九年级数学培优竞赛新方法-第15讲圆的基本性质讲义学案

展开

这是一份九年级数学培优竞赛新方法-第15讲圆的基本性质讲义学案，共8页。
第15讲圆的基本性质知识纵横到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。用圆的基本性质解题应注意：熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明了解弧的特性及中介作用善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化例题求解【例1】在半径为1的圆中，弦的长分别为和，则度数为_________（黑龙江省中考题）思路点拨作出辅助线，解直角三角形，注意有不同的位置关系。【例2】是圆内一点，圆的半径为，点到圆心的距离为，通过点，长度是整数的弦的条数是（）（江苏省竞赛题）思路点拨过点最长的弦为圆的直径，最短的弦与垂直（为什么），可求得过点点的弦长范围。【例3】如图，已知点顺次在圆上，弧弧,于，求证（江苏省竞赛题）思路点拨用截长（截）或补短（延长）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。【例4】如图，的直径为，过半径的中点作弦，在弧上取一点，分别作直线、，交直线于点、。（1）求和的度数；（2）求证：~；（3）如图，若将垂足G改取为半径上任意一点，点改取在弧上，仍作直线、，分别交直线于点、，试判断：此时是否有~?证明你的结论。（苏州市中考题）思路点拨（1）在中，利用；（2）证明，；（3）利用图的启示思考。【例5】如图，半径为2的中，弦与弦垂直相交于点，连接OP，若，求的值。（黑龙江省竞赛题）【例6】（1）如图，已知多边形是由边长为2的等边三角形和正方形组成，过点、、三点，求的半径。（2）如图，若多边形是由等腰和矩形组成，，过点、、三点，问的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）分析与解对于（1），给出不同解法；对于（2），的半径不改变，解法类似（1）。学习训练学力训练基础夯实1、如图，点、是上两点，，点是上的动点（与、不重合），连接、，过点分别作于，于，则_______. (兰州市中考题)2、如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且，已知，则的半径为_______。（2011年安徽省中考题）3、如图，的三个顶点的坐标分别为，则外接圆的半径长度为_______。（济南市中考题） 4、如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为_______cm。A、2 B、 C、 D、（连云港市中考题）5、如图，梯形中，，，以上一点为圆心的圆经过、两点，且，则圆心O到弦的距离是（）cm。A、 B、9 C、 D、(南通市中考题)6、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（）cm。（芜湖市中考题） 7、如图，已知的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点。若求的长。（广东省中考题） 8、如图，在中，已知是直径，为上一点，弦过点，(1)若求的长；(2)当点在上运动时（保持的度数不变），试问：的值是否改变？若不变，请求其值；若改变，请求出其值得取值范围。 9、如图，在中，SHI 的角平分线，过、、三点的圆与斜边交于点，连接。（1）求证：；（2）求外接圆的半径。（陕西省中考题）能力拓展圆的直径为，弦弦，，，则梯形的面积为_________________ （黄冈市竞赛题） 11.如图，半径为的圆与轴交于点函数的图象过点，则________________ （武汉市中考题）如图，在以为直径的半圆中，有一个边长为的内接正方形，则以和的长为两根的一元二次方程是 . （2011年日照市中考题）如图，用个边长为的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（）（天津市选拔赛试题）是圆内一点，圆的半径为，点到圆心的距离为，通过点、长度是整数的弦的条数是（） (黄冈市竞赛题)如图，点为弦上的一点，连接，过点作，交圆于，若，，则的长为（）无法确定（黑龙江省竞赛题）如图，正方形的顶点、和正方形的顶点、在一个以为半径的圆上，点、在线段上，若正方形的边长为，求正方形的边长（上海市竞赛题）如图，已知弦垂直于圆的直径于，弦平分半径于，求证：弦平分线于. （第21届全俄九年级奥林匹克试题）综合创新（1）如图①，已知为圆的弦，是劣弧的中点，直线于点，求证：（1）如图②，已知为圆的弦，是优弧的中点，直线于点，问：于之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论如图，在中，为边上一点，且，过作的垂线交的外接圆于，过作的垂线，交圆于，求证：为外接圆的直径（荆门市竞赛题）