高中数学沪教版高中一年级 第一学期1.3集合的运算教案

这是一份高中数学沪教版高中一年级 第一学期1.3集合的运算教案，共11页。教案主要包含了交集的运算，并集的运算，补集的运算，交集，与补集相关的参数值的求解等内容，欢迎下载使用。

1.1.4 集合的运算


1.交集
由既属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合，叫集合A与B的交集，记作：，读作：A交B.即.
可以用文氏图表示出的三种不同情况：

2.并集
由所有属于集合A或属于集合B的所有元素构成的集合，叫集合A与B的并集，记作：（读作“A并B”），即.
可以用文氏图表示出的三种不同情况：

3.全集与补集
设U是全集，A是U的子集.由U中所有不属于A的元素组成的集合叫集合A在全集U中的补集，记作：(读作：A补，有些资料中，也用符号表示补集），即.
文氏图中阴影部分表示A的补集.

4.并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪Ø＝A
A∩Ø＝Ø

补集的性质
(1)A∪＝U．
(2)A∩＝Ø．
(3)＝Ø，＝U，＝A．
(4)∩＝．
(5)∪＝．

题型一、交集的运算
【例1】(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于(　　)
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
【答案】D
【解析】因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
【答案】A
【解析】在数轴上表示出集合A与B，如图所示．

则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．
总结：求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　
题型二、并集的运算
【例2】(1)设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于(　　)
A．{－2} B．{－2,3}
C．{－1,0，－2} D．{－1,0，－2,3}
【答案】D
【解析】因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，
所以A∪B＝{－1,0，－2,3}．
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2 A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2 【答案】A
【解析】　在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

总结：并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．
题型三、补集的运算
【例3】若集合A＝{x|－1≤x<1}，当U分别取下列集合时，求.
(1)U＝R；
(2)U＝{x|x≤2}；
(3)U＝{x|－4≤x≤1}．
【答案】（1）＝{x|x<－1或x≥1};（2）＝{x|x<－1或1≤x≤2};（3）＝{x|－4≤x<－1或x＝1}.
【解析】　(1)把集合U和A表示在数轴上，如图所示．

由图知＝{x|x<－1或x≥1}．
(2)把集合U和A表示在数轴上，如图所示．

由图知＝{x|x<－1或1≤x≤2}．
(3)把集合U和A表示在数轴上，如图所示．

由图知＝{x|－4≤x<－1或x＝1}．
总结：求集合补集的策略
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助文氏图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．

题型四、交集、并集性质的应用
【例4】已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且={-1},则a的值是(　　)
A.-1 B.1 C.3 D.±1
【答案】A
【解析】因为全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且={-1},
所以1,3是集合A的元素,
所以a+2=1,a2+2=3或a+2=3,a2+2=1,
解a+2=1,a2+2=3得a=-1,
解a+2=3,a2+2=1无解.
所以a= -1.故选A.
【例5】已知集合A＝{x|20)}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝Ø，求a的取值范围．
【答案】（1）≤a≤2；（2）0 【解析】（1）因为A∪B＝B，所以A⊆B，

观察数轴可知，所以≤a≤2.
（2）A∩B＝Ø有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图．

观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a>0，
所以0 总结：利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．
(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝Ø的情况，切不可漏掉．　
题型五、交集、并集、补集的综合运算
【例6】已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1 【答案】A∩B＝{x|－1 【解析】将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．

因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－13}．
又P＝，
所以∪P＝.
又＝，
所以(A∩B)∩
＝{x|－1 ＝{x|0 总结：解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于文氏图来求解．
(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．　
题型六、与补集相关的参数值（范围）的求解
【例7】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2 【答案】m≥2
【解析】由已知A＝{x|x≥－m}，得＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2 在数轴上表示，如图，

所以－m≤－2，
即m≥2，
所以m的取值范围是m≥2.
拓展延伸
(变条件)将本例中条件“∩B＝Ø”改为“∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
【答案】m≤－4
【解析】由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以＝{x|x<－m}，
又∩B＝B，
所以－m≥4，
解得m≤－4.

【例8】设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3},={x|-1≤x≤5}.
(1)若A∩B≠,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
【答案】（1）a<-1或a>2；（2）-4≤a≤5.
【解析】因为全集为R,={x|-1≤x≤5},
所以B={x|x<-1,或x>5}.
(1)假设A∩B=,则a≥−1,a+3≤5,
所以-1≤a≤2.
所以当A∩B≠时,a的取值范围是a<-1或a>2.
(2)假设A∩B=A,则A⊆B,结合数轴得
a+3<-1,或a>5,即a<-4,或a>5.

所以当A∩B≠A时,a的取值范围是-4≤a≤5.

