初中数学第九章 三角形综合与测试课时作业

冀教版七年级数学下册第九章 三角形专项练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在中，，，则外角的度数是（       ）

A．35° B．45° C．80° D．100°

2、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．2，3，6 B．2，4，7 C．3，3，5 D．3，3，7

3、如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，OA=15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是（　　）

A．5米 B．10米 C．15米 D．20米

4、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．1，6，6 B．2，3，5 C．3，4，8 D．5，6，11

5、如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（       ）

A． B． C． D．

6、已知的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值可能分别是（       ）

A．1，2，3 B．3，4，7

C．2，3，4 D．4，5，10

7、在下列长度的四根木棒中，能与3cm，9cm的两根木棒首尾顺次相接钉成一个三角形的是（       ）

A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm

8、数学课上，同学们在作中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（       ）．

A． B．C． D．

9、如图，已知为的外角，，，那么的度数是（       ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

10、如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定（　　）

A．三角形的稳定性

B．两点之间线段最短

C．四边形的不稳定性

D．三角形两边之和大于第三边

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图：中，，，于D，CE平分，于F，则______°．

2、一个等腰三角形的一边长为2，另一边长为9，则它的周长是________________．

3、如图，将△ABC平移到△A’B’C’的位置（点B’在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB’A’的度数为_____°．

4、古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．

已知：如图，在中，

试说明：．

解：延长线段至点，并过点作．

因为（已作），

所以（           ），（           ）．

因为（           ），

所以                  （           ）．

5、如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知：如图，△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠AEC的度数．

2、在△ABC中，∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B，求∠A、∠B、∠C的度数

3、已知，△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，M是AE上一点，MN⊥BC于N．

(1)如图①，当点M与A重合时，若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EMN的度数；

(2)如图②，当点M在线段AE上（不与A，E重合），用等式表示∠EMN与∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图③，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A做MC的垂线，交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．

①依题意补全图形；

②若∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，则∠AMC＝          °．

（用含α，β，γ的式子表示）

4、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD．

5、如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，，，．求和的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据三角形的外角的性质直接求解即可，．

【详解】

解：∵在中，，，

∴

故选C

【点睛】

本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．

2、C

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．

【详解】

解：A、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C、因为 ，所以能组成三角形，故本选项符合题意；

D、因为 ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．

3、A

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系得出5＜AB＜25，根据AB的范围判断即可．

【详解】

解：连接AB，

根据三角形的三边关系定理得：

15﹣10＜AB＜15+10，

即：5＜AB＜25，

∴A、B间的距离在5和25之间，

∴A、B间的距离不可能是5米；

故选：A．

【点睛】

本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

根据构成三角形的条件逐项分析判断即可．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据原理分别计算两条较短边的和与最长边比较，再逐一分析即可.

【详解】

解：A. 1+6>6，能组成三角形，故该选项正确，符合题意；

B. 2+3=5,不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；      

C. 3+4<8,不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；      

D. 5+6=11,不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查了判断构成三角形的条件，解题的关键是掌握构成三角形的条件．

5、A

【解析】

【分析】

根据题意设，根据三角形内角和公式定理，进而表示出，进而根据三角形内角和定理根据即可求解

【详解】

解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，设，

∴

即

故选A

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．

【详解】

解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；

B、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；

C、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；

D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．

7、C

【解析】

【分析】

设第三根木棒的长度为cm，再确定三角形第三边的范围，再逐一分析各选项即可得到答案.

【详解】

解：设第三根木棒的长度为cm，则

所以A，B，D不符合题意，C符合题意，

故选C

【点睛】

本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“利用三角形的三边关系确定第三边的范围”是解本题的关键.

