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上海期末精选50题（压轴版）-2021-2022学年七年级数学上学期期中期末考试满分全攻略（沪教版）
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上海期末解答精选50题（压轴版）
1．（2018·上海同济大学附属存志学校七年级期末）在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．
当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．
当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．
在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．
2．（2018·上海民办兰生复旦中学七年级期末）因式分解：
3．（2020·上海宝山·七年级期末）已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．
（1）当，时，求线段FD的长度；
（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；
（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．
4．（2018·上海奉贤·七年级期末）如图，正方形，点是线段延长线一点，连结，，
（1）将线段沿着射线运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积.
（2）将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积.
（3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角
5.（2019宝山实验10月考27）已知：，求.
6.（2019杨浦控江10月26）已知多项式，多项式.当x=1时，多项式A和B的值分别为4和2，求当x=-1时，多项式A的值.
7.（松江2019期中29）某商品1998年比1997年涨价5%，1999年又比1998年涨价10%，2000年比1999年降价12%. 那么2000年与1997年相比是涨价还是降价？涨价或降价的百分比是多少？
8.（闵行区2020期末27）阅读下述材料，尝试解决问题
数学是一门充满思维乐趣的学科，现有一个的数阵，数阵中每个位置对应的数都是1，2或3. 定义为数阵中第行、第列的数. 例如，数阵第3行、第2列所对应的数是3，所以.
（1）对于数阵，的值为_________；若，则的值为_________.
（2）若一个的数阵对任意的均满足以下条件：
条件一：；
条件二：；则称这个数阵是“有趣的”.
已知一个“有趣的”数阵满足，试计算的值.
9.（张江2019期中34）若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．
（Ⅰ）求b的取值范围；
（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．
10.（川中南2019期中28）28.在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”. 如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.
（1）在图2的“等和格”方格图中，可得a= .（用含b的代数式表示）；
（2）在图3的“等和格”方格图中，可得a= ，b= ;
（3）在图4的“等和格”方格图中，可得b = .
11.（浦东南片联合体2019期中28）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“贾宪三角（贾宪是北宋时期的数学家）”就是一例. 如图1，这个三角形中的数字给出了（n为正整数）的展开式（按字母a的降幂排列）的系数规律. 例如：如图2，在三角形中第三行的三个数是1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应展开式中的系数.
（1）请根据上面的规律，写出的展开式：
= .
（2）利用上面的规律计算：
= .
12.（青浦教附2019期中27）已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n-m3n2-m-2的次数。请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值。a= ，b= ，c= .
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC. ①t秒钟过后，AC的长度为 (用含t的关系式表示)；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值.
13.（2019宝教院附中10月考34）在长方形ABCD中，AB=3a厘米，BC=a厘米，点P沿AB边从点A开始向终点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向终点A以1厘米/秒的速度移动. 如果P、Q用时出发，用t（秒）表示移动的时间. 试解决下列问题：
（1）用含有a、t的代数式表示三角形APC的面积；
（2）求三角形PQC的面积（用含有a、t的代数式表示）.
14.（2019上师二附10月29）一个三位数，百位数是a，十位数是b，个位数是c，我们可以记作，表示，例如，仿照上面的例子，
（1）425可以用 表示；
（2）43078可以用 表示；
（3）欧阳老师给4为同学玩一个数字游戏，先请A同学心里想一个三位数，并把这个三位数在纸上写两遍构成一个六位数交给B同学，如他心里想的是789，那么他在纸上写的就是789789，B把这个六位数除以7，得到的商写在另一张纸上并交给C同学，C同学把B同学给他的数字除以11，得到的商写在另一张纸上并交给D同学，D同学把C同学给他的数字除以13，得到的商写在另一张纸上，并交还给A同学，还给A同学的数字和他刚开始想的数字有什么关系？并说明理由．
15.(2019进才北10月26)定义：m时不为1的有理数，我们把称为m的差倒数。如：2的差倒数是..-1的差倒数是.已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…,以此类推， _________.
16.(2019进才北10月27)小丽是个爱思考的学生，最近，她发现一些特殊的两位数乘法，如21x29=609：23x27=621：31x39=1209：52 x 58=3016…其因数和计算结果都存在一定的规律，（1）试写出一个与上述算式具有同样特征的算式 .
（2）为了反映上述规律，如果设其中一个因数十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么该因数可表示为 ，另一个因数可表示为 ，计算结果可表示为 ，从而上述算式的特征和规律可用一个等式表示为 .
