2021~2022人教版数学七年级下册重难点专项突破专题01 平行线中的侧M型（原卷版+解析版）

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专题01 平行线中的侧M型
一、单选题
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，则∠ACD=（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【解析】
试题分析：如图，延长AC交EF于点G；∵AB∥EF，∴∠DGC=∠BAC=50°；
∵CD⊥EF，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，故选C．

考点：垂线的定义；平行线的性质；三角形的外角性质

2．如图，已知，则∠BCE的度数为（ ）

A．70° B．65° C．35° D．55°
【答案】B
【分析】
过点C作CF平行于AB，根据平行线的性质及题意可直接求出．
【详解】

过点C作，


．
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（　　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】B
【分析】
过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．
【详解】
解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，
∵a∥b， ∴a∥b∥AB，
∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，
又∵∠CAD=90°，
∴∠4=50°，
∴∠5=50°，
∴∠1=180°-50°=130°，
故选：B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
4．如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°
【答案】B
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．
【详解】
如图，过点C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，
∵∠BCD＝70°，
∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，
∴∠α+∠β＝70°．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.
5．如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°
【答案】C
【分析】
过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故选：C．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
6．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．
【详解】
解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,

∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．
7．如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（ ）


A．101° B．103° C．105° D．107°
【答案】B
【分析】
如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
【详解】
解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，∠1=43°，
∴∠ANM=43°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，
∴∠2=∠AMO=103°．
故选：B．

【点睛】
该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．
8．如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（　　）

A．100° B．60° C．40° D．20°
【答案】A
【详解】
解：过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，
∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．
故选A．

【点睛】
本题考查平行线的判定与性质．

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题
9．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °．

【答案】
【分析】
过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是．
【详解】
解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB，

∵AB∥CD，AB∥PM
∵AB∥PM∥CD，
∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，
∴∠1+∠APC+∠3=360°；
（2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，

∵AB∥CD，
∵AB∥PM∥QN∥CD，
∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；
∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；
根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．
即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）．
故答案为：
【点睛】
此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
10．如图，，设，那么，，的关系式______．

【答案】
【分析】
过作，过作，根据平行线的性质可知，然后根据平行线的性质即可求解；
【详解】
如图，过作，过作，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；
11．如图，，则____________________．

【答案】
【分析】
过点做的平行线，利用平行线的性质，即可证明．
【详解】
过点做的平行线



，
又


又
.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线．
12．如图，AB//CD， 则______

【答案】40°
【分析】
首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．
【详解】
解：过点作，
，
，
，，
．
故答案为：．

【点睛】
此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意两直线平行，内错角相等定理的应用与辅助线的作法．
13．如图，，平分，，，则__________．

【答案】
【分析】
过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．
【详解】
解：过E点作EM∥AB，

∴∠B=∠BEM，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠MED=∠D，
∴∠BED=∠B+∠D，
∵EF平分∠BED，
∴∠DEF=∠BED，
∵∠DEF+∠D=66°，
∴∠BED+∠D=66°，
∴∠BED+2∠D=132°，
即∠B+3∠D=132°，
∵∠B-∠D=28°，
∴∠B=54°，∠D=26°，
∴∠BED=80°．
故答案为：80°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．
14．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．

【答案】38°
【分析】
过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【详解】
如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．
故答案为：38°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
15．如图，已知AB//CD，，，，则____度．

【答案】90
【详解】
解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，
∴，，
，，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即：，
∴．
故答案为：90．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键．
16．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.
小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知:如图1，，为、之间一点，连接， 得到.

求证:
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明:过点作，
∴
∵，
∴
∴.
∵
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.
（1）如图，若，，则___________.

（2）如图，，平分，平分，，则___________.

【答案】240° 51°
【分析】
（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H．
【详解】
（1）解：作EM∥AB，FN∥CD，如图，

AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，
∵，
∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；
（2）解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，

∵平分，平分，
∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，
∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，
∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，
∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，
又∵∠BGC=∠BHC+27°，
∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，
∴∠BHC =51°．
故答案为：（1）240°；（2）51°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
17．如图，若AD∥BE，且∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，则∠CAD＝_____度．

【答案】60
【解析】
∵AD∥BE，∴∠DAB+∠ABE=180°，
∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAC+∠CBE=90°，
∵∠CBE=30°，∴∠CAD=60°.
故答案为60.
点睛：本题关键在于结合平行线的性质与三角形内角和解题.
18．如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠=_________.

