初中数学第九章 三角形综合与测试课后测评

这是一份初中数学第九章 三角形综合与测试课后测评，共27页。试卷主要包含了下列图形中，不具有稳定性的是，如图，直线l1l2，被直线l3等内容，欢迎下载使用。
冀教版七年级数学下册第九章 三角形重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7
2、如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A＝32°，∠B＝30°，则∠ACE的大小是（ ）

A．63° B．58° C．54° D．56°
3、如图，，，，则的度数是（ ）

A．10° B．15° C．20° D．25°
4、两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠F＝45°，∠B＝60°，AC与DE交于点M．若BC∥EF，则∠DMC的大小为（　　）

A．100° B．105° C．115° D．120°
5、在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（ ）
A．65° B．80° C．115° D．50°
6、如图，在中，D是延长线上一点，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．2，4，7 C．3，3，5 D．3，3，7
8、下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．锐角三角形 D．等边三角形
9、如图，直线l1l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，则∠2等于（　　）

A．56° B．34° C．44° D．46°
10、如图，是的中线，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，三角形ABC的面积为1，，E为AC的中点，AD与BE相交于P，那么四边形PDCE的面积为______．

2、一副直角三角板，∠CAB＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，按图中所示位置摆放，点D在边AB上，EFBC，则∠ADF的度数为_____度．

3、如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△BEF=2cm2，则S△ABC=__________．

4、如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为______．

5、中，比大10°，，则______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图1，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，固定三角板ODC，将三角板OAB绕点O按顺时针方向旋转，记旋转角∠AOA'＝α（0＜α＜180°）．

（1）在旋转过程中，当α为 　 　度时，A'B'OC，当α为 　 　度时，A'B'⊥CD；
（2）如图2，将图1中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当α为多少度时，OB'平分∠COD；
拓展应用：
（3）当90°＜α＜120°时，连接A'D，利用图3探究∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC值的大小变化情况，并说明理由．
2、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度数．

3、如图：已知AB∥CD，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，求∠BOC的度数．
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+　 　＝180°（　 　）．
∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，（已知），
∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线的意义）．
∴∠DBC+∠ACB＝（　 　）（等式性质），
即∠DBC+∠ACB＝　 　°．
∵∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（　 　），
∴∠BOC＝　 　°（等式性质）．

4、已知，如图1，直线，E为直线上方一点，连接，与交于P点．

(1)若，则_________
(2)如图1所示，作的平分线交于点F，点M为上一点，的平分线交于点H，过点H作交的延长线于点G，，且，求的度数．
(3)如图2，在（2）的条件下，，将绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，同时绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，当旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当其中一条边与的边DF′互相垂直时，直接写出t的值．
5、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．


-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据组成三角形的三边关系依次判断即可．
【详解】
A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．
B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．
C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．
D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2、C
【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质求出∠ACD=63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．
【详解】
解：∵∠A=33°，∠B=30°，
∴∠ACD=∠A+∠B=33°+30°=63°，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE=63°，
∴∠ACE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-63°-63°=54°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC．
3、B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求出关于∠DOE，然后根据外角的性质求解．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠A＝45°，
∴∠A＝∠DOE＝45°，
∵∠DOE＝∠C+∠E，
又∵，
∴∠E＝∠DOE-∠C＝15°．
故选：B
【点睛】
本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．
4、B
【解析】
【分析】
首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠C和∠E的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDC的度数，在△CMD中，利用三角形内角和可求出∠CMD的度数．
【详解】
解：在△ABC和△DEF中，
​​​​​​​∠BAC=∠EDF=90°，∠F＝45°，∠B＝60°，
∴∠C=90°-∠B=30°，
∠E=90°-∠F=45°，
∵BC∥EF，
∴∠MDC=∠E=45°，
在△CMD中，∠CMD=180°-∠C-∠MDC=105°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．
5、C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，求出∠ABC+∠ACB =130°，根据角平分线的定义得到∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，再根据三角形内角和定理和角的代换即可求解．
【详解】
解：如图，∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠CBD-∠ECB=180°-（∠CBD+∠ECB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×130°=115°．

故选：C
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理，并能根据角平分线的定义进行角的代换是解题关键．
6、B
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质可直接进行求解．
【详解】
解：∵，，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、因为 ，所以能组成三角形，故本选项符合题意；
D、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可作出选择．
【详解】
解：平行四边形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故A符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形和三角形的性质，解题的关键是记住三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
9、C
【解析】
【分析】
依据l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．
【详解】
解：如图：

