考点08一次函数及应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

这是一份考点08一次函数及应用（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版），共16页。试卷主要包含了正比例函数和一次函数的概念，一次函数的图像等内容，欢迎下载使用。

考点08一次函数及应用
考点总结
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
k，b与函数图象所在象限：
y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是是一条经过原点的直线)
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b（k,b为常数，k≠0）时：
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限；
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
4、一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积
直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，b）;直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S△=｜｜·｜b｜=.

真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•南通）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】根据点P在AD，DC，BC上分三种情况，将面积表示成t的函数，即可确定对应的函数图象．
【解答】解：∵AD=AE2+DE2=122+52=13，
∴AB＞AD，
∴点P先到D，
当0≤t＜13时，
过点P作PH⊥AB于H，
则PHAP=PHt=1213，
∴PH=1213t，
∴S△AQP=12×t×1213t=613t2，
∴图象开口向上，
∴A，C不符合题意，
当18＜t＜31时，点P在BC上，
∴S△AQP=12×15×1213×(31−t)=−9013t+279013，
只有D选项符合题意，
故选：D．
2．（2021•常州）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设y2（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则y2随t变化的图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】根据商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化图分析得出y2随t变化的规律即可求出答案．
【解答】解：由商品的价格y1（元/件）随时间t（天）的变化图得：商品的价格从5增长到15，然后保持15不变，一段时间后又下降到5，
∴第1天到第t天该商品的平均价格变化的规律是先快后慢的增长，最后又短时间下降，但是平均价格始终小于15．
故选：A．
3．（2021•无锡）函数y=1x−2中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≠2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故选：A．
4．（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】先用t的代数式表示出两个扇形的半径，根据扇形的弧长等于底面圆的周长求出两个圆锥底面圆的半径，最后列出两个圆锥底面积之和关于t的函数关系式，根据关系式即可判断出符合题意的函数图形．
【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，
∴CD＝10﹣1﹣1＝8，
∵PC＝t，
∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，
设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：
2πr=60180π⋅(t+1)；2πR=60180π⋅(9−t)．
解得：r=t+16，R=9−t6，
∴两个圆锥的底面面积之和为S=π(t+16)2+π(9−t6)2
=π36(t2+2t+1)+π36(t2−18t+81)
=π18(t2−8t+41)，
根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．
故选：D．
5．（2021•苏州）已知点A（2，m），B（32，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
【分析】根据点A（2，m），B（32，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，可以求得m、n的值，然后即可比较出m、n的大小，本题得以解决．
【解答】解：∵点A（2，m），B（32，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，
∴m＝22+1，n＝2×32+1＝3+1＝4，
∵22+1＜4，
∴m＜n，
故选：C．
6．（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（　　）

A．6+2 B．32 C．2+3 D．3+2
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y=2，令y＝0，则x=−2，
则A（−2，0），B（0，2），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=(2)2+(2)2=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+x=3x，
解得：x=3+1，
∴AC=2x=2（3+1）=6+2，
故选：A．
7．（2021•高邮市二模）已知函数y＝kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是（　　）
x
…
﹣2
﹣1
1
…
y
…
5
3
﹣1
…
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】首先根据表格数据可得当y＝5，x＝﹣2，即y＝kx+b＝5时，x＝﹣2，进而利用函数解析式求出y＝5时x的值即可．
【解答】解：∵当y＝5，x＝﹣2，
∴当y＝kx+b＝5时，自变量x＝﹣2，
∴关于x的方程kx+b﹣5＝0的解是x＝﹣2，
故选：B．
8．（2021•姑苏区校级一模）如图，甲、丙两地相距400km，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线A﹣B﹣C﹣D表示两车之间的距离y（km）与慢车行驶的时间x（h）之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（　　）

A．甲、乙两地之间的距离为100km
B．快车从甲地驶到丙地共用了2.5h
C．快车速度是慢车速度的1.5倍
D．快车到达丙地时，慢车距丙地还有1003km
【分析】A．因为两车同时出发，同向而行，所以A点就是甲、乙两地之间的距离为100km；
B．由A点为两车的路程差，相遇时间为2小时，可知：快车速度﹣慢车速度＝100÷2＝50（km/h），再由点D可知慢车3h从乙地到达丙地；由此求出慢车速度，进一步求出快车速度，进而得出快车从甲地驶到丙地所用时间；
C．通过求出列出的速度判断即可；
D．根据“路程＝速度×时间”即可．
【解答】解：∵点A（0，100），
∴甲、乙两地之间的距离为100km，故A说法正确，不符合题意；
∵B点纵坐标为y＝0，即快慢两车的距离为0，
∴B点表示2h时，快车追上慢车，
∵慢车速度：（400﹣100）÷3＝100（km/h），快车速度：100+100÷2＝150（km/h），
∴快车速度是慢车速度的1.5倍；故C说法正确，不符合题意；
∵快车速度是150km/h，
∴快车从甲地驶到丙地共用了400÷150=83（h），故B说法错误，符合题意；
∵两车同时出发，同向而行，
∴慢车距丙地的距离为：（400﹣100）−83×100=1003（km），故D说法正确，不符合题意；
故选：B．
9．（2021•沭阳县模拟）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，则四边形PCDQ面积的最大值为（　　）

