2022年广西贺州市中考数学真题（解析版）

数学

一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分；给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在试卷上作答无效。）

1. 下列各数中，的相反数是（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）判断即可．

【详解】解：由相反数的定义可得：-1与1互为相反数，

故选：C．

【点睛】题目主要考查相反数的定义，理解相反数的定义是解题关键．

2. 如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（    ）

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

【答案】B

【解析】

【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角，据此作答即可．

【详解】解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意；

∠1与∠3是同位角，选项B符合题意；

∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意；

∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意；

故选：B．

【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．

3. 在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用概率公式计算即可．

【详解】解：因为盒子里由黄色乒乓球3个，

所以随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的情况有3种，

因为盒子里一共有2+3=5（个）球，

∴一共有5种情况，

∴随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率为，

故选：D．

【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，解题关键是牢记概率公式，即事件A发生的概率为事件A包含的结果数除以总的结果数．

4. 下面四个几何体中，主视图为矩形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】依次分析每个选项中的主视图，找出符合题意的选项即可．

【详解】解：A选项图形的主视图为矩形，符合题意；

B选项图形的主视图为三角形，中间由一条实线，不符合题意；

C选项图形的主视图为三角形，不符合题意；

D选项图形的主视图为梯形，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了几何体的主视图，解题关键是理解主视图的定义．

5. 2022年我国高考报名人数再创新高，约为1193万（即11930000）人，数据11930000用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先思考科学记数法表示数的形式，再确定a，n的值，即可得出答案．

【详解】解：．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握形式解题的关键．即 ，其中1≤|a|＜10，n为正整数．

6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．

【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；

故选：A．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

7. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，同底数幂相乘法则，逐项判断即可求解．

【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；

B、，故本选项错误，不符合题意；

C、，故本选项错误，不符合题意；

D、，故本选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，同底数幂相乘法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

8. 如图，在中，，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．

【详解】解：

∴ ，
∴，

故选：B．

【点睛】此题考查是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

9. 己知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内，即可求解．

【详解】解：根据题意得：，

∴，

∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内．

故选：A

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．

10. 如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，利用阴影部分面积列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可．

【详解】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，

设OE=OF=x，

∴

，

解得：，

∴，

故选：C．

【点睛】题目主要考查不规则图形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

11. 已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．

【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，

∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），

∵1>0，开口向上，

∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，

∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，

∴当x=a时，y=15，

∴2（a-1）2-3=15，

解得：a=4或a=-2（舍去），

故a的值为4．

故选：D．

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．

12. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据液体的体积不变列方程解答．

【详解】解：圆柱体内液体的体积为：

由题意得，

，

故选：B．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及圆柱与圆锥的体积，是基础考点，掌握液体体积不变列方程是解题关键．

二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答题卡对应的位置上，在卷上作答无效。）

13. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得数x的取值范围．

【详解】在实数范围内有意义，

，

解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

14. 因式分解：__________．

【答案】

【解析】

【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．

【详解】解：原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)；

故答案为：3(x+2)(x−2)．

【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．

15. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．

【答案】

【解析】

【分析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案．

【详解】过B作于，过作轴于，

∴，

∴，

由旋转可知，，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．

16. 若实数m，n满足，则__________．

【答案】7

【解析】

【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．

【详解】解：由题意知，m，n满足，

∴m-n-5=0，2m+n−4=0，

∴m=3，n=-2，

∴，

故答案为：7．

【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

17. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】列出所有可能出现的情况，再得到能被3整除的情况，最后根据概率公式解答．

【详解】解：画树状图如下，

所有等可能的情况共36种，其中组成的两位数中能被3整除的有12，15，21，24，33，36，42，45，51，54，63，66共12种，

即这个两位数能被3整除的概率为，

故答案为：．

【点睛】本题考查画树状图或列表法求概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

18. 如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．

【答案】##

【解析】

【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可求解．

【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，

在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，

∴△DEH为等腰直角三角形，

∵DG平分∠ADC，

∴DG垂直平分EH，

∴PE=PH，

∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，

∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，

∵E，F分别是AD，AB的中点，

∴AE=DE=DH=3，AF=4，

∴EF=5，

∵FK⊥CD，

∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，

∴四边形ADKF为矩形，

∴DK=AF=4，FK=AD=6，

∴HK=1，

∴，

∴FH+EF=，即的周长最小为．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．

三、解答题：（本大题共8题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无效。）

19. 计算：．

【答案】5

【解析】

【分析】根据解答．

【详解】解：原式

【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角的正切值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