∵l1∥l2，∠1＝46°，
∴∠3＝∠1＝46°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣46°＝44°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线性质以及三角形内角和，平行线的性质：两直线平行，同位角相等以及三角形内角和是180°．
10、B
【解析】
【分析】
直接根据三角形中线定义解答即可．
【详解】
解：∵是的中线，，
∴BM= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的中线，熟知三角形的中线是三角形的顶点和它对边中点的连线是解答的关键．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得，再根据△ABC的面积是1即可求得x、y的值，从而求解．
【详解】
解：连接CP， 设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．

∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，
∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，
∵BD：DC=2：1，CE：AC=1：2，

∴△ABP的面积是4x．
∴4x+x=2y+x+y，
解得．
又∵4x+x=，
解得：x=，则
则四边形PDCE的面积为x+y=．
故答案为：．
【点睛】
本题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．
2、75
【解析】
【分析】
设CB与ED交点为G，依据平行线的性质，即可得到∠CGD的度数，再根据三角形外角的性质，得到∠BDE的度数，即可得∠ADF的度数．
【详解】
如图所示，设CB与ED交点为G，

∵∠CAB=∠FDE=90°，∠F=45°，∠C=60°，
∴∠E=90°-∠F=45°，∠B=90°-∠C=30°，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠CGD=45°，
又∵∠CGD是△BDG的外角，
∴∠CGD=∠B+∠BDE，
∴∠BDE=45°-30°=15°，
∴∠ADF =180°-90°-∠BDE =75°
故答案为：75．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
3、8cm2
【解析】
【分析】
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△CFB＝S△EFB＝2cm2，于是得到S△CEB＝4cm2，再求出S△BDE＝2cm2，利用E点为AD的中点得到S△ABD＝2S△BDE＝4cm2，然后利用S△ABC＝2S△ABD求解．
【详解】
解：∵F点为CE的中点，
∴S△CFB＝S△EFB＝2cm2，
∴S△CEB＝4cm2，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE＝S△BCE＝2cm2，
∵E点为AD的中点，
∴S△ABD＝2S△BDE＝4cm2，
∴S△ABC＝2S△ABD＝8cm2．
故答案为：8cm2．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．
4、19.2
【解析】
【分析】
点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，根据三角形三边关系可得，当点P与点B或点C重合时，P、M、N三点共线，MN最长，由轴对称可得，，再由三角形等面积法即可确定MN长度．
【详解】
解：如图所示：点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，

由图可得：，
当点P与点B或点C重合时，如图所示，MN交AC于点F，此时P、M、N三点共线， MN最长，

∴，，
∵等腰面积为48，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查对称点的性质及三角形三边关系，三角形等面积法等，理解题意，根据图形得出三点共线时线段最长是解题关键．
5、70°
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理可得，由题意比大，可得，组成方程组求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵比大，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查三角形内角和定理及二元一次方程组的应用，理解题意，列出代数式组成方程组是解题关键．
三、解答题
1、（1）30，90；（2）105°；（3）不变，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作出图形，根据所给的条件求解即可；
（2）由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝45°，由角的数量关系可求解；
（3）由α可分别表示∠B'A'D，∠B'OC，∠A'DC再求和即可．
【详解】
解：（1）当A'B'∥OC时，

∴∠A′OC+∠A′＝180°，
∵∠A′＝90°，
∴∠A′OC＝90°，
∴∠AOA′＝180°﹣90°﹣60°＝30°，即α＝30°；
当A'B'⊥CD时，

