步证得△AGN∽△AHM，则；
【解析】解：（1）由题意得：，解得m=1
∴y＝（x＋1）（x－3）
令y=0，解得x=-1或x=3
∴A（3，0），B（－1，0），抛物线的解析式；
②证明：设l：y＝k（x＋1）＝kx＋k（k＜0）
即
∴△=，解得
又∵MN∥l，
∴设MN：
即
；
（2）解：
对称轴：
∵MC∥x轴
当y＝0时，，即
，得，即，
由于直线与抛物线有唯一公共点B，
所以△=，且，解得
∴
又∵MN∥l，
∴设MN：y＝－4amx＋t
，即
∴，
过N作NG⊥x轴于G，过M作MH⊥x轴交x轴于H，交AN于P
设AN：，
∴，
∴
当x＝2m时，
当x＝0时，，
∴PH＝HM
在△AHM和△AHP中
∴△AHM≌△AHP（SAS），
∴∠HAP＝∠HAM
又∵∠AGN＝∠AHM＝90°，
∴△AGN∽△AHM
∴．
11．（2021·广州市第十六中学九年级二模）在平面直角坐标系中，：二次函数（）的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）且，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将抛物线向上平移个单位，得到抛物线，当时，抛物线与轴只有一个公共点，结合函数图象，求出的取值范围；
（3）将绕的中点旋转，得到，若点是线段上一动点，交直线于点，点为线段的中点，当点从点向点运动时．
①求的值如何变化？请说明理由；
②求点到达点时，直接写出点经过的路线长．
【答案】（1）；（2）或；（3）①不变，理由见解析；②
【解题思路分析】（1）将二次函数解析式变为交点式，可求点的坐标，根据，可得抛物线对称轴为：，根据对称轴公式可求．即可得到二次函数的表达式；
（2）设抛物线的表达式为，当抛物线经过点，时，代入可求的值，计算此时在时与轴的两个交点，当抛物线经过点时，代入可求的值，再计算抛物线与轴只有一个公共点时的值，从而求解；
（3）①先求得四边形是矩形，证明，列比例式并结合三角函数定义可得结论；
②首先证明点经过的路径是线段的长，如图2，根据三角形中位线定理即可求得．
【解析】解：（1），
当时，，
，
，，
抛物线对称轴为：，
，
，
抛物线的表达式为；
（2）设抛物线的表达式为，
当抛物线经过点，时，得，此时抛物线：在时与轴有两个交点，
当抛物线经过点时，得，
若，
解得：，
当时，当抛物线与轴只有一个公共点，此公共点为，
综上所述，的取值范围是或；
（3）①的值为定值，不发生变化；
如图1中，
中，，，
，，
中，，
，
，，
，
由旋转得：，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
的值为定值，不发生变化；
②如图2，当在点时，与重合，当与重合时，在直线上，
点经过的路线长是线段的长，
中，，，
，，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
即点到达点时，点经过的路线长是．
12．（2021·广东华侨中学九年级二模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴的交点为点，且经过点、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点，过点作轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或或或．
【解题思路分析】（1）由直线可得B、C两点的坐标，根据二次函数的对称轴求得A点坐标，然后利用待定系数法即可得；
（2）根据绝对值的性质得出的值最小时，点为BC的垂直平分线与直线的交点，求得BC垂直平分线的解析式，联立直线即可求得点；
（3）分四种情况进行讨论，设出N的坐标，根据相似三角形的对应边成比例的性质，求得N的横坐标与纵坐标的关系，然后联立抛物线解析式即可求解．
【解析】解：（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当y=0时，即，解得：x=4，则点B的坐标为，
当x=0时，，则点C的坐标为，
由二次函数的对称性可知：点与点关于直线对称，
∴点A的坐标为，
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）如图1，连结CM、BM，作线段BC的垂直平分线分别交BC、直线于点，则N为BC中点；
由绝对值的性质可得：，
∴当的值最小时，即，则此时，
∴点M为与直线的交点，此时与重合，
设的解析式为：，
∵直线BC的解析式为：，
∴，解得：，
则的解析式可化为：，
由得点N的坐标为，
将代入得：，解得：，
∴，
将代入，得，即，
∴当的值最小时，点的坐标为，
（3）抛物线上存在点，使得以点为顶点的三角形与相似；
∵
∴，，，
∴，，
∵，
∴为直角三角形，，
∵轴，
∴，则，
如图2所示，分四种情况，点的坐标分别为，设点的坐标为，
①当点在x轴的上方，要使，则，
则此时点与点C重合，则此时点与点O重合，
则，满足题意，
∴此时点的坐标为；
②当点在x轴的上方，要使，则，
∴，即，代入抛物线的解析式得：
，化简得：，
解得：，（不符合题意，故舍去），
将代入抛物线解析式得：，
∴此时点的坐标为；
③当点在x轴的下方，要使，则，
∴，即，代入抛物线的解析式得：
，化简得：，
解得：，（不符合题意，故舍去），
将代入抛物线解析式得：，
∴此时点的坐标为；
④当点在x轴的下方，要使，则，
∴，即，代入抛物线的解析式得：
，化简得：，
解得：，（不符合题意，故舍去），
将代入抛物线解析式得：，
∴此时点的坐标为；
综上，抛物线存在点N的坐标为或或或，使得以点为顶点的三角形与相似．
13．如图，直线：与轴，轴分别相交于、两点，抛物线过点．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值；
（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，动点相应的位置记为点．
①写出点的坐标；
②将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点，到直线的距离分别为，，当最大时，求直线旋转的角度（即的度数）．
【答案】（1）；（2），S的最大值为；（3）①，；②45°
【解题思路分析】（1）利用直线的解析式求出点坐标，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值；
（2）设的坐标为，然后根据面积关系将的面积进行转化；
（3）①由（2）可知，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②可将求最大值转化为求的最小值．
【解析】解：（1）令代入，
，
，
把代入并解得：，
二次函数解析式为：；
（2）令代入，
，
或3，
抛物线与轴的交点横坐标为和3，
在抛物线上，且在第一象限内，
，
令代入，
，
的坐标为，
由题意知：的坐标为，
，
当时，取得最大值．
（3）①由（2）可知：的坐标为，；
②过点作直线，过点作于点，
根据题意知：，
此时只要求出的最大值即可，
，
点在以为直径的圆上，
设直线与该圆相交于点，
点在线段上，
在上，
当与重合时，
可取得最大值，
此时，
，，，，
由勾股定理可求得：，，，
过点作于点，
设，
由勾股定理可得：，
，
，
，
，，
，
∴．
14．（2021·盐城市初级中学九年级二模）将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝x．
（概念与理解）
将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_____________；C2：____________．
（猜想与证明）
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．
（1）填空：当x=1时，=______；当x=2时，=_______；
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．
（探究与应用）
①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为 ；
②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
（联想与拓展）
若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0