（3）试运用你所学的知识说明（2）中写出的等式是正确的。
17.(2019闵行区期中28)阅读下列材料，并解决后面的问题.
材料：一般地，n个相同的因数相乘：记为. 若，则n叫做以a为底b的对数，记作（即）. 例如：，此时3叫做以2为底8的对数，记作（即）；又如：，则4叫做以3为底81的对数，记作（即）. 问题：
（1）计算以下各对数的值：= ，= ，= ；
（2）、、之间满足怎样的关系式： ;
（3）由（2）的结果，你能猜测出一个一般化的结论吗？
猜测：
（4）设，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性.
18.（普陀区2019期中6）观察下列等式，探究其中的规律：
；；；
；…
（1）根据上面等式的规律可得：（其中n是正整数）
= ；
= ；
（2）根据（1）小题的规律计算：.
19.（松江部分校2019期中28）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
④ ；⑤ ；
（2）根据上面算式的规律，请计算：1+3+5+…+99= ;
（3）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.
20.（徐汇西南模2019期中27）已知，如图，四边形ABCD是梯形，AB、CD相互平行，在AB上有两点E和F，此时四边形DCFE恰好是正方形，已知CD＝a，AD＝a+ab2，BC＝a+2ab2，（单位：米）其中a＞0，1＜b2＜4，现有甲乙两只妈蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着A﹣D﹣C﹣F﹣A的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着B﹣C﹣D﹣E﹣B的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是（米/秒），乙的速度是(米/秒)．
（1）用含a、b的代数式表示：
①甲走到点C时，用时 秒；
②当甲走到点C时，乙走了 米；
③当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是 平方米；
④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时 秒．
（2）它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由．
21.（2019西延中10月考26）阅读下列例题的解题过程，再解答下面问题.
例题：已知，求的值.
解：=.
问题：（1）已知，求的值.
（2）已知，求的值.
22.（黄浦卢湾2020期末26）若 x 满足 (9−x)(x−4)=4， 求 (4−x)2+(x−9)2 的值.
设 9−x=a，x−4=b， 则 (9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5 ，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若 x 满足 (5−x)(x−2)=2， 求 (5−x)2+(x−2)2 的值
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x ， E ， F 分别是 AD 、 DC 上的点，且 AE=1 ， CF=3 ，长方形 EMFD 的面积是 48 ，分别以 MF 、 DF 作正方形，求阴影部分的面积.
23. (2019西南模10月29)阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题
【阅读材料】
对于多项式，我们把带入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把带入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后带入，就可以把多项式因式分解.
【解决问题】
（1）求式子中的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式.
24. (2019西南模10月30)如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形，分别将他们按照图①和图②的形式摆放，
（1） 用含有的代数式分别表示阴影面积：
， .
（2） 若，求的值；
（3） 若，，，求出图③中的阴影部分面积.
25.（2019青浦教附10月28）阅读理解：
已知x3-8有一个因式x-2，我们可以用如下方法对x3-8进行因式分解.
解：设x3-8=(x-2)(x2+ax+b)
因为 (x-2)(x2+ax+b)=x3+(a-2)x2+(b-2a)x-2b
所以 a-2=0，且b-2a=0，且-2b=-8
所以 a=2，且b=4
所以 x3-8=(x-2)(x2+2x+4)
这种分解因式的方法叫做待定系数法.
（1）已知x3+27有一个因式x+3，用待定系数法分解：x3+27.
（2）观察上述因式分解，直接写出答案：
因式分解：a3+b3= ；
a3-b3= .
26.（浦东四署2020期中26）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题. 例如：若，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以=7. 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）填空：①若，则= ;
②若，则= .
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
27.（崇西学区2019期中32）阅读理解： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式. 但对于二次三项式，就不能直接运用公式了. 此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
====，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
请利用“配方法”进行因式分解：
（1）；
（2）；
28.（2019徐汇中学10月考32）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为ａ厘米，宽为１厘米的长方形；C型：边长为１厘米的正方形．
（１）A型２块，B型４块，C型４块，此时纸板的总面积为 平方厘米；
①从这10块纸板中拿掉１块A型纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米；
②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）
（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为 .
29.（浦东四署2019期中26）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸.
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形.
