人教版七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组第二课时教案

教学目标

1.使学生认识到，画图或列表等方式能帮助我们正确理解题意，分析较复杂的数量关系，顺利列出方程组.

2.学会从不同角度寻求解决问题的途径，设计方案，培养学生的数学建模能力.

3.在解决问题的过程中，提高运算技能，渗透应用意识，体会方程组是解决实际问题的有效工具.

教学重难点

重点：正确理解题目中关键语句的含义，找出相等关系，列二元一次方程组.

难点：设辅助未知量，用式子正确表示题目中的相等关系.

课前准备

多媒体课件

教学过程

导入新课

教师：同学们，昨天我们已经学习了列二元一次方程组解决实际生活问题，谁来告诉大家，列方程组解应用题的一般步骤是什么？

学生回答，如有不足，其他同学补充.

教师：这节课我们继续研究实际问题与二元一次方程组，板书课题.

设计意图

复习上节课内容，并导入新课.

探究新知

教师：同学们，我们首先来看下面一个练习：

甲、乙两种作物的单位面积产量的比是2∶3.现有一块面积为17公顷的土地，要在这块土地上种植这两种作物，且使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4，甲、乙两种作物的种植面积分别是多少?

教师：在这个题目中有哪几个量，它们之间存在什么样的数量关系？

学生回答，如有不足，其他同学补充，师生一起得出结论：单位面积产量×公顷数量＝总产量.

教师：为了更明确各个量之间的关系，我们可以用表格来呈现，以便更好理解.

教师：在表格中有哪几个未知量，如果我们设甲、乙两种作物的种植面积分别是x公顷，y公顷，甲种作物的单位面积产量为2a，其他三个空，你能否表示出来？从中可以列一个怎样的二元一次方程组，从而求出甲、乙两种作物的种植面积.

学生小组交流讨论，共同完成表格，并在教师的引领下完成求解.

解：设甲种作物的单位面积产量为2a，种植面积为x公顷，乙种作物的单位面积产量为3a，种植面积为y公顷.

根据题意，得解得

答：甲、乙两种作物的种植面积分别是9公顷、8公顷.

设计意图

由于探究2中的问题学生比较陌生，并且难度较大，所以先设计一个较简单的题目作铺垫，一方面让学生熟悉常用的数量关系，另一方面熟悉列方程组解应用题的一般步骤，同时分散探究2的难点.

新知应用

探究点：列方程组解决实际问题

教材第99页探究2

据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4?

教师：把一个大长方形分割成两个小长方形.可能有哪些划分方案?分割线的位置由哪些条件决定?

学生通过动手操作、动脑思考、讨论交流，在教师的引领下得到以下结论：

(1)有两种方法划分土地(如图1，图2).

图1                 图2

(2)分割线的位置要通过计算确定.

教师：如果利用第一种分割法，甲、乙两种作物的种植区域分别是什么图形？它们的种植面积是多少，总产量又该怎样表示？学生思考，小组交流讨论，并展示学习成果，师生一起得到结论：若按如图3所示的方案种植，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE＝x m，BE＝y m，则甲、乙两种作物的种植面积分别是100x 、100y ，甲、乙两种作物的产量分别是100x，100y×2.

图3

教师：请你完整地写出本题的解答过程.

学生独立完成，并在黑板上板演，教师纠正不足，规范解答过程，得到如下内容：

解：如图3，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE＝x m，BE＝y m.

根据题意，得

解得

于是可得如下分割方案：过长方形土地的长边上离一端120 m处作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.

(设计说明：在学生完成热身练习的基础上，结合图形就能顺利列出方程组，之所以要求学生写出规范的解答过程，是因为找到思路只是完成了第一步，能否彻底解决问题还需要计算、表达等多方面的能力，所以务必在这个环节上对学生严格要求)

教师：如果利用第二种分割方法，如何解这个应用题?

学生活动

学生仿照第一种方法写出解答过程，一方面可以检验学习效果如何，另一方面可以让学生进一步体会方法的重要性，将举一反三落到实处.投影学生解答过程，其他同学纠正不足，教师作点评，得到规范的解答过程如下：

解：如图4，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DEFC和ABFE.

设DE＝x m，AE＝y m.

根据题意，得

解得

于是可得第二种分割方案：过长方形土地的短边上离一端60 m处作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.

图4

设计意图

教师提出问题，让学生讨论交流，在此过程中可以逐步理解题意，找到解决问题的方法，画图或列表等方式能帮助学生正确理解题意，分析较复杂的数量关系，顺利列出方程组.

课堂练习

(见导学案“当堂达标”)

参考答案

1.D  2.

3.56  32  4.100  5.200

6.18  解析：设小长方形的长为x，宽为y，

根据题意，得解得

9×(4+1×3)-5×1×9＝18.

所以图中阴影部分的面积为18.

7.解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元，y元.

根据题意，得解得

答：中性笔和笔记本的单价分别是2元，6元.

(见导学案“课后提升”)

参考答案

1.解：设该旅游团有x人住了三人普通间，有y人住了双人普通间.根据题意，得

解得

所以住三人普通间24÷3＝8(间)，

住双人普通间26÷2＝13(间).

答：三人普通间客房住了8间，双人普通间客房住了13间.

2.解：设玫瑰花、薰衣草每亩卖花的平均收入分别为x元、y元.

根据题意，得

解得

答：玫瑰花、薰衣草每亩卖花的平均收入是4 000元和4 500元.

课堂小结

1.本节主要学习用画图的方法分析数量关系，通过列二元一次方程组设计方案.

2.主要用到的思想方法是方程思想：将实际问题转化为二元一次方程组解决.

3.注意的问题：

(1)认真审题，准确理解关键语句的含义；

(2)解方程组时要选择适当的方法，提高运算速度和准确度；

(3)从多角度寻求解决问题的途径.

布置作业

教材第102页习题8.3第4，5，6题.

设计意图

及时布置作业是巩固课堂学习知识的重要环节.

板书设计

教学反思