冀教版七年级下册第九章 三角形综合与测试同步达标检测题

冀教版七年级数学下册第九章 三角形难点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、三角形的外角和是（　　）

A．60° B．90° C．180° D．360°

2、有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（       ）

A．4，5，9 B．2.5，6.5，10 C．3，4，5 D．5，12，17

3、如图，于点，于点，于点，下列关于高的说法错误的是（       ）

A．在中，是边上的高 B．在中，是边上的高

C．在中，是边上的高 D．在中，是边上的高

4、定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．

下列说法正确的是（　　）

A．证法1用特殊到一般法证明了该定理

B．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理

C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

D．证法2用严谨的推理证明了该定理

5、如图，将一个含有30°角的直角三角板放置在两条平行线a，b上，若，则的度数为（       ）

A．85° B．75° C．55° D．95°

6、若一个三角形的两边长分别为3和8，则第三边长可能是 (　　)

A．4 B．5 C．8 D．11

7、下图中能体现∠1一定大于∠2的是（　　）

A． B．

C． D．

8、如图，，，，则的度数是（       ）

A．10° B．15° C．20° D．25°

9、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7

10、如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，当A′B′⊥AC，∠A＝50°，∠A′CB＝115°时，∠B′CA的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，AD是BC边上的中线，AB＝5 cm，AD＝4 cm，△ABD的周长是12 cm，则BC的长是____cm．

2、如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为_____．

3、两根长度分别为3，5的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是________．（写一个值即可）

4、如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝36°，则∠AOB＝_____．

5、在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A=_____________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、（1）如图所示，直角三角板和直尺如图放置．若，试求出的度数．

（2）已知ABC的三边长a、b、c，化简．

2、如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．

（1）如图（1），若∠DCE＝33°，则∠BCD＝      ，∠ACB＝      ．

（2）如图（1），猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．

（3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为      ．

3、如图，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=80°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数．

4、如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P

(1)当∠A=60°时，求∠BPC的的度数；（提示：三角形内角和180°）；

(2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系．

5、如图，在中，是角平分线，，．

(1)求的度数；

(2)若，求的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．

【详解】

解：如图，，

，

又，

，

即三角形的外角和是，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．

2、C

【解析】

【分析】

根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，得，

、，不能够组成三角形，不符合题意；

、，不能够组成三角形，不符合题意；

、，能够组成三角形，符合题意；

、，不能组成三角形，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．

3、C

【解析】

【详解】

解：A、在中，是边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；

B、在中，是边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；

C、在中，不是边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；

D、在中，是边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高是解题的关键．

4、D

【解析】

【分析】

利用测量的方法只能是验证，用定理，定义，性质结合严密的逻辑推理推导新的结论才是证明，再逐一分析各选项即可得到答案.

【详解】

解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，

证法2才是用严谨的推理证明了该定理，

故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，

证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是三角形的外角的性质的验证与证明，理解验证与证明的含义及证明的方法是解本题的关键.

5、A

【解析】

【分析】

由平行线的性质，得，然后由三角形外角的性质，即可求出答案．

【详解】

解：由题意，如图，

∵，

∴，

∵，

∴；

故选：A

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出．

6、C

【解析】

【分析】

直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．

【详解】

解：∵一个三角形的两边长分别为3和8，

∴5＜第三边长＜11，

则第三边长可能是：8．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键．

7、C

【解析】

【分析】

由对顶角的性质可判断A，由平行线的性质可判断B，由三角形的外角的性质可判断C，由直角三角形中同角的余角相等可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：A、∠1和∠2是对顶角，∠1＝∠2．故此选项不符合题意；

B、如图，

若两线平行，则∠3＝∠2，则

若两线不平行，则大小关系不确定，所以∠1不一定大于∠2．故此选项不符合题意；

C、∠1是三角形的外角，所以∠1＞∠2，故此选项符合题意；

D、根据同角的余角相等，可得∠1＝∠2，故此选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查的是对顶角的性质，平行线的性质，直角三角形中两锐角互余，三角形的外角的性质，同角的余角相等，掌握几何基本图形，基本图形的性质是解本题的关键.

8、B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质求出关于∠DOE，然后根据外角的性质求解．

【详解】

解：∵AB∥CD，∠A＝45°，

∴∠A＝∠DOE＝45°，

∵∠DOE＝∠C+∠E，

又∵，

∴∠E＝∠DOE-∠C＝15°．

故选：B

【点睛】

本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据组成三角形的三边关系依次判断即可．

【详解】

A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．

D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

10、B

【解析】

【分析】

由旋转的性质可得∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠A′CA＝40°，即可求解．

【详解】

解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，

∴∠A′CA＝90°﹣50°＝40°，

∴∠BCB′＝∠A′CA＝40°，

∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝115°﹣40°﹣40°＝35°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．

二、填空题

1、6

【解析】

【分析】

根据AD是BC边上的中线，得出为的中点，可得，根据条件可求出．

【详解】

解：AD是BC边上的中线，

为的中点，

，

，△ABD的周长是12cm，

，

，

故答案是：6．

【点睛】

本题考查了三角形的中线，解题的关键利用中线的性质得出为的中点．

2、59°##59度

【解析】

【分析】

先利用三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°，从而利用三角形外角的性质求出∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°，再由角平分线的定义求出，由此求解即可．

