考点15 多边形与平行四边形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

这是一份考点15 多边形与平行四边形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版），共14页。试卷主要包含了多边形，平行四边形的性质，平行四边形的判定，三角形的中位线等内容，欢迎下载使用。
考点15 多边形与平行四边形考点总结 一、多边形1．多边形的相关概念1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．2．多边形的内角和、外角和1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2）外角和：任意多边形的外角和为360°.3．正多边形1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．3）正n边形有n条对称轴.4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.2．平行四边形的性质1）边：两组对边分别平行且相等．2）角：对角相等，邻角互补．3）对角线：互相平分．4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．四、三角形的中位线1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。2）性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 真题演练  一．选择题（共10小题）1．（2021•高阳县模拟）小刚设计了用n个完全相同的△ABC纸片（如图1）拼接正多边形的游戏，用6个△ABC纸片按照图2所示的方法拼接起来，能够围成正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接起来，那么能够围成的正多边形为（　　）A．正六边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形【分析】先根据正六边形计算一个内角为120度，可知△ABC各角的度数，再根据图3中正多边形的内角的度数，可得结论．【解答】解：∵正六边形每一个内角为120°，∴∠ACB＝120°﹣80°＝40°，∴∠CAB＝180°﹣120°＝60°，∴图2中正多边形的每一个内角为60°+80°＝140°，∵9，∴可以得到外轮廓的图案是正九边形．故选：C．2．（2021•路南区一模）如图，在正六边形ABCDEF内作正方形BCGH，连接AH，则∠HAB等于（　　）A．75° B．60° C．55° D．45°【分析】正六边形的每个内角为120°，即可求∠ABC，正方形每个内角为90°，即可求∠HBC，进而求∠ABH的大小，根据BA＝BH即可求∠HAB的度数．【解答】解：正六边形的每个内角为120°，正方形每个内角为90°，∴∠ABC＝120°，∠HBC＝90°，∴∠ABH＝30°，又∵BA＝BH，∴∠HAB75°，故选：A．3．（2021•路南区二模）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个图形是（　　）A． B． C． D．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，∴内角和是720度，720÷180+2＝6（边），∴这个多边形的边数为6．故选：D．4．（2021•张家口一模）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝（　　）A．60° B．28° C．54° D．72°【分析】先求出正五边形每一个内角的度数等于108°，根据平行线的性质求出∠BED＝90°，从而得到∠AEB＝108°﹣90°＝18°．根据三角形内角和等于180°求出∠ABE的度数，最后“根据两直线平行，同位角相等“即可求出答案．【解答】解：如图，∵正五边形内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A＝∠AED＝540°÷5＝108°，∵BE∥CD，∴∠BED＝180°﹣90°＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝108°﹣90°＝18°．在△ABE中∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠AEB＝180°﹣108°﹣18°＝54°，∵BE∥CD，∴∠α＝∠ABE＝54°．故选：C．5．（2021•桥西区模拟）如图，正五边形ABCDE，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接BD，则∠BDG＝（　　）A．144° B．120° C．114° D．108°【分析】根据正五边形的外角公式可得∠EDF，易得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EDF＝360°÷5＝72°，∠CDE＝∠C＝180°﹣72°＝108°，BC＝DC，∴∠BDC36°，∴∠BDE＝108°﹣∠BDC＝108°﹣36°＝72°，∵DG平分正五边形的外角∠EDF，∴∠EDG36°，∴∠BDG＝∠BDE+∠EDG＝72°+36°＝108°，故选：D．6．（2021•迁西县模拟）下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故选：B．7．（2021•路北区二模）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．8．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（　　）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长【分析】根据题意可得行走路线是正五边形，再根据正五边形的每个外角等于72度即可判断．【解答】解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．故选：A．9．（2020•北京）正五边形的外角和为（　　）A．180° B．360° C．540° D．720°【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．10．