考点12 平面几何初步及相交线与平行线（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

考点12 平面几何初步及相交线与平行线

考点总结

一、直线、射线、线段

1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；

3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．

2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．

3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．

4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．

5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．

二、角

1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．

2．角平分线

（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线

（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．

3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．   1周角=2平角=4直角=360°．

4．余角和补角

1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．

3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．

5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．

三、相交线

1．三线八角

1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．

∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．

2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：

2．垂直

1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．

2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．

3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．

4．邻补角

1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．

3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．

5．对顶角

1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．

2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．

四、平行线

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

2．平行线的判定

1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．

4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．

3．平行线的性质

1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．

4．平行线间的距离

1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．

2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）如图，OA为北偏东44°方向，∠AOB＝90°，则OB的方向为（　　）

A．南偏东46° B．南偏东44° C．南偏西44° D．北偏东46°

【分析】如解答图，已知∠1＝44°，根据平角减去直角，知道∠1和∠2互余，从而求出∠2的度数，从而得出答案．

【解答】解：如图，

∵∠AOB＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣44°＝46°，

∴OB的方向是南偏东46°，

故选：A．

2．（2021•南皮县一模）如图，在直线l上的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D

【分析】根据图中各点的位置可得答案．

【解答】解：如图，在直线l上的点是点B．

故选：B．

3．（2021•滦南县二模）如图所示的几何体是一个三棱柱，下列各多边形与这个几何体的各面（包括底面）形状不相符的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据从不同方向看几何体的方法解题即可．

【解答】解：根据已知几何体从上下左右前后六个方向分别可以得到几何体的各个面形状可能是三角形、矩形、平行四边形，不可能是梯形，

故选：B．

4．（2021•河北模拟）用图1所示的平面图形可以围成图2所示的正方体，则与A点重合的点是（　　）

A．点B B．点C C．点D D．点E

【分析】根据正方体的平面展开图与正方形的关系，正确找到与A点重合的点即可．

【解答】解：将图1所示的平面图形可以围成图2所示的正方体，则与A点重合的点是点B．

故选：A．

5．（2021•河北模拟）如图，射线OA的方向是北偏西38°，在同一平面内，∠AOB＝82°，则射线OB的方向是（　　）

A．北偏东44° B．北偏西60° 

C．南偏西60° D．A、C都有可能

【分析】根据OA的方向是北偏西38°，在同一平面内∠AOB＝82°即可得到结论．

【解答】解：如图：

∵OA的方向是北偏西38°，

∴∠AOE＝38°，

∵∠AOB＝82°，

∴当射线OB在第一象限时，∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝82°﹣38°＝44°，

即OB的方向是北偏东44°；

∴当射线OB在第三象限时，

∴∠AOD＝90°﹣∠AOE＝90°﹣38°＝52°，

∴∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝82°﹣52°＝30°，

∴∠COB＝90°﹣∠DOB＝90°﹣30°＝60°，

即OB的方向是南偏西60°．

故选：D．

6．（2021•河北一模）如图，有三个小海岛A、B、C，其中海岛C到海岛A的距离为100海里，海岛B在海岛A北偏东70°的方向上，若海岛C在海岛B北偏西20°的方向上，且到海岛B的距离是50海里，则海岛C在海岛A（　　）

A．北偏东20°方向 B．北偏东30°方向 

C．北偏东40°方向 D．北偏西30°方向

【分析】首先根据题意可得∠FAB＝70°和∠CBE＝20°，再利用平行线的性质和直角三角形的性质得出∠CAB＝30°，即可解决问题．

【解答】解：如图，

由题意可得，∠FAB＝70°，∠CBE＝20°，

∵AF∥DE，

∴∠ABD＝∠FAB＝70°，

∴∠ABC＝180°﹣70°﹣20°＝90°，

∵AC＝100，BC＝50，

∴∠BAC＝30°，

∴∠FAC＝70°﹣30°＝40°．

故选：C．

7．（2021•河北模拟）对于题目：“如图1，已知A，B为两个海岛，点B在点A的正东方向，若灯塔C在海岛A北偏东65°的方向上，在海岛B北偏西35°的方向上，请画出灯塔C的位置．”甲、乙两人分别作出了如下解答：

甲：先以A为参照点，作南偏东25°，再以B为参照点，作南偏西65°，画出图形如图2．

乙：先以A为参照点，作东偏北25°，再以B为参照点，作西偏北55°，画出图形如图3．

下列判断正确的是（　　）

A．甲的说法和画图都正确 

B．乙的说法正确，画图错误 

C．乙的说法和画图都正确 

D．甲乙的说法都错误

【分析】根据方向角定义即可进行判断．

【解答】解：根据方向角定义可知：

灯塔C在海岛A北偏东65°的方向上，在海岛B北偏西35°的方向上，画出灯塔C的位置如图3．

故选：D．

8．（2021•路北区一模）如图，能表示点P到直线m的距离的是（　　）的长度．

A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段AC

【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．

【解答】解：∵PB⊥m，

∴能表示点P到直线m的距离的是线段PB的长度．

故选：B．

9．（2021•开平区一模）如图，已知，直线l，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，下列说法正确的是（　　）

A．点A到l的距离是线段AB 

B．点C到点A的距离是线段AC 

C．A、C、B三点共线 

D．A、C、B三点不一定共线

【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”和“两点的距离就是连接两点的线段的长度”进行判断，即可解答．