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 .（直接写出答案）
30.（张江2019期中35）已知：，，，求的值．
11.（奉贤2019期中29）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：，按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
①= ；（只填最后结果）
②当x= 时，；（只填最后结果）
③将下面式子进行因式分解：.（写出解题过程）
31.（长宁延中2019期中33）如果正整数x能够写成两个正整数a与b的和与它们的乘积之和，即x=a+b+ab,那么x叫做“和谐数”，其中a+b+ab叫做x的“表达式”。例如，因为5=1+2+1×2，24=4+4+4×4，所以5与24都是“和谐数”.
(1)3与20都是“和谐数”，请分别写出它们的“表达式”：
3= 20=
(2)如果正偶数y是两位数且y是“和谐数”，那么y的最小值是 ;
(3)在小于20的正整数中，“和谐数”共有 个；
(4)如果“和谐数”x=a+b+ab,其中a=n²,b=(n+1)²，n是正整数，请说明“和谐数”x是一个完全平方数.
32.（张江2019期中36）已知：，，，设，，，……，
（1）计算___________，____________，____________
（2）写出，，，四者之间的关系，并证明你的结论．
（3）根据（2）的结论，直接写出的值是_____________
33.（长宁延中2020期末30）已知，求的值.
34.（闵行莘松2020期中28）已知，求的值.
35.（上中东2021期末26） 阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式工整除问题时颇为有效，现举例说明.
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：===.
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式.
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x= .
36.（浦东四署2020期末27）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一. 所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.
例：已知：，求代数式的值.
解：因为，所以即，所以.
根据材料回答问题（直接写出答案）：
（1），则= .
（2）解分式方程组，解得方程组的解为 .
37.（浦东南十六校2020期末27）计算： ．
．
．
38.（浦东部分校2020期末26）先阅读材料：
已知不论x取什么值，代数式的值都相同，求a的值.
解：因为不论x取什么值，代数式的值都相同. 所以不妨分别取x=0和x=1, 当x=0时，= - 2a+5; 当x=1时，= - a+3，因为-2a+5=-a+3，解得a=2.
根据上述材料提供的方法，解决下列问题：
（1）已知不论x取什么值，代数式的值都相同，那么a与b应满足怎样的等量关系？
（2）已知不论x取什么值，等式永远成立，求k的值.
39.（2020浦东四署12月26）对于正数x，规定：.
例如：.
（1）填空：= ；= ；= ；
（2）猜想：= ，并证明你的结论；
（3）求值：.
40.（奉贤十二校2021期末28）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，（b＞a＞0），将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△A1BC1．
（1）画出△A1BC1．
（2）将△ABC沿射线CB方向平移，平移后得△A2B2C2．
①当平移距离等于a（点C2和点B重合）时，求四边形A1A2C2B2的面积．（用a，b的代数式表示）
②若a＝1，b＝2，当△A1A2C2的面积和△A1C2B2的面积相等时，平移距离多少？（直接写出答案）
41.（奉贤区五校2021期末28）如图，正方形ABCD的边长为4cm,等腰直角三角形EFG在正方形ABCD的左侧，边EF与AB在一条直线上，且点A和点F重合，∠FEG=90°，EF=EG=4cm.
(1)当三角形EFG向右平移1cm时，两图形重叠部分面积为_______cm2；
(2) 当三角形EFG向右平移7cm时，两图形重叠部分面积为_______cm2；
(3)当三角形EFG向右平移x(cm)时，两图形重叠部分面积表示为S(cm2),用含x的代数式表示S,并写出x满足的条件.
42.（浦东2021期末29）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点（与A、B两点不重合），将绕点C旋转，使CB与CD重合，这时点E落在点F处，联结EF. （1）按照题目要求画出图形；
（2）若正方形边长为3，BE=1，求的面积；
（3）若正方形边长为m，BE=n，比较与的面积大小，并说明理由.
43.（浦东新区2021期末28）是一块含有角的直角三角板，四边形DEFG是正方形，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，BC=12，DG=4. 现在将正方形DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，正方形与直角三角板的重叠面积为S. （1）当平移的距离d= 时，正方形DEFG恰好完全移出三角板；
（2）当平移的距离d=2时，正方形与直角三角板的重叠面积为S= ;
当平移的距离d=5时，正方形与直角三角板的重叠面积为S= ；
（3）在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应d的取值范围.
44.（川中南2020期末29）如图1，，，,把绕点以每秒的速度逆时针方向旋转一周，同时绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，当停止旋转时也随之停止旋转.设旋转后的两个角分别记为、，旋转时间为秒.