（2021•遵化市一模）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（　　）A．（﹣2，l ） B．（﹣2，﹣l ） C．（﹣1，﹣2 ） D．（﹣1，2 ）【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选：A．二．填空题（共5小题）11．（2018•高碑店市一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝5，∠B＝30°，点P，Q分别是边AB，AC上的点．BP＝2AQ，PD⊥BC于点D．当PQ⊥DQ时，AQ＝　4　．【分析】设AQ＝x，依据PDBP＝AQ，PD∥AQ，判定四边形PAQD是平行四边形，再根据∠AQP＝30°，即可得出AQ＝2AP，进而得到方程x＝2（10﹣2x），解方程即可得出结论．【解答】解：设AQ＝x，∵PD⊥BC，∠B＝30°，BP＝2AQ＝2x，∴Rt△BDP中，PDBP＝AQ，∵∠C＝∠BDP＝90°，∴PD∥AQ，∴四边形PAQD是平行四边形，当PQ⊥DQ时，∠APQ＝90°，又∵∠A＝60°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP，即x＝2（10﹣2x），解得x＝4，∴AQ＝4，故答案为：4．12．（2021•顺平县二模）如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则α的最大值为 　36°　．【分析】根据图中的信息可知机器人走过的路线是正多边形，要使机器人行走的路程不小于10m，则正多边形的边数最少为10，再用外角和的度数除以10即可得出α的范围．【解答】解：根据题意得，机器人走过的路线是正多边形，每个外角都等于α，∵要使机器人行走的路程不小于10m，∴正多边形边数最少为10，360°÷10＝36°，则a≤36°，13．（2021•古冶区一模）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠CAB＝　117　°．【分析】根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义可得结论．【解答】解：由题意得：正八边形的每个内角都为：135°，正五边形的每个内角都为：108°，故∠CAB＝360°﹣135°﹣108°＝117°，故答案为：117．14．（2021•新华区校级模拟）如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是　84°　．【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．【解答】解：如图，由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°故答案为84°．15．（2021•河北模拟）如图，已知正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝　54　度．【分析】根据正五边形的轴对称性以及多边形的外角和等于360度解答即可．【解答】解：如图：由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG＝90°，∴∠G+∠EDG＝90°，∵∠EDF72°，DG平分正五边形的外角∠EDF，∴∠EDG∠EDF＝36°，∴∠G＝90°﹣∠EDG＝54°．故答案为：54．三．解答题（共3小题）16．（2020•曲阳县模拟）如图，平行四边形ABCD内一点E，满足ED⊥AD于D，延长DE交BC于F，且∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°，找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．【分析】延长DE，交BC于F，由平行四边形的性质可得到∠BFE＝∠DFC＝90°，由已知可推EF＝FC，已知∠EBC＝∠EDC，则可以利用AAS来判定△BEF≌△DCF，从而得到CD＝BE．【解答】解：CD＝BE．证明：如图，延长DE交BC于F，∵AD∥BC，ED⊥AD，∴DF⊥BC，∴∠BFE＝∠DFC＝90°，又∵∠ECB＝45°，∴∠FEC＝∠ECB＝45°，∴FE＝FC，∵∠EBC＝∠EDC，∴△BEF≌△DCF（AAS），∴CD＝BE．17．（2020•邢台模拟）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．【分析】（1）证明∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠CAE，由SAS即可得出结论；（2）求出∠ACB＝∠ACE＝30°，由平行线的性质得出∠MEC+∠ECD＝180°，即可得出结果；（3）由△BAD≌△CAE，得出DB＝CE，再证明∠ACE＝∠EMC，得出ME＝EC，推出DB＝ME，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝∠ACE＝30°，∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，∵EM∥BC，∴∠MEC+∠ECD＝180°，∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；（3）证明：∵△BAD≌△CAE，∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ACE，∵EM∥BC，∴∠EMC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠EMC，∴ME＝EC，∴DB＝ME，又∵EM∥BD，∴四边形MBDE是平行四边形．18．（2007•泉州）已知正n边形的周长为60，边长为a（1）当n＝3时，请直接写出a的值；（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．【分析】（1）边长＝周长÷边数；（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值．【解答】解：（1）a＝20； （2）此说法不正确．理由如下：尽管当n＝3、20、120时，a＞b或a＜b，但可令a＝b，得，即．∴60n+420＝67n，解得n＝60，经检验n＝60是方程的根．∴当n＝60时，a＝b，即不符合这一说法的n的值为60．