则OA′∥CD，
∴∠AOA′＝∠ODC＝90°，即α＝90°；
故答案为：30；90．
（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOB＝∠A'OB'＝45°，
∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，
∴∠DOB'＝30°，
∴∠AOA'＝180°﹣∠DOB′﹣∠A'OB′＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
即当α为105°时，OB'平分∠COD；
（3）不变，理由如下：
∵∠AOA′＝α，
∴∠B′OD＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，
∴∠B′OC＝60°﹣（135°﹣α）＝α﹣75°，
设∠A′DC＝β，
∴∠A′DO＝90°﹣β，
∴∠B′OD+∠A′DO＝∠B'A'D+∠B′，即135°﹣α+90°﹣β＝∠B'A'D+45°，
解得∠B'A'D＝180°﹣α﹣β，
∴∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC＝180°﹣α﹣β+α﹣75°+β＝105°．
【点睛】
本题考查了三角板的角度计算，角平分线的定义，旋转的性质，三角形的内角和与外角的性质，平行线的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
2、
【解析】
【分析】
根据三角形内角和的性质求得的度数，再根据角平分线求得的度数，利用三角形外角性质求得的度数，从而求得的度数．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴，
∵PE⊥AD，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了三角形内角和的性质，三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
3、∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90
【解析】
【分析】
根据题意利用AB∥CD得∠ABC+∠BCD=180；等式的性质得∠DBC+∠ACB=（∠ABC+∠ACD），进而由三角形内角和为180°得∠BOC=90°．
【详解】
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD（已知），
∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线定义），
∴∠DBC+∠ACB＝（∠ABC+∠BCD）（等式性质），
即∠DBC+∠ACB＝90°，
∴∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（三角形内角和等于180°），
∴∠BOC＝90°（等式性质），
故答案为：∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90．
【点睛】
本题考查平行线的性质，等式的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等，解题的关键是掌握相关性质的应用．
4、 (1)40；
(2)=70°；
(3)t的值为10．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线性质求出∠EPB=∠CDE=70°，根据∠ABE是△BEP的外角可求∠E=∠ABE-∠EPB=110°-70°=40°即可；
（2）根据，得出∠GFB=∠FBE，∠HDF=∠PFD，根据FH平分，得出∠GFH=∠HFP，可得∠GFB=2∠HFB=2∠HFD+2∠DFP，根据DF平分，得出∠FDH=∠FDE=∠PFD，可得∠EPB=∠PDH=2∠PDF=2∠PFD，根据∠EBF为△EBP的外角，可证∠E=2∠DFH，根据，解方程得出∠DFH=20°，根据，得出∠G+∠GFH=90°，得出∠G+∠PFD=90°-∠HFD=90°-20°=70°即可；
（3）当时，∠HFP=∠HFD+∠DFP=45°，可得∠GFH=∠HFP=45°，∠G=45°，当其中一条边与的边DF′互相垂直，分三种情况当G′H′⊥DF′时，FH′交CD与S，FH′∥F′D，∠CDF′=25°+5t，∠FSC=45°+3°t，列方程25°+5t =45°+3°t，当GF⊥F′D时，GF交CD于R，交DF′于Q，∠HDF′=25°+5t，∠CRG=∠GFA=3t-90°，∠QRD+∠QDR=90°，列方程3t-90°+180°-(25+5t)=90°，当H′F⊥DF′，H′F交CD于U，交DF′于V，∠HDF′=25°+5°t，∠CUF=∠AFH′=3°t-90°-45°，∠VUD+∠UDV=90°，列方程180°-（25°+5°t）+3°t-90°-45°=90°即可．
(1)
解：∵，，
∴∠EPB=∠CDE=70°，
∵∠ABE是△BEP的外角，，
∴∠E=∠ABE-∠EPB=110°-70°=40°，
故答案为：40；

(2)
解：∵，
∴∠GFB=∠FBE，∠HDF=∠PFD
∵FH平分，
∴∠GFH=∠HFP，
∴∠GFB=2∠HFB=2∠HFD+2∠DFP
∵DF平分，
∴∠FDH=∠FDE=∠PFD，
∴∠EPB=∠PDH=2∠PDF=2∠PFD
∵∠EBF为△EBP的外角，
∴∠EBF=∠E+∠EPB=∠E+2∠PFD，
∴2∠HFD+2∠DFP=∠E+2∠PFD，
∴∠E=2∠DFH，
∵，
∴4∠DFH=3∠DFH+20°，
∴∠DFH=20°，
∵，
∴∠FHG=90°，
∴∠G+∠GFH=90°，
∴∠G+∠PFH=∠G+∠HFD+∠PFD=90°，
∴∠G+∠PFD=90°-∠HFD=90°-20°-70°，
∴=70°；

(3)
当时，∠HFP=∠HFD+∠DFP=45°，
∴∠GFH=∠HFP=45°，
∴∠G=45°，
当其中一条边与的边DF′互相垂直，分三种情况，
当G′H′⊥DF′时，FH′交CD与S，FH′∥F′D，∠FSC=∠CDF′，∠CDF′=25°+5t，∠FSC=45°+3°t，
∴25°+5t =45°+3°t，
解得t=10,

当GF⊥F′D时，GF交CD于R，交DF′于Q，∠HDF′=25°+5t，∠CRG=∠GFA=3t-90°，
∠QRD+∠QDR=90°即3t-90°+180°-(25+5t)=90°，
解得t=-12.5＜0舍去，

当H′F⊥DF′，H′F交CD于U，交DF′于V，∠HDF′=25°+5°t，∠CUF=∠AFH′=3°t-90°-45°，
∵∠VUD+∠UDV=90°，
∴180°-（25°+5°t）+3°t-90°-45°=90°，
解得t=-35＜0舍去，

综合t的值为10．
【点睛】
本题考查平行线性质，三角形外角性质，角平分线有关的计算，解一元一次方程，余角性质，直线垂直，图形旋转性质，掌握平行线性质，三角形外角性质，角平分线有关的计算，解一元一次方程，余角性质， 直线垂直，图形旋转性质，根据余角性质列方程是解题关键．
5、∠AFE=50°．
【解析】
【分析】
根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．
【详解】
解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，
∴∠ECB=，
∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，
∴∠AFE=∠DFC=50°．
【点睛】
本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．