（1）如图2，直线垂直于，将沿直线翻折至，请你直接写出的度数，不必说明理由；
（2）如图1，在旋转过程中，若射线与重合时，求的值；
（3）如图2，在旋转过程中，当时，直接写出的值，不必说明理由.
45.（黄浦卢湾2020期末27）如图1，长方形纸片ABCD的两条边AB、BC的长度分别为、，小明它沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，点A、B、D、E在同一条直线上，且点B与点D重合，点B、F、C也在同一条直线上．
（1）将图3中的△ABC沿射线AE方向平移，使点B与点E重合，点A、C分别对应点M、N，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含或的代数式表示）
（2）将图3中的△DEF绕点B逆时针方向旋转60°，点E、F分别对应点P、Q，按要求画出图形，并直接写出∠ABQ的度数；
（3）将图3中的△ABC沿BC所在直线翻折，点A落在点G处，按要求画出图形，并直接写出GE的长度．（用含、的代数式表示）
46.（黄浦立达2020期末26）作图并回答下列问题
已知方格图中每一小格单位长度为1cm，长方形ABCD的顶点都在方格的顶点上，将长方形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到四边形AB1C1D1.
（1）画出四边形AB1C1D1
（2）如果将四边形AB1C1D1沿射线AB方向向右平移x cm，
①当线段C1D1在线段AD的左侧时，用含x的代数式表示四边形AB1C1D1与长方形ABCD重叠部分的面积S.
②若四边形AB1C1D1与长方形ABCD重叠部分的面积为4.5 cm2时，求x的值.
47.（嘉定区2020期末28）如图，在一个10×10的正方形网格中有一个△ABC.
（1）在网格中画出△ABC向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC绕点P逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）在（1）（2）的画图基础上，联结B1C2、A2C1，若小正方形的单位长度为1，请求出四边形A2C2B1C1的面积.
48.（闵行区2020期末28）如图，已知是直角三角形，其中，AB=13，BC=12，AC=5.
（1）画出绕点顺时针方向旋转后的；
（2）线段在旋转过程中所扫过部分的周长是_________（保留）；
（3）求线段在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留）.
49.（浦东南十六校2020期末26）在长方形纸片中，，.
（1）当时，如图（a）所示，将长方形纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕为，如图（b）所示.此时，图（b）中线段长是 厘米.
（2）若厘米，先将长方形纸片按问题（1）的方法折叠，再将沿向右翻折，使点落在射线上，记作点.若翻折后的图形中，线段，请根据题意画出图形（草图），并求出的值.
50.（长宁延中2020期末32）在中，点在边上，联结.
如图，将沿着翻折，点的对应点是点，若平分，则的值等于 ；
若.将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点的对应点分别是点，则的面积等于 .
51.（2019复旦二附12月27）已知，如图：在△ABC中，AC=3,BC=6,∠C=60;
(1)将△ABC绕着点C旋转，使点A落在直线BC上的点A′,点B落在B′，在下图中画出旋转后的△A′B′C.
(2)直接写出A′B的长，A′B=___________.
52.（崇明区2020期末27）如图（1），已知中，，BC=a，AC=b，将绕点A逆时针旋转90°得到.
（1）联结，请直接写出是 三角形，并求出的面积.（用含字母a、b的代数式表示）
（2）将向左平移，使点与点A重合，点落在AC边上，标记为，A点平移后的对应点标记为，请在图（2）中画出平移后的图形，联结、.如果AB=3，求四边形的面积.
53.（静安区2020期末28）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，AE＝a，BE=b.
（1）将绕点D旋转，使DA与DC重合，点E落在点F处，画出；
（2）联结EF，求出的面积.(结果用含a、b的代数式表示)
54.（普陀区2020期末28）如图，已知正方形ABCD，点M是线段CB延长线上一点，联结AM，AB=a，BM=b.
（1）将线段AM沿着射线AD方向平移，使得点A与点D重合. 用代数式表示线段AM扫过平面部分的面积 .（直接写出答案）
（2）将三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N，联结MN. 用代数式表示三角形CMN的面积 .（直接写出答案）
（3）将三角形ABM顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外）. 请在下图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角.
