考点04因式分解（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版）

考点04因式分解

考点总结

1.因式分解的概念

因式分解:把一个多项式化为几个单项式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,因式分解与整式乘法互为逆变形.

注意:因式分解分解的是多项式,分解的结果是单项式积的形式.

2.因式分解的方法

公因式:

一个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.

注意:公因式应满足:系数是各项系数的最大公约数,字母取各项相同的字母且相同字母的次数就低不就高.

提公因式法:

一般地,如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式.

注意:提取公因式时,若有一项全部提出,括号内的项应是1,而不是0.

公式法:

平方差公式

完全平方公式

二次三项式型

方法:分解因式时,首先应考虑是否有公因式,如果有公因式,一定要先提取公因式,然后再考虑是否能用公式法分解.

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东诸城·二模）若，则代数式的值是（    ）

A．0 B． C．20 D．

【答案】C

【分析】

由得到，再将分组进行因式分解得到，最后代入求值即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∵

=

∴原式==25-5=20，

故选：C．

2．（2021·山东临沂·一模）下列运算正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据同底数幂的乘法、完全平方公式、利用公式法进行因式分解逐项判断即可得．

【详解】

A、，此项错误，不符题意；

B、，此项错误，不符题意；

C、，此项错误，不符题意；

D、，此项正确，符合题意；

故选：D．

3．（2021·山东·武城县四女寺镇明智中学一模）已知方程组，则的值为（    ）

A．-1 B．0 C．2 D．-3

【答案】D

【分析】

先分别利用加、减法求出x＋y与x−y的值，原式分解后代入计算即可求出值．

【详解】

解：，

①＋②得：，即，

①−②得：，

．

故选：D．

4．（2021·山东巨野·一模）下列四个多项式中，能因式分解的是（    ）

A．a2+1 B．a2-6a+9 C．x2+5y D．x2-5y

【答案】B

【分析】

根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．

【详解】

A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；

B是完全平方公式的形式，故B能分解因式；

故选B．

5．（2020·山东·曲阜师范大学附属中学一模）下列因式分解正确的是（    ）．

A．m2+n2=(m+n)(m-n) B．x2+2x-1=(x-1)2

C．a2+2a+1=a(a+2)+1 D．a2-a=a(a-1)

【答案】D

【分析】

利用提公因式法和完全平方公式分别进行分解即可得出正确答案．

【详解】

A．不能进行因式分解，故本选项错误；

B． ，故本选项错误；

C． 不是两个因式的积的形式，可利用完全平方公式进行分解因式，故本选项错误；

D． ，是正确的因式分解，故本选项符合题意．

故选：D

6．（2020·山东大学附属中学模拟预测）下列因式分解正确的是（    ）

A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） B．﹣x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）

C．a2+2ab+4b2＝（a+2b）2 D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2

【答案】D

【分析】

直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．

【详解】

解：A、原式＝3ax（x﹣2），不符合题意；

B、原式＝（﹣x+y）（x+y），不符合题意；

C、原式不能分解，不符合题意；

D、原式＝﹣a（x﹣1）2，符合题意．

故选：D．

7．（2020·山东淄川·二模）把x2-4x+c分解因式得(x - 1) (x -3)，则c的值为（   ）

A．4 B．3 C．-3 D．-4

【答案】B

【分析】

根据整式的运算法则即可求出c的值．

【详解】

解：（x-1）（x-3）=x2-4x+3
∴c=3
故选：B．

8．（2020·山东滨城·二模）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

因式分解是指将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，本题按照因式分解的定义及其分解方法，逐个选项分析即可．

【详解】

A. ，只将前两项提取公因式了，整体上并不是因式分解，故A不正确；

B. ，故选项B错误；

C. ，是整式的乘法运算，故C不正确；

D. ，正确．

故选：D．

9．（2020·山东安丘·二模）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

对各多项式进行因式分解即可求出答案．

【详解】

解：A、，符合题意；

B、，不符合题意；

C、，不符合题意；

D、，不符合题意；

故选：A

10．（2020·山东郯城·一模）下列因式分解正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据因式分解的运算方法分别判断即可.

【详解】

解：A、无法因式分解，故选项错误；

B、，故选项错误；

C、无法因式分解，故选项错误；

D、，故选项正确；

故选D.

二、填空题

11．（2021·山东菏泽·中考真题）因式分解：______．

【答案】

【分析】

先提取公因式，后采用公式法分解即可

【详解】

∵

=-a

=

故答案为: ．

12．（2021·山东临沂·中考真题）分解因式：2a3﹣8a=________．

【答案】2a（a+2）（a﹣2）

【详解】

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，

．

13．（2021·山东济南·中考真题）因式分解：_____

【答案】

【分析】

a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．

【详解】

解：a2-9=（a+3）（a-3）．

14．（2021·山东东营·中考真题）因式分解：________．

【答案】

【分析】

先提取公因式b，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可．

【详解】

解：

故答案为：

15．（2021·山东威海·中考真题）分解因式：________________．

【答案】

【分析】

先提公因式，再利用平方差公式即可分解．

【详解】

解：．

故答案为：

三、解答题

16．（2021·山东·一模）（1）；

（2）化简：，并从中选取合适的整数代入求值．

【答案】（1）1；（2），1

【分析】

（1）根据负整指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的正弦值解题；

（2）先利用提公因式与公式法法则因式分解，继而计算分式的减法，再计算分式的除法，最后代入一个使得分式有意义的数进行计算即可 ．

【详解】

（1）

=1；

（2）原式

∵，∴且、，

∴在中，可取的整数为、，

当时，原式；

当时，原式．

17．（2021·山东省青岛第二十六中学模拟预测）计算：

【答案】．

【分析】

利用分式的乘除法，结合提公因式、平方差公式进行分解因式，最后根据分式的加减法法则解题即可．

【详解】

解：原式

．

18．（2021·山东城阳·一模）（1）计算；

（2）分解因式；

（3）解方程组；

（4）解不等式组，并写出它的最大整数解．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4），最大整数解为4

【分析】

（1）根据多项式乘法法则运算即可；

（2）先提取公因式，然后利用公式法分解即可；

（3）利用代入消元法求解即可；

（4）先分别求解不等式，然后确定解集中最大整数解即可．

【详解】

（1）原式；

（2）原式；

（3），

由①得：，

将③代入②得，，

解得，，

将代入③得，，

∴原方程组的解为；

（4），

由①得：，

由②得：，

∴原不等式组的解集为：，最大整数解为4．