【详解】

解：∵∠C=62°，

∴∠CAB+∠CBA=180°-∠C=118°，

∵∠DAB=∠C+∠CBA，∠EBA=∠C+∠CAB，

∴∠DAB+∠EBA=2∠C+∠CAB+∠CBA=242°，

∵△ABC两个外角的角平分线相交于G，

∴，，

∴，

∴∠G=180°-∠GAB-∠GBA=59°，

故答案为：59°．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．

3、4（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，得

第三边应大于两边之差，即；而小于两边之和，即，

即第三边，

故第三根木棒的长度可以是4．

故答案为：4（答案不唯一）．

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

4、72°##72度

【解析】

【分析】

由全等三角形的对应角相等和三角形外角定理求解．

【详解】

解：如图

△ABC≌△DCB，∠DBC＝36°，

∠ACB＝∠DBC＝36°，

∠AOB＝∠ACB+∠DBC＝36°+36°=72°

故答案为：72°．

【点睛】

本题考查全等三角形对应角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，掌握相关知识是解题关键．

5、40°##40度

【解析】

【分析】

根据已知得出∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，代入∠A+∠B+∠C=180°得出方程∠A+2∠A+∠A+20°=180°，求出即可．

【详解】

解：∵∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，

∴∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+∠A+20°=180°，

∴∠A=40°，

故答案为：40°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°，用了方程思想．

三、解答题

1、（1）40°；（2）2b-2c

【解析】

【分析】

（1）过F作FH∥AB，则AB∥FH∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；

（2）先根据三角形三边关系判断出a+b-c与b-a-c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．

【详解】

（1）过点F作FH∥AB，

∵AB∥CD，FH∥AB，

∴AB∥CD∥FH，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∴∠EFG=∠3+∠4=∠1+∠2，

∵∠G=90°，∠E=30°，

∴∠EFG=90°-∠E=90°-30°=60°，

即∠1+∠2=60°，

∵∠1=20°，

∴∠2=60°-∠1=60°-20°=40°；

（2）∵△ABC的三边长分别是a、b、c，

∴a+b＞c，b-a＜c，

∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，

∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-（-b+a+c）=a+b-c+b-a-c=2b-2c．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，用到的知识点是平行线的性质定理、三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b-c与b-a-c的符号．

2、（1）57°，147°；（2）∠ACB＝180°－∠DCE，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE＝120°

【解析】

【分析】

（1）根据角的和差定义计算即可．

（2）利用角的和差定义计算即可．

（3）利用特殊三角板的性质，角的和差定义即可解决问题．

【详解】

解：（1）由题意，

；

；

故答案为：57°，147°．      

（2）∠ACB＝180°－∠DCE，    

理由如下：

∵   ∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90°－∠DCE，

∴   ∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠BCD

＝90°－∠DCE＋∠DCE＋90°－∠DCE

＝180°－∠DCE．      

（3）结论：∠DAB+∠CAE=120°．

理由如下：

∵∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠BAC+∠CAE=∠DAC+∠EAB，

又∵∠DAC=∠EAB=60°，

∴∠DAB+∠CAE=60°+60°=120°．

故答案为：∠DAB+∠CAE=120°．

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

3、55°

【解析】

【分析】

先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD度数，由AE⊥BE可求出∠AEB=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．

【详解】

解：∵∠ABC=30°，∠C=80°，

∴∠BAC=180°-30°-80°=70°，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=×70°=35°，

∵AE⊥BE，

∴∠AEB=90°，

∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=180°-90°-35°=55°．

【点睛】

本题考查的是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

4、 (1)120°

(2)∠BPC=

【解析】

【分析】

（1）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，∠PCB=，根据∠A=60°，得出=120°，求∠PBC+∠PCB==60°即可；

（2）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，得出∠PCB=，根据∠A=α°，得出=180°-α°，可求∠PBC+∠PCB=即可．

(1)

解：如图，∵BP是∠ABC的平分线，

∴∠PBC=．(角平分线定义)

∵CP是∠ACB的平分线，

∴∠PCB=，

∴∠PBC+∠PCB= ，

∵∠A=60°，

∴=120°，

∴∠PBC+∠PCB==60°，

∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°．

(2)

如图，∵BP是∠ABC的平分线，

∴∠PBC=．(角平分线定义)

∵CP是∠ACB的平分线，

∴∠PCB=，

∴∠PBC+∠PCB=，

∵∠A=α°，

∴=180°-α°，

∴∠PBC+∠PCB=，

∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°．

∴∠BPC=．

【点睛】

本题考查角平分线定义，三角形内角和，掌握角平分线定义，三角形内角和是解题关键．

5、 (1)；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理可求出，然后利用角平分线进行计算即可得；

（2）根据垂直得出，然后根据三角形内角和定理即可得．

(1)

解：∵，，

∴，

∵AD是角平分线，

∴，

∴；

(2)

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算等，熟练运用三角形内角和定理是解题关键．