上海期末解答精选50题（压轴版）
1．（2018·上海同济大学附属存志学校七年级期末）在长方形中，，现将长方形向上平移，再向左平移后到长方形的位置(的对应点为，其它类似)．
当时，请画出平移后的长方形，并求出长方形与长方形的重叠部分的面积．
当满足什么条件时，长方形与长方形有重叠部分(边与边叠合不算在内)，请用的代数式表示重叠部分的面积．
在平移的过程中，总会形成一个六边形，试用来表示六边形的面积．
2．（2018·上海民办兰生复旦中学七年级期末）因式分解：
3．（2020·上海宝山·七年级期末）已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．
（1）当，时，求线段FD的长度；
（2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值；
（3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值．
4．（2018·上海奉贤·七年级期末）如图，正方形，点是线段延长线一点，连结，，
（1）将线段沿着射线运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积.
（2）将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积.
（3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角
5.（2019宝山实验10月考27）已知：，求.
6.（2019杨浦控江10月26）已知多项式，多项式.当x=1时，多项式A和B的值分别为4和2，求当x=-1时，多项式A的值.
7.（松江2019期中29）某商品1998年比1997年涨价5%，1999年又比1998年涨价10%，2000年比1999年降价12%. 那么2000年与1997年相比是涨价还是降价？涨价或降价的百分比是多少？
8.（闵行区2020期末27）阅读下述材料，尝试解决问题
数学是一门充满思维乐趣的学科，现有一个的数阵，数阵中每个位置对应的数都是1，2或3. 定义为数阵中第行、第列的数. 例如，数阵第3行、第2列所对应的数是3，所以.
（1）对于数阵，的值为_________；若，则的值为_________.
（2）若一个的数阵对任意的均满足以下条件：
条件一：；
条件二：；则称这个数阵是“有趣的”.
已知一个“有趣的”数阵满足，试计算的值.
9.（张江2019期中34）若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．
（Ⅰ）求b的取值范围；
（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．
10.（川中南2019期中28）28.在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”. 如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.
（1）在图2的“等和格”方格图中，可得a= .（用含b的代数式表示）；
（2）在图3的“等和格”方格图中，可得a= ，b= ;
（3）在图4的“等和格”方格图中，可得b = .
11.（浦东南片联合体2019期中28）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“贾宪三角（贾宪是北宋时期的数学家）”就是一例. 如图1，这个三角形中的数字给出了（n为正整数）的展开式（按字母a的降幂排列）的系数规律. 例如：如图2，在三角形中第三行的三个数是1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应展开式中的系数.
（1）请根据上面的规律，写出的展开式：
= .
（2）利用上面的规律计算：
= .
12.（青浦教附2019期中27）已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n-m3n2-m-2的次数。请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值。a= ，b= ，c= .
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC. ①t秒钟过后，AC的长度为 (用含t的关系式表示)；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值.
13.（2019宝教院附中10月考34）在长方形ABCD中，AB=3a厘米，BC=a厘米，点P沿AB边从点A开始向终点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向终点A以1厘米/秒的速度移动. 如果P、Q用时出发，用t（秒）表示移动的时间. 试解决下列问题：
（1）用含有a、t的代数式表示三角形APC的面积；
（2）求三角形PQC的面积（用含有a、t的代数式表示）.
14.（2019上师二附10月29）一个三位数，百位数是a，十位数是b，个位数是c，我们可以记作，表示，例如，仿照上面的例子，
（1）425可以用 表示；
（2）43078可以用 表示；
（3）欧阳老师给4为同学玩一个数字游戏，先请A同学心里想一个三位数，并把这个三位数在纸上写两遍构成一个六位数交给B同学，如他心里想的是789，那么他在纸上写的就是789789，B把这个六位数除以7，得到的商写在另一张纸上并交给C同学，C同学把B同学给他的数字除以11，得到的商写在另一张纸上并交给D同学，D同学把C同学给他的数字除以13，得到的商写在另一张纸上，并交还给A同学，还给A同学的数字和他刚开始想的数字有什么关系？并说明理由．
15.(2019进才北10月26)定义：m时不为1的有理数，我们把称为m的差倒数。如：2的差倒数是..-1的差倒数是.已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…,以此类推， _________.
16.(2019进才北10月27)小丽是个爱思考的学生，最近，她发现一些特殊的两位数乘法，如21x29=609：23x27=621：31x39=1209：52 x 58=3016…其因数和计算结果都存在一定的规律，（1）试写出一个与上述算式具有同样特征的算式 .
