高考数学(理数)一轮复习检测卷：8.7《直线与圆锥曲线的综合问题》 (教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习检测卷：8.7《直线与圆锥曲线的综合问题》 (教师版)
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的交点个数是(　　)A．1　　　　　　　　　 B．2C．1或2 D．0解析：选A.因为直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ＝60°，|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)A.eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)C.eq \f(2\r(3),3) D．eq \f(\r(3),3)解析：选D.∵|PF1|＝|PQ|，且∠F1PQ＝60°，∴△F1PQ为等边三角形，周长为4a，∴△F1PQ的边长为eq \f(4a,3)，在△PF1F2中，|PF1|＝eq \f(4a,3)，|PF2|＝eq \f(2a,3)，|F1F2|＝2c，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,3)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))eq \s\up12(2)＝(2c)2，即a2＝3c2，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,3)，∴e＝eq \f(\r(3),3).3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)A．(1，eq \r(5)) B．(1，eq \r(5)]C．(eq \r(5)，＋∞) D．[eq \r(5)，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，则由题意得eq \f(b,a)＞2，所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＞eq \r(1＋4)＝eq \r(5).4．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)A．有且只有一条 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有且只有四条解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，代入抛物线y2＝2x得，k2x2－(k2＋2)x＋eq \f(1,4)k2＝0，因为A、B两点的横坐标之和为2.所以k＝±eq \r(2).所以这样的直线有两条．5．若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的公共点的个数为(　　)A．0 B．1C．2 D．1或2解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为eq \f(3,\r(a2＋b2))＞eq \r(3)，所以a2＋b2＜3.又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜eq \r(3)，|b|＜eq \r(3)，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为eq \r(3)，所以P(a，b)在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的公共点有2个，故选C.6．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，eq \o(BC,\s\up10(→))＝λeq \o(FB,\s\up10(→))，则λ的值为(　　)A.eq \f(3,4) B．eq \f(3,2)C.eq \r(3) D．3解析：选D.设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝4eq \r(2)，直线AB的方程为y＝2eq \r(2)(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8eq \r(2))，联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2\r(2)（x－2），))解得B(1，－2eq \r(2))，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.7．已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－eq \f(\r(3),2)，则eq \f(a,b)的值为(　　)A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(2\r(3),3)C．－eq \f(9\r(3),2) D．－eq \f(2\r(3),27)解析：选A.由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有axeq \o\al(2,1)＋byeq \o\al(2,1)＝0　①，axeq \o\al(2,2)＋byeq \o\al(2,2)＝0　②，由①－②得a(xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2))＝－b(yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2))．即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以eq \f(y1＋y2,x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(a,b)，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝eq \f(y0,x0)＝eq \f(2y0,2x0)＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq \f(\r(3),2)，又知kAB＝－1，所以－eq \f(\r(3),2)×(－1)＝－eq \f(a,b)，所以eq \f(a,b)＝－eq \f(\r(3),2)，故选A.8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则eq \f(|AF|,|BF|)的值等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°，则直线l的方程为y－0＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，即y＝eq \r(3)x－eq \f(\r(3),2)p，联立抛物线方程，消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，则x1＝eq \f(3,2)p，x2＝eq \f(1,6)p，则eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(\f(3,2)p＋\f(1,2)p,\f(1,2)p＋\f(1,6)p)＝3.答案：39．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，直线l：y＝eq \r(3)(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|＝eq \f(16,3)，则p＝________．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\r(3)（x－1），))消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝eq \f(2p＋6,3)，x1x2＝1，所以|AB|＝2eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2eq \r(\f(（2p＋6）2,9)－4)＝eq \f(16,3)，所以p＝2.答案：210．若双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的离心率等于eq \r(2)，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．(1)求k的取值范围；(2)若|AB|＝6eq \r(3)，求k的值．解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(2)，,a2＝c2－1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,c2＝2，))故双曲线E的方程为x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①∵直线与双曲线的右支交于A，B两点，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝（2k）2－4（1－k2）·（－2）＞0，,\f(－2,1－k2)＞0，,\f(－2k,1－k2)＞0，))∴1＜k＜eq \r(2).(2)由①得x1＋x2＝eq \f(2k,k2－1)，x1x2＝eq \f(2,k2－1)，∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2eq \r(\f(（1＋k2）（2－k2）,（k2－1）2))＝6eq \r(3)，整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝eq \f(5,7)或k2＝eq \f(5,4).又1＜k＜eq \r(2)，∴k＝eq \f(\r(5),2).B级　能力提升练11．过原点的直线l与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝－1有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))解析：选B.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx，将其代入双曲线的方程eq \f(y2,3)－eq \f(x2,9)＝1，并整理得(3k2－1)x2－9＝0.因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ＝36(3k2－1)＞0，所以k2＞eq \f(1,3)，解得k＞eq \f(\r(3),3)或k＜－eq \f(\r(3),3).设直线l的倾斜角为α，由直线l的斜率k＝tan α(0≤α≤π，且α≠eq \f(π,2))，可得α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))；当直线l的斜率不存在，即α＝eq \f(π,2)时，直线l为y轴，显然与双曲线有两个交点．故选B.12．已知双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3eq \r(2)的直线l有(　　)A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选C.