8、A

【解析】

【分析】

满足两个条件：①经过点B；②垂直AC，由此即可判断．

【详解】

解：根据垂线段的定义可知，A选项中线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，

故选：A．

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9、B

【解析】

【分析】

根据三角形的外角性质解答即可．

【详解】

解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°，

∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°，

故选：B．

【点睛】

此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．

10、A

【解析】

【分析】

由三角形的稳定性即可得出答案．

【详解】

一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角形的稳定性，加上窗钩AB构成了△AOB，而三角形具有稳定性是解题的关键．

二、填空题

1、80

2、20

【解析】

【分析】

题目给出等腰三角形有两条边长为2和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】

解：分两种情况：当腰为2时，2＋2＜9，所以不能构成三角形；

当腰为9时，2＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：2＋9＋9＝20．

故答案为：20．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

3、25

【解析】

【分析】

先根据三角形内角和定理求出∠A=25°，然后根据平移的性质得到，则．

【详解】

解：∵∠B=55°，∠C=100°，

∴∠A=180°－∠B－∠C=25°，

由平移的性质可得，

∴，

故答案为：25．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质．

4、两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角的定义；A；B；等量代换；见解析

【解析】

【分析】

根据平行线的性质以及平角的定义可解决问题．

【解答】

解：延长线段至点，并过点作．

因为（已作），

所以（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）．

因为（平角的定义），

所以（等量代换）．

故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角的定义；；；等量代换．

【点评】

本题考查三角形内角和定理的推理过程，掌握平行线的性质是解题关键．

5、9

【解析】

【分析】

根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求得．

【详解】

解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，

∴AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC，

∵△ABC的面积等于36，

∴，

，，

∴，

∴，

故答案为：9．

【点睛】

本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题关键．．

三、解答题

1、∠AEC=115°

【解析】

【分析】

利用三角形的内角和定理求解 再利用三角形的高的含义求解 再结合角平分线的定义求解 再利用三角形的内角和定理可得答案.

【详解】

解： ∠BAC＝80°，∠B＝60°，

AD⊥BC，

AE平分∠DAC，

【点睛】

本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，熟练的运用三角形的高与角平分线的定义结合三角形的内角和定理得到角与角之间的关系是解本题的关键.

2、，，

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理，以及已知条件列三元一次方程组解方程求解即可

【详解】

在△ABC中，,∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B，

①-②得④

将③代入④解得

,

，，

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，解三元一次方程组，正确的计算是解题的关键．

3、（1）；（2），见解析；（3）①见解析；②

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和求出∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．根据AE平分∠BAC，∠CAE＝∠BAC＝30°，利用三角形内角和∠C＝80°，∠MNC＝90°，得出∠CMN＝10°即可；

(2)∠EMN＝(∠C－∠B)；证法1:如图，作AD⊥BC于D．根据AE平分∠BAC，可得∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．根据，Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，得出∠EAD＝∠EAC－∠DAC=(∠C－∠B)．根据AD⊥BC，MN⊥BC，可得AD//MN，得出∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．证法2:根据 AE平分∠BAC，得出∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，根据三角形内角和得出∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)即可；

(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D，如图；                                  

②∠AMC＝．过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，可得MN∥AG，得出∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），根据MC⊥AD，得出∠CFD=∠CNM=90°，可证∠NMC=∠D，

根据两角差∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B即可

【详解】

解:(1)∵∠B＝40°，∠C＝80°，

∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．

又∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠BAC＝30°，

∵∠C＝80°，∠MNC＝90°，

∴∠CMN＝10°，

∴∠EMN＝∠CAE－∠CMN＝30°－10°＝20°；

(2)∠EMN＝(∠C－∠B)．                                     …

证法1:如图，作AD⊥BC于D．

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．

∵，

∴Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，

∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC

＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)．

∵AD⊥BC，MN⊥BC，

∴AD//MN，

∴∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．           

证法2:∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，

∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)，

∴∠EMN＝90°－∠AEC＝(∠C－∠B)．

(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．如图；                                  

②∠AMC＝．

过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，

∴MN∥AG，

∴∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），

∵MC⊥AD，

∴∠CFD=∠CNM=90°，

∵∠FCD=∠NCM，

∴∠NMC=180°-∠CNM-∠NCM=180°-∠CFD-∠FCD=∠D，

∴∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B，

∵∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，

∴∠AMC=γ°-β°+α°．

【点睛】

本题考查三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，补全图形，垂线定义，掌握三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，作图语句，垂线定义是解题关键．

4、见解析

【解析】

【分析】

连接，，再根据三角形的三边关系即可得出结论．

【详解】

连接，，

，，

．

当且仅当CD过圆心O时，取“=”号，

．

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系，解题的关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边．

5、87°，40°

【解析】

【分析】

根据三角形外角的性质可得，，代入计算即可求出，再根据三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系，准确进行计算．