（2）为了反映上述规律，如果设其中一个因数十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么该因数可表示为 ，另一个因数可表示为 ，计算结果可表示为 ，从而上述算式的特征和规律可用一个等式表示为 .
（3）试运用你所学的知识说明（2）中写出的等式是正确的。
17.(2019闵行区期中28)阅读下列材料，并解决后面的问题.
材料：一般地，n个相同的因数相乘：记为. 若，则n叫做以a为底b的对数，记作（即）. 例如：，此时3叫做以2为底8的对数，记作（即）；又如：，则4叫做以3为底81的对数，记作（即）. 问题：
（1）计算以下各对数的值：= ，= ，= ；
（2）、、之间满足怎样的关系式： ;
（3）由（2）的结果，你能猜测出一个一般化的结论吗？
猜测：
（4）设，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性.
18.（普陀区2019期中6）观察下列等式，探究其中的规律：
；；；
；…
（1）根据上面等式的规律可得：（其中n是正整数）
= ；
= ；
（2）根据（1）小题的规律计算：.
19.（松江部分校2019期中28）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
④ ；⑤ ；
（2）根据上面算式的规律，请计算：1+3+5+…+99= ;
（3）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.
20.（徐汇西南模2019期中27）已知，如图，四边形ABCD是梯形，AB、CD相互平行，在AB上有两点E和F，此时四边形DCFE恰好是正方形，已知CD＝a，AD＝a+ab2，BC＝a+2ab2，（单位：米）其中a＞0，1＜b2＜4，现有甲乙两只妈蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着A﹣D﹣C﹣F﹣A的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着B﹣C﹣D﹣E﹣B的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是（米/秒），乙的速度是(米/秒)．
（1）用含a、b的代数式表示：
①甲走到点C时，用时 秒；
②当甲走到点C时，乙走了 米；
③当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是 平方米；
④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时 秒．
（2）它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由．
21.（2019西延中10月考26）阅读下列例题的解题过程，再解答下面问题.
例题：已知，求的值.
解：=.
问题：（1）已知，求的值.
（2）已知，求的值.
22.（黄浦卢湾2020期末26）若 x 满足 (9−x)(x−4)=4， 求 (4−x)2+(x−9)2 的值.
设 9−x=a，x−4=b， 则 (9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5 ，
∴(9−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×4=13
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若 x 满足 (5−x)(x−2)=2， 求 (5−x)2+(x−2)2 的值
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x ， E ， F 分别是 AD 、 DC 上的点，且 AE=1 ， CF=3 ，长方形 EMFD 的面积是 48 ，分别以 MF 、 DF 作正方形，求阴影部分的面积.
23. (2019西南模10月29)阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题
【阅读材料】
对于多项式，我们把带入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把带入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后带入，就可以把多项式因式分解.
【解决问题】
（1）求式子中的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式.
24. (2019西南模10月30)如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形，分别将他们按照图①和图②的形式摆放，
（1） 用含有的代数式分别表示阴影面积：
， .
（2） 若，求的值；
（3） 若，，，求出图③中的阴影部分面积.
25.（2019青浦教附10月28）阅读理解：
已知x3-8有一个因式x-2，我们可以用如下方法对x3-8进行因式分解.
解：设x3-8=(x-2)(x2+ax+b)
因为 (x-2)(x2+ax+b)=x3+(a-2)x2+(b-2a)x-2b
所以 a-2=0，且b-2a=0，且-2b=-8
所以 a=2，且b=4
所以 x3-8=(x-2)(x2+2x+4)
这种分解因式的方法叫做待定系数法.
（1）已知x3+27有一个因式x+3，用待定系数法分解：x3+27.
（2）观察上述因式分解，直接写出答案：
因式分解：a3+b3= ；
a3-b3= .
26.（浦东四署2020期中26）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题. 例如：若，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以=7. 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）填空：①若，则= ;
②若，则= .
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
27.（崇西学区2019期中32）阅读理解： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式. 但对于二次三项式，就不能直接运用公式了. 此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
====，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
请利用“配方法”进行因式分解：
（1）；
（2）；
28.（2019徐汇中学10月考32）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为ａ厘米，宽为１厘米的长方形；C型：边长为１厘米的正方形．
（１）A型２块，B型４块，C型４块，此时纸板的总面积为 平方厘米；
①从这10块纸板中拿掉１块A型纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米；
②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？（计算说明）
（2）A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出三个相同形状的大正方形，则大正方形的边长为 .
29.（浦东四署2019期中26）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸.