由双曲线的标准方程可知点F1的坐标为(－eq \r(5)，0)，易得过F1且斜率不存在的直线为x＝－eq \r(5)，该直线与双曲线的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(5)，\f(3\r(2),2)))，(－eq \r(5)，－eq \f(3\r(2),2))，则|AB|＝3eq \r(2)，又双曲线的两顶点分别为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，所以实轴长为2eq \r(2)，2eq \r(2)＜3eq \r(2)，结合图象，由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有2条，故共有3条直线满足条件．13．已知焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,4a)＋eq \f(y2,a2＋1)＝1，随着a的增大，该椭圆的形状(　　)A．越接近于圆 B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆解析：选D.由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－eq \r(3)＜a＜2＋eq \r(3)，又e2＝1－eq \f(a2＋1,4a)＝1－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，因此当a∈(2－eq \r(3)，1)时，e越来越大，当a∈(1，2＋eq \r(3))时，e越来越小．所以椭圆形状变化为先扁后圆．14．已知双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，则l的方程为________．解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq \o\al(2,1),4)－\f(yeq \o\al(2,1),2)＝1,\f(xeq \o\al(2,2),4)－\f(yeq \o\al(2,2),2)＝1))，两式相减得eq \f(xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2),4)＝eq \f(yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2),2)，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(1,2)×eq \f(x1＋x2,y1＋y2).又线段AB的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，因此x1＋x2＝2×eq \f(1,2)＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(1,2)，eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,4)，即直线AB的斜率为－eq \f(1,4)，直线l的方程为y＋1＝－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x＋8y＋7＝0.答案：2x＋8y＋7＝015．设点F为椭圆C：eq \f(x2,4m)＋eq \f(y2,3m)＝1(m＞0)的左焦点，直线y＝x被椭圆C截得弦长为eq \f(4\r(42),7).(1)求椭圆C的方程； (2)圆P：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4\r(3),7)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3\r(3),7)))eq \s\up12(2)＝r2(r＞0)与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点，AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4m)＋\f(y2,3m)＝1，,y＝x))得x2＝y2＝eq \f(12m,7)，故2eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(\f(24m,7))＝eq \f(4\r(42),7)，解得m＝1，故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(8\r(3),7)，,y1＋y2＝\f(6\r(3),7)))又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq \o\al(2,1),4)＋\f(yeq \o\al(2,1),3)＝1，,\f(xeq \o\al(2,2),4)＋\f(yeq \o\al(2,2),3)＝1))所以eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)＋eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,3)＝0.则(x1－x2)－(y1－y2)＝0，故kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1，则直线AB的方程为y－eq \f(3\r(3),7)＝x＋eq \f(4\r(3),7)，即y＝x＋eq \r(3)，代入椭圆C的方程并整理得7x2＋8eq \r(3)x＝0，则x1＝0，x2＝－eq \f(8\r(3),7)，故直线FM的斜率k∈[eq \r(3)，＋∞)，设FM：y＝k(x＋1)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝k（x＋1）))得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有x3＋x4＝eq \f(－8k2,3＋4k2)，x3x4＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，又|PF|＝eq \r(12＋k2)|x3＋1|，|QF|＝eq \r(12＋k2)|x4＋1|，所以|PF|·|QF|＝(1＋k2)|x3x4＋(x3＋x4)＋1|＝(1＋k2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4k2－12,3＋4k2)－\f(8k2,3＋4k2)＋1))＝(1＋k2)×eq \f(9,3＋4k2)＝eq \f(9,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3＋4k2)))，因为k≥eq \r(3)，所以eq \f(9,4)＜eq \f(9,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3＋4k2)))≤eq \f(12,5)，即|PF|·|QF|的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(12,5))).C级　素养加强练16．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2))).(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若eq \o(AF1,\s\up10(→))＝λeq \o(F1B,\s\up10(→))，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，,a2＝b2＋c2，,c＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，,b＝\r(3)，))所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k2)＋4))y2－eq \f(6,k)y－9＝0，Δ＝eq \f(144,k2)＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq \f(6k,3＋4k2)，y1y2＝eq \f(－9k2,3＋4k2)，又eq \o(AF1,\s\up10(→))＝λeq \o(F1B,\s\up10(→))，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝eq \f(－λ,（1－λ）2)(y1＋y2)2，则eq \f(（1－λ）2,λ)＝eq \f(4,3＋4k2)，λ＋eq \f(1,λ)－2＝eq \f(4,3＋4k2)，因为2≤λ＜3，所以eq \f(1,2)≤λ＋eq \f(1,λ)－2＜eq \f(4,3)，即eq \f(1,2)≤eq \f(4,3＋4k2)＜eq \f(4,3)，且k＞0，解得0＜k≤eq \f(\r(5),2).故直线l的斜率k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),2)))17．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，过D(1，0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程； (2)设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W(Q，R，S，T为不同的四个点)．①设W(x0，y0)，证明：eq \f(xeq \o\al(2,0),2)＋yeq \o\al(2,0)＜1；②求四边形QRST的面积的最小值．解：(1)设动圆半径为r，由于点D在圆C内，所以圆P与圆C内切，|PC|＝2eq \r(2)－r，|PD|＝r，|PC|＋|PD|＝2eq \r(2)＞|CD|＝2，由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其中a＝eq \r(2)，c＝1，b＝eq \r(2－1)＝1，故轨迹E的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.(2)①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝1，又Q，R，S，T为不同的四个点，所以eq \f(xeq \o\al(2,0),2)＋yeq \o\al(2,0)＜1.②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l1的方程为y＝k(x＋1)，由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1）,\f(x2,2)＋y2＝1))，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，则|QS|＝2eq \r(2)·eq \f(k2＋1,2k2＋1)，同理得|RT|＝2eq \r(2)·eq \f(k2＋1,k2＋2)，所以SQRST＝eq \f(1,2)|QS|·|RT|＝eq \f(4（k2＋1）2,（2k2＋1）（k2＋2）)≥eq \f(4（k2＋1）2,\f(9,4)（k2＋1）2)＝eq \f(16,9)，当且仅当2k2＋1＝k2＋2，即k＝±1时等号成立．综上所述，当k＝±1时，四边形QRST的面积取得最小值eq \f(16,9).