A．9314 B．3+372 C．31316 D．72+392
【分析】设AQ＝x，根据四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP，构建一次函数，利用一次函数的性质求出最大值即可．
【解答】解：设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP=34×32−12×x×32×12−12×3×（3﹣x−12）×32=338+538x，
∵x的最大值为3−12=52，
∴x=52时，四边形PCDQ的面积最大，最大值=31316，
故选：C．
10．（2021•丹阳市二模）当1≤x≤2时，关于x的一次函数y＝kx+2（k＜0）的最大值是（　　）
A．k+2 B．2k+2 C．2k﹣2 D．k﹣2
【分析】利用一次函数的性质可得当x＝1时，y最大，然后可得答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2中k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵1≤x≤2，
∴当x＝1时，y最大＝k×1+2＝k+2，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•镇江）已知一次函数的图象经过点（1，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 　y＝﹣x+3　．（答案不唯一，写出一个即可）
【分析】由函数值y随自变量x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，取k＝﹣1，由一次函数的图象经过点（1，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2＝﹣1+b，解之即可得出b值，进而可得出符合条件的一次函数表达式．
【解答】解：设一次函数表达式为y＝kx+b．
∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k＜0，取k＝﹣1．
又∵一次函数的图象经过点（1，2），
∴2＝﹣1+b，
∴b＝3，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3．
故答案为：y＝﹣x+3．
12．（2021•南通）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．
时间/分钟
0
5
10
15
20
25
温度/℃
10
25
40
55
70
85
若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是 　52　℃．
【分析】根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升3℃，写出函数关系式，进而把t＝14min代入计算即可．
【解答】解：根据表格中的数据可知温度T随时间t的增加而上升，且每分钟上升3℃，
则关系式为：T＝3t+10，
当t＝14min时，T＝3×14+10＝52（℃）．
故14min时的温度是52℃．
故答案为：52．
13．（2021•淮安）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是 　5　．

【分析】在点B'到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为a+3，再根据△ABC的面积即可列出关于a的方程，求出a即可．
【解答】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化，
根据图象可知B'C'＝a，S△A′B′C′=3，
过点A'作A'H⊥B'C'，
则A'H为△A'B'C'的高，

∵△A'B'C'是等边三角形，
∴∠A'B'H＝60°，
∴sin60°=A′HA′B′=32，
∴A'H=32a，
∴S△A′B′C′=12×32a⋅a=34a2=3，
解得a＝﹣2（舍）或a＝2，
当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，
根据图像可知BC＝a+3＝2+3＝5，
∴△ABC的边长是5，
故答案为5．
14．（2021•泰州）函数y=1x+1中，自变量x的取值范围是 　x≠﹣1　．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，可得答案．
【解答】解：根据题意可得x+1≠0；
解得x≠﹣1；
故答案为x≠﹣1．
15．（2021•南京）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是 　6　．

【分析】由C、D的横坐标求出线段CD的长度，结合中位线的定义和性质，得出OB的长度，从而得到B点的横坐标．
【解答】解：∵边AO，AB的中点为点C、D，
∴CD是△OAB的中位线，CD∥OB，
∵点C，D的横坐标分别是1，4，
∴CD＝3，
∴OB＝2CD＝6，
∴点B的横坐标为6．
故答案为：6．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•南通）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；
去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．
（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；
（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
【分析】（1）根据题意，可以写出两家超市的促销方式下y关于x的函数解析式；
（2）根据题意和（1）中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，当x≤300时，yA＝0.9x；当x＞300时，yA＝0.9×300+0.7（x﹣300）＝0.7x+60，
故yA=0.9x(x≤300)0.7x+60(x＞300)；
当x＞100时，yB＝100+0.8（x﹣100）＝0.8x+20；
yB=x(x≤100)0.8x+20(x＞100)；
（2）由题意，得0.9x＞0.8x+20，解得x＞200，
∴200＜x≤300时，到B超市更省钱；
0.7x+60＞0.8x+20，解得x＜400，
∴300＜x＜400，到B超市更省钱；
0.7x+60＝0.8x+20，解得x＝400，
∴当x＝400时，两家超市一样；
0.7x+60＜0.8x+20，解得x＞400，
∴当x＞400时，到A超市更省钱；
综上所述，当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱．
17．（2021•南京）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；
（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．

【分析】（1）由乙的速度是甲的2倍可得乙1min的路程＝甲2min的路程，即可画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；
（2）设甲的速度是vm/min，乙整个行程所用的时间为tmin，由行程相等列出方程即可求解．
【解答】解：（1）如图：

（2）设甲的速度是vm/min，乙整个行程所用的时间为tmin，
由题意得：2v•t＝（t+1+5）v，
解得：t＝6，
6+1+5＝12（min），
答：甲整个行程所用的时间为12min．
18．（2021•连云港）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【分析】（1）根据2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元；
（2）根据题意，可以写出费用和购买A型消毒液数量的函数关系，然后根据B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的13，可以得到A型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用．
【解答】解：（1）设A型消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元，
2x+3y=415x+2y=53，
解得x=7y=9，
答：A型消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元；
（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（90﹣a）瓶，费用为w元，
依题意可得：w＝7a+9（90﹣a）＝﹣2a+810，
∵k＝﹣2＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的13，
∴90﹣a≥13a，
解得a≤6712，
∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝﹣2×67+810＝676，90﹣a＝23，
答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶，最低费用为676元．