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形.
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 .（直接写出答案）
30.（张江2019期中35）已知：，，，求的值．
11.（奉贤2019期中29）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：，按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
①= ；（只填最后结果）
②当x= 时，；（只填最后结果）
③将下面式子进行因式分解：.（写出解题过程）
31.（长宁延中2019期中33）如果正整数x能够写成两个正整数a与b的和与它们的乘积之和，即x=a+b+ab,那么x叫做“和谐数”，其中a+b+ab叫做x的“表达式”。例如，因为5=1+2+1×2，24=4+4+4×4，所以5与24都是“和谐数”.
(1)3与20都是“和谐数”，请分别写出它们的“表达式”：
3= 20=
(2)如果正偶数y是两位数且y是“和谐数”，那么y的最小值是 ;
(3)在小于20的正整数中，“和谐数”共有 个；
(4)如果“和谐数”x=a+b+ab,其中a=n²,b=(n+1)²，n是正整数，请说明“和谐数”x是一个完全平方数.
32.（张江2019期中36）已知：，，，设，，，……，
（1）计算___________，____________，____________
（2）写出，，，四者之间的关系，并证明你的结论．
（3）根据（2）的结论，直接写出的值是_____________
33.（长宁延中2020期末30）已知，求的值.
34.（闵行莘松2020期中28）已知，求的值.
35.（上中东2021期末26） 阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式工整除问题时颇为有效，现举例说明.
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：===.
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式.
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x= .
36.（浦东四署2020期末27）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一. 所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.
例：已知：，求代数式的值.
解：因为，所以即，所以.
根据材料回答问题（直接写出答案）：
（1），则= .
（2）解分式方程组，解得方程组的解为 .
37.（浦东南十六校2020期末27）计算： ．
．
．
38.（浦东部分校2020期末26）先阅读材料：
已知不论x取什么值，代数式的值都相同，求a的值.
解：因为不论x取什么值，代数式的值都相同. 所以不妨分别取x=0和x=1, 当x=0时，= - 2a+5; 当x=1时，= - a+3，因为-2a+5=-a+3，解得a=2.
根据上述材料提供的方法，解决下列问题：
（1）已知不论x取什么值，代数式的值都相同，那么a与b应满足怎样的等量关系？
（2）已知不论x取什么值，等式永远成立，求k的值.
39.（2020浦东四署12月26）对于正数x，规定：.
例如：.
（1）填空：= ；= ；= ；
（2）猜想：= ，并证明你的结论；
（3）求值：.
40.（奉贤十二校2021期末28）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，（b＞a＞0），将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△A1BC1．
（1）画出△A1BC1．
（2）将△ABC沿射线CB方向平移，平移后得△A2B2C2．
①当平移距离等于a（点C2和点B重合）时，求四边形A1A2C2B2的面积．（用a，b的代数式表示）
②若a＝1，b＝2，当△A1A2C2的面积和△A1C2B2的面积相等时，平移距离多少？（直接写出答案）
41.（奉贤区五校2021期末28）如图，正方形ABCD的边长为4cm,等腰直角三角形EFG在正方形ABCD的左侧，边EF与AB在一条直线上，且点A和点F重合，∠FEG=90°，EF=EG=4cm.
(1)当三角形EFG向右平移1cm时，两图形重叠部分面积为_______cm2；
(2) 当三角形EFG向右平移7cm时，两图形重叠部分面积为_______cm2；
(3)当三角形EFG向右平移x(cm)时，两图形重叠部分面积表示为S(cm2),用含x的代数式表示S,并写出x满足的条件.
42.（浦东2021期末29）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点（与A、B两点不重合），将绕点C旋转，使CB与CD重合，这时点E落在点F处，联结EF. （1）按照题目要求画出图形；
（2）若正方形边长为3，BE=1，求的面积；
（3）若正方形边长为m，BE=n，比较与的面积大小，并说明理由.
43.（浦东新区2021期末28）是一块含有角的直角三角板，四边形DEFG是正方形，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，BC=12，DG=4. 现在将正方形DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，正方形与直角三角板的重叠面积为S. （1）当平移的距离d= 时，正方形DEFG恰好完全移出三角板；
（2）当平移的距离d=2时，正方形与直角三角板的重叠面积为S= ;
当平移的距离d=5时，正方形与直角三角板的重叠面积为S= ；
（3）在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应d的取值范围.