【答案】20°
【解析】试题分析：延长CB交直线m于D，根据根据两直线平行，内错角相等解答即可，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠α．
试题解析：如图，延长CB交直线m于D，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵l∥m，
∴∠1=40°．
∴∠α=∠ABC-∠1=60°-40°=20°．
考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．

三、解答题
19．如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．

【答案】110°．
【分析】
作BF∥AE，由平行线的性质得∠A+∠ABF=180º，可求∠ABF=180º-∠A，由∠B＝110°，可求∠CBF=∠ABC-∠ABF=70º，由AE∥CD，推出BF∥CD，利用平行线的性质∠FBC+∠C=180º，可求∠C．
【详解】
如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．
作BF∥AE，
∴∠A+∠ABF=180º，
∵∠A＝140°，
∴∠ABF=180º-∠A=40º，
∵∠ABC＝110°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=110º-40º=70º，
∵AE∥CD，
∴BF∥CD，
∴∠FBC+∠C=180º，
∴∠C=180º-∠FBC=180º-70º=110º．

【点睛】
本题考查平行线的性质问题，关键是掌握平行线的判定与性质，会利用平行线的性质求角，会作平行线，利用平行线的判定方法证明两线平行．
20．已知：如图1，，．

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析．
【分析】
（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．
【详解】
解：（1）AB∥CD，EF∥HL，
证明如下：∵∠1=∠AMN，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD于F1，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EF1L，
∵∠AEF=∠HLN，
∴∠EF1L=∠HLN，
∴EF∥HL；

（2）∠P=3∠Q，
证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，
即∠P=3∠Q；
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．
21．请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．

（1）在图（1）中，与有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
【答案】（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B
【分析】
（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；
（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；
（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；
（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；
（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．
【详解】
（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º；
（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，
即∠B+∠C=∠A；
（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，
即∠B+∠A+∠C=360º；
（4）如图（4），设BE与AC相交于D，
∵与平行，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，
∴∠A+∠B=∠C；
（5）如图（5），设CF与AB相交于D，
∵与平行，
∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．
22．在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：

证明：过点，作，如图2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
【答案】BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行
【分析】
根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【详解】
证明：过点，作，如图2，
（两直线平行 内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
（内错角相等 两直线平行），
，
．
故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
23．如图，ABCD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．
在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：
（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝　 　；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果；
（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；
（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQnF满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

【答案】（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由见解析；（3）∠EPF+（2n+1）•∠EQnF＝360°．
【分析】
（1）过P作PMAB，过Q作QNAB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题；
（2）如图2，过P作PM//AB，过Q作QNAB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）根据（1）中的解题方法得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出规律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的结论2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可计算出∠EPF+2n+1•∠EQnF的结果，从而得出结论．
【详解】
解：（1）过P作PMAB，过Q作QNAB，
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝；
猜想：∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF＝2∠EQF．理由如下：
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
即∠EPF＝2∠EQF；
故答案为55°；
（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：
如图2，过P作PMAB，过Q作QNAB，
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，
∴2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）根据（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），
∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β），
…
则∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），
∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，
∴∠EPF+2n+1•∠EQnF＝360°．

【点睛】
本题考查平行线的性质、角平分线的性质、角的规律等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
24．直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．

（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α＝50°，则∠2＝　 　°．
（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；
（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．
【答案】（1）50；（2）∠α＝∠1+∠2，证明见解析；（3）不成立．理由见解析．
【分析】
（1）由题意直接根据平行线的性质可直接求解；
（2）由题意过P作PG∥AB，则PG∥AB∥CD，利用平行线的性质即可求解；
（3）根据题意过P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，利用平行线的性质进行分析即可求解．
【详解】
解：（1）∵AB∥CD，∠α＝50°
∴∠2＝∠α＝50°，
故答案为：50；
（2）∠α＝∠1+∠2．
证明：过P作PG∥AB，