总结：
（1）求解数学问题时,若从问题的正面不易求解,可考虑问题的反面,这也就是“正难则反”的策略,这种“正难则反”的解题方法,运用的是补集思想,补集思想的一般思路是:设全集为U,求其子集A,若直接求A较为困难,可先求,再由=A求A.
（2）一般地,涉及集合之间的不等关系的运算时,常用补集思想求解,使用此法时,不要忘记最终的结果是利用补集思想所求结果的补集.
总结：由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．　
举一反三
1.若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
【答案】A
【解析】易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．
2．若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝________．
【答案】{x|x<－5或x>－3}
【解析】将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．

所以M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
3．(2020·烟台高一检测)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则＝(　　)
A．{1，3}　　　　　　　　　 B．{1，3，5}
C．{0，1，3} D．{0，1，3，5}
【答案】C
【解析】全集U＝{x|x是小于5的非负整数}＝{0，1，2，3，4}，A＝{2，4}，所以＝{0，1，3}．故选C.
4．(2020·平顶山高一联考)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集为(　　)
A．{x∈R|0 C．{x∈R|0 【答案】C
【解析】借助数轴易得＝{x∈R|0
5.(2020吉林省实验中学高一上月考)设M={x|x∈Z},N=x|x=n2,n∈Z,P={x|x=n+12,n∈Z},则下列关系正确的是(　　)
A.N⊆M B.N=M∪P C.N⊆P D.N=M∩P
【答案】B
【解析】对于集合N,当n为偶数时,设n=2k,k∈Z,则x=n2=k,k∈Z;当n为奇数时,设n=2k+1,k∈Z,则x=n2=2k+12=k+12,k∈Z,所以N=M∪P,故选B.
6．已知A＝{x|a5}．
(1)若A∩B＝A，则a的取值范围为________；
(2)若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
【答案】（1）a≥5或a<－9；（2）－3≤a<－1.
【解析】(1)因为A∩B＝A，所以A⊆B，
所以a≥5或a＋8<－1，
即a≥5或a<－9.
(2)在数轴上标出集合A，B，如图．

要使A∪B＝R，则
解得－3≤a<－1.
综上，可知a的取值范围为:－3≤a<－1．
7.(2019·吉林长春外国语学校高一上学期第一次月考)已知集合U={3,4,a2+2a+3},A={3,4},={6},则实数a的值为　　　　. 
【答案】-3,1
【解析】由题意得a2+2a+3=6,解得a= -3或a=1,经检验均符合题意.
8．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2 【答案】A∩B＝{x|－2 【解析】解：如图．

因为A＝{x|－2 B＝{x|－3≤x≤2}，
所以＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，＝{x|x<－3或2 所以A∩B＝{x|－2 9.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a 【答案】a≥－
【解析】由题意得＝{x|x≥－1}，
①若B＝Ø，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆；
②若B≠Ø，则由B⊆，
得2a≥－1且2a 综上可得，实数a的取值范围是:a≥－.
10.(2020河南开封高级中学高一上期中)已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中a∈R,如果A∪B=A,求实数a的取值范围.
【答案】a=1或a≤-1
【解析】A={x|x2+4x=0}={0,-4}.
∵A∪B=A,∴B⊆A.
①当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1,此时满足B⊆A.
②当B={0}或B={-4}时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0},满足B⊆A.
③当B={0,-4}时,
Δ=4(a+1)2-4(a2-1)>0,a2-1=0,16−8(a+1)+a2-1=0,解得a=1.
综上所述,实数a的取值范围是a=1或a≤-1.
11.已知集合A={x|x<-3或x>5},集合B={x|k+1≤x≤k+2},若A∩B≠,求k的取值范围.
【答案】k>3或k<-4
【解析】因为A={x|x<-3或x>5},B={x|k+1≤x≤k+2},若A∩B=,则k+2≤5,k+1≥−3.
即-4≤k≤3.
令P={k|-4≤k≤3},则={k|k>3或k<-4}.
所以当k>3或k<-4时,A∩B≠.
12.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,17人同时听了数学、历史讲座,12人同时听了数学、音乐讲座,9人同时听了历史、音乐讲座,还有6人听了全部讲座.求听讲座的人数.
【答案】172.
【解析】解法一:设听了数学讲座、历史讲座、音乐讲座的同学构成的集合分别为A,B,C,因为听了数学讲座的人数为75,所以A中元素的个数为75.同理,B中元素的个数为68,C中元素的个数为61,A∩B中元素的个数为17,A∩C中元素的个数为12,B∩C中元素的个数为9,A∩B∩C中元素的个数为6,那么A∪B∪C中元素的个数为75+68+61-17-12-9+6=172,即听讲座的人数为172.
解法二:作出文氏图.由图知听讲座的人数为52+48+46+11+6+3+6=172.


1．知识清单：
(1)并集、交集的概念及运算．
(2)并集、交集运算的性质．
(3)全集和补集的概念及运算．
(4)并、交、补集的综合运算．
(5)有关的参数值的求解．
2．方法归纳：数形结合、正难则反的补集思想、分类讨论．
3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论;求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．