44.（川中南2020期末29）如图1，，，,把绕点以每秒的速度逆时针方向旋转一周，同时绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，当停止旋转时也随之停止旋转.设旋转后的两个角分别记为、，旋转时间为秒.
（1）如图2，直线垂直于，将沿直线翻折至，请你直接写出的度数，不必说明理由；
（2）如图1，在旋转过程中，若射线与重合时，求的值；
（3）如图2，在旋转过程中，当时，直接写出的值，不必说明理由.
45.（黄浦卢湾2020期末27）如图1，长方形纸片ABCD的两条边AB、BC的长度分别为、，小明它沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，点A、B、D、E在同一条直线上，且点B与点D重合，点B、F、C也在同一条直线上．
（1）将图3中的△ABC沿射线AE方向平移，使点B与点E重合，点A、C分别对应点M、N，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含或的代数式表示）
（2）将图3中的△DEF绕点B逆时针方向旋转60°，点E、F分别对应点P、Q，按要求画出图形，并直接写出∠ABQ的度数；
（3）将图3中的△ABC沿BC所在直线翻折，点A落在点G处，按要求画出图形，并直接写出GE的长度．（用含、的代数式表示）
46.（黄浦立达2020期末26）作图并回答下列问题
已知方格图中每一小格单位长度为1cm，长方形ABCD的顶点都在方格的顶点上，将长方形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到四边形AB1C1D1.
（1）画出四边形AB1C1D1
（2）如果将四边形AB1C1D1沿射线AB方向向右平移x cm，
①当线段C1D1在线段AD的左侧时，用含x的代数式表示四边形AB1C1D1与长方形ABCD重叠部分的面积S.
②若四边形AB1C1D1与长方形ABCD重叠部分的面积为4.5 cm2时，求x的值.
47.（嘉定区2020期末28）如图，在一个10×10的正方形网格中有一个△ABC.
（1）在网格中画出△ABC向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC绕点P逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）在（1）（2）的画图基础上，联结B1C2、A2C1，若小正方形的单位长度为1，请求出四边形A2C2B1C1的面积.
48.（闵行区2020期末28）如图，已知是直角三角形，其中，AB=13，BC=12，AC=5.
（1）画出绕点顺时针方向旋转后的；
（2）线段在旋转过程中所扫过部分的周长是_________（保留）；
（3）求线段在旋转过程中所扫过部分的面积（结果保留）.
49.（浦东南十六校2020期末26）在长方形纸片中，，.
（1）当时，如图（a）所示，将长方形纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕为，如图（b）所示.此时，图（b）中线段长是 厘米.
（2）若厘米，先将长方形纸片按问题（1）的方法折叠，再将沿向右翻折，使点落在射线上，记作点.若翻折后的图形中，线段，请根据题意画出图形（草图），并求出的值.
50.（长宁延中2020期末32）在中，点在边上，联结.
如图，将沿着翻折，点的对应点是点，若平分，则的值等于 ；
若.将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点的对应点分别是点，则的面积等于 .
51.（2019复旦二附12月27）已知，如图：在△ABC中，AC=3,BC=6,∠C=60;
(1)将△ABC绕着点C旋转，使点A落在直线BC上的点A′,点B落在B′，在下图中画出旋转后的△A′B′C.
(2)直接写出A′B的长，A′B=___________.
52.（崇明区2020期末27）如图（1），已知中，，BC=a，AC=b，将绕点A逆时针旋转90°得到.
（1）联结，请直接写出是 三角形，并求出的面积.（用含字母a、b的代数式表示）
（2）将向左平移，使点与点A重合，点落在AC边上，标记为，A点平移后的对应点标记为，请在图（2）中画出平移后的图形，联结、.如果AB=3，求四边形的面积.
53.（静安区2020期末28）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，AE＝a，BE=b.
（1）将绕点D旋转，使DA与DC重合，点E落在点F处，画出；
（2）联结EF，求出的面积.(结果用含a、b的代数式表示)
54.（普陀区2020期末28）如图，已知正方形ABCD，点M是线段CB延长线上一点，联结AM，AB=a，BM=b.
（1）将线段AM沿着射线AD方向平移，使得点A与点D重合. 用代数式表示线段AM扫过平面部分的面积 .（直接写出答案）
（2）将三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N，联结MN. 用代数式表示三角形CMN的面积 .（直接写出答案）
（3）将三角形ABM顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外）. 请在下图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角.
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