【解答】解：A、点A到l的距离是线段AB的长，故原说法错误，故A选项不符合题意；

B、点C到点A的距离是线段AC的长，故原说法错误，故B选项不符合题意；

C、因为AB⊥l，BC⊥l，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以A、C、B三点共线，故原说法正确，故C选项符合题意；

D、根据选项C可知原说法错误，故D选项不符合题意．

故选：C．

10．（2021•河北模拟）如图，∠1与∠2的关系是（　　）

A．互为对顶角 B．互为同位角 

C．互为内错角 D．互为同旁内角

【分析】根据同位角的定义解决此题．

【解答】解：根据同位角的定义，∠1与∠2互为同位角．

故选：B．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•桥东区二模）将一副三角尺△ABC和△DEF按图所示位置摆放，若AB∥DE，则∠DPC＝　75°　．

【分析】延长FD交AB于点M，根据平行线的性质得出∠BMP＝45°，再根据三角形外角定理即可得解．

【解答】解：延长FD交AB于点M，

根据题意得，∠EDF＝45°，∠B＝30°，

∵AB∥DE，

∴∠BMP＝∠EDF＝45°，

∴∠DPC＝∠BMP+∠B＝45°+30°＝75°，

故答案为：75°．

12．（2021•邢台模拟）如图1，有一个足够长的矩形纸片ABCD，E、F分别是AD、BC上的点，∠DEF＝24°．

（1）将纸片含CD的部分沿EF折叠，称为第1次操作；如图2，则∠CFG＝　132°　；

（2）继续将纸片含CD的部分沿BF折叠，称为第2次操作；如图3，则∠CFE＝　108°　；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次…第n操作，则n的最大值为　6　．

【分析】（1）根据平行线的性质得∠EFG＝∠DEF＝24°，再根据折叠的性质解答即可；

（2）观察可得，第2次操作比第一次操作减小一个∠DEF＝24°，可得∠CFE的度数，根据此规律可得出n的最大值．

【解答】解：（1）∵矩形纸片ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠EFG＝∠DEF＝24°，

∵将纸片含CD的部分沿EF折叠，

∴∠CFG＝180°﹣2∠EFG＝132°，

故答案为：132°；

（2）∵∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG，

∴∠CFE＝132°﹣24°＝108°，

观察可得，第2次操作比第一次操作减小一个∠DEF＝24°，以后每次重复操作，都减小一个24°角，

∴每次重复操作后的角的度数为：180°﹣（n+1）•24°，

∵180°﹣（n+1）•24°≥0，

解得：n≤6.5，

∵n为正整数，

∴n的最大值为6．

故答案为：108°，6．

13．（2021•路南区一模）如图，经过测量，C地在A地北偏东46°方向上，同时C地在B地北偏西64°方向上，则∠C的度数为 　110°　．

【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，根据平行线的性质求得∠ACF与∠BCF的度数，∠ACF与∠BCF的和即为∠C的度数．

【解答】解：由题意作图如下

∠DAC＝46°，∠CBE＝64°，

由平行线的性质可得

∠ACF＝∠DAC＝46°，∠BCF＝∠CBE＝64°，

∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝46°+64°＝110°，

故答案：110°．

14．（2021•路南区三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．则：

（1）x的值为 　3　；

（2）x2﹣y的值为 　12　．

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字互为相反数列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．

“﹣3”与“2x﹣3”是相对面，

“y”与“x”是相对面，

“﹣2”与“2”是相对面，

∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，

∴2x﹣3+（﹣3）＝0，

x+y＝0，

解得x＝3，

y＝﹣3，

（2）∵x＝3，y＝﹣3，

∴x2﹣y＝32﹣（﹣3）＝9+3＝12．

故答案为：3，12．

15．（2020•河北模拟）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝55°，则∠2＝　145°　．

【分析】先利用“三角形的外角等于两个不相邻的内角和”求出∠3，再利用平行线的性质确定∠2．

【解答】解：∵∠3是Rt△ECD的一个外角，

∴∠3＝∠1+∠C

＝55°+90°

＝145°

∵直尺的两条边平行，

∴∠2＝∠3＝145°

故答案为：145°

三．解答题（共2小题）

16．（2021•迁西县模拟）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．

（1）填空：a＝　1　，b＝　3　，c＝　﹣2　；

（2）将2a（a﹣b）+b（2a﹣b﹣c）化简，并代入求值．

【分析】（1）根据正方体的表面展开图的特征，判断相对的面，再根据相对两个面上的数互为相反数，可求出a、b、c；

（2）利用去括号、合并同类项化简后，再代入计算即可．

【解答】解：（1）由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，

“a”与“﹣1”是对面，“b”与“﹣3”是对面，“c”与“2”是对面，

又相对两个面上的数互为相反数，

所以a＝1，b＝3，c＝﹣2，

故答案为：1，3；﹣2；

（2）原式＝2a2﹣2ab+2ab﹣b2﹣bc

＝2a2﹣b2﹣bc，

当a＝1，b＝3，c＝﹣2时，

原式＝2×12﹣32﹣3×（﹣2）

＝2﹣9+6

＝﹣1．

17．（2021•路南区一模）如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．

（1）用x表示图中S3；

（2）求长方体的表面积．

【分析】（1）分别表示长方体的长和宽，可得S3；

（2）根据表面积公式代入可得答案．

【解答】解：（1）∵，

∴长方体的宽＝4﹣x，

∵

∴长方体的长＝4+x，

∴；

（2）长方体的表面积＝2（4x+x2）+2（16﹣x2）+2（4x﹣x2）

＝8x+2x2+32﹣2x2+8x﹣2x2

＝﹣2x2+16x+32．