20. 解方程：．

【答案】原方程无解

【解析】

【分析】方程两边同时乘以最简公分母，先去分母，化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、化系数为1，最后验根即可．

【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得

解方程，得

检验：当时，，

不是原方程的根，原方程无解．

【点睛】本题考查解分式方程，涉及分式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

21. 为了落实“双减”政策，提倡课内高效学习，课外时间归还学生，“鸿志”班为了激发学生学习热情，提高学习成绩，采用分组学习方案，每7人分为一小组，经过半个学期的学习，在模拟测试中，某小组7人的成绩分别为98，94，92，88，95，98，100（单位：分）．

（1）该小组学生成绩的中位数是__________，众数是__________．

（2）若成绩95分（含95分）以上评为优秀，求该小组成员成绩的平均分和优秀率（百分率保留整数）．

【答案】（1）95；98   

（2）平均分为95分，优秀率为．

【解析】

【分析】（1）直接根据中位数与众数的定义求解即可；

（2）根据平均数公式求平均数，然后确定优秀的人数所占的比例，再化为百分数即可得到优秀率的值．

【小问1详解】

将数据从小到大排列为88，92，94，95，98，98，100，

由于最中间的数是95，出现次数最多的数是98，

所以中位数是95，众数是98；

【小问2详解】

该小组成员成绩的平均分为

（分）

95分（含95分）以上人数为4人，所以优秀率为：

答：该小组成员成绩的平均分为95分，优秀率为．

【点睛】本题考查了中位数与众数、平均数、频率，解题关键是读懂题意，牢记相关概念和公式．

22. 如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：）

【答案】53.2

【解析】

【分析】设，得，，得方程，解出x，即求出AB的长．

【详解】设，

在中，

，得．

在中，

，得．

．

解方程，得．

．

答：烟囱AB的高度为53.2米

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．

23. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若AC平分，，求四边形AFCE的面积．

【答案】（1）详见解析；   

（2）24．

【解析】

【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；

（2）由平行线的性质可得，再根据角平分线的性质解得，继而证明，由此证明平行四边形AFCE是菱形，根据菱形的性质得到，结合正切函数的定义解得，最后根据三角形面积公式解答．

【小问1详解】

证明：四边形ABCD是平行四边形

，即．

四边形AFCE是平行四边形．

【小问2详解】

解：，

．

平分，

．

．

，由（1）知四边形AFCE是平行四边形，

平行四边形AFCE是菱形．

，

在中，，

．

．

【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

24. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．

（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；

（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？

【答案】（1）；   

（2）每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．

【解析】

【分析】（1）根据 “该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出函数关系式，即可求解；

（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．

【小问1详解】

解：根据题意，得

与x之间函数关系式是．

【小问2详解】

解：根据题意，得

∴抛物线开口向下，W有最大值

当时，

答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

25. 如图，内接于，AB是直径，延长AB到点E，使得，连接EC，且，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F．

（1）求证：EC是的切线；

（2）若BC平分，求AD的长．

【答案】（1）详见解析；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）连接OC，证明∠OCE=90°即可；

（2）先证明出CD⊥AB，再利用直角三角形的性质和三角函数分别求出∠CAD和CF后即可求出AD的值．

【小问1详解】

证明：连接OC．

，

．

，

．

是的直径，

．

．

，即．

又是的半径，

是的切线．

小问2详解】

解：平分，

．

，

.

又，

．

又是的直径，

．

在中，

，

．

．

在中，，

．

，AB是的直径，

．

在中，，

．

【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、垂径定理的推论、三角函数等知识，解题关键是连半径构造或证明直角三角形等，主要运用了转化的思想方法．

26. 如图，抛物线过点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）点P坐标为；   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式；

（2）依题意可得出即P点在平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标；

（2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解．

【小问1详解】

根据题意，得

，

解得，

抛物线解析式为：．

【小问2详解】

由（1）得，

点，且点，

．

∵当是以BC为底边的等腰三角形

∴PC=PB，

∵OP=OP，

∴，

∴，

设抛物线的对称轴与轴交于H点，则，

∴，

∴，

∵抛物线对称轴，

∴，

∴，

．

点P坐标为．

【小问3详解】

存在．

理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F．

设，则，

设直线BC的解析式为：，依题意，得：

，

解得，

直线BC的解析式为：，

当时，，

点E的坐标为，

∵点M在第一象限内，且在BC的上方，

，

，

．

∵，

，

解得．

【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键．