∵AB∥CD，
∴PG∥AB∥CD，
∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠FPG，
∵∠α＝∠EPF＝∠EPG+∠FPG，
∴∠α＝∠1+∠2；
（3）不成立．
理由：过P作PH∥AB，

∵AB∥CD，
∴PH∥AB∥CD，
∴∠2＝∠EPH，∠1＝∠FPH，
∵∠α＝∠EPF＝∠EPH﹣∠FPH，
∴∠α＝∠2﹣∠1，
故不成立．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，注意掌握并灵活运用平行线的性质是解题的关键．
25．如图，已知．

（1）求的度数；
（2）若平分，与的延长线交于点，且，求的度数．
【答案】（1）∠GFD=34°；（2）∠BEG=54°．
【分析】
（1）由题意直接根据平行线的性质即两直线平行内错角相等进行分析即可求解；
（2）根据题意过点G作GI//AB，根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解．
【详解】
解：（1）∵AB//CD，
∴∠C=∠CAH=34°，
∵AC//GF，
∴∠GFD=∠C=34°
（2）过点G作GI//AB

∴∠HGI=∠H=10°，
∵AB//CD，
∴GI//CD
∴∠IGF=∠GFD=34°，
∴∠HGF=∠HGI+∠IGF=10°+34°=44°，
又∵HG平分∠EGF
∴∠HGE=∠HGF=44°，
∴∠BEG=∠HGE+∠HGI=44°+10°=54°.
【点睛】
本题考查平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
26．（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．

【答案】(1)110°；（2）①；②或
【分析】
（1）过点P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行线的性质可以求得和的度数，进一步可以得到的度数；
（2）分别过P作PQ//AD，则可得PQ//BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．
【详解】
解：（1）如图，过点P作PE//AB，则由平行线的性质可得PE//CD，所以：

，所以：
，
所以，；
（2）①，理由如下：
如图，过P作PQ//AD交DC于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

，
∵，∴；
②分两种情况讨论：
第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：

；
第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ//AD交射线OD于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：


【点睛】
本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．
27．如图l，点在上，点在上，点在直线之间，连接 ．


（1）直接写出的度数为 ；
（2）如图2，平分，交的延长线于点证明：


（3）如图3，点在的延长线上，点在上，点在内，连 ，则的值为 ．


【答案】（1）108°；（2）见解析；（3）72°
【分析】
（1）过点F作FG∥AB，推出∠AEF+∠EFG=180，∠CHF+∠GFH=180，结合已知即可求解；
（2）过点F作∥AB，过点M作∥，设∠FHD=，利用平行线的性质得到∠3=∠EFH-∠ =108°-，利用邻补角和角平分线的定义得到∠1=，根据∠=∠1列出等式即可证明；
（3）过点F作FG∥AB，延长NK交CD于Q，设∠FHD=，根据平行线和邻补角的性质推出∠PEB=180-∠BEF =180-108+=72+，结合已知得到∠NEB=∠PEB=(72+)，利用∠NKB=∠NEB+∠ENK，列出等式即可求解．
【详解】
（1）过点F作FG∥AB，

∵CD∥AB，
∴FG∥CD∥AB，
∴∠AEF+∠EFG=180，∠CHF+∠GFH=180，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH=360，
又∵∠AEF+∠CHF=∠EFH，
∴∠EFH +∠EFH=360，
解得：∠EFH=108；
故答案为：108；
（2）过点F作∥AB，过点M作∥，
设∠FHD=，

∵AB∥CD，
∴∥∥AB∥CD，
∴∠=，
∴∠3=∠EFH-∠ =108°-，
∴∠=∠3=108°-，
∵∠1=∠2，
∴∠1=，
∵∥CD，
∴∠=∠1，
∴∠FMH+108°- =，
∴2∠FMH+2108°-=180°-，
∴-2∠FMH=36°，
即∠FHD-2∠FMH=36°；
（3）过点F作FG∥AB，延长NK交CD于Q，设∠FHD=，

同理CD∥AB∥FG，
∴∠GFH=∠FHD=，
∴∠BEF=∠EFG=108-，
∴∠PEB=180-∠BEF =180-108+=72+，
∵，
∴∠NEB=∠PEB=(72+)，
∵NK∥FH，
∴∠NQD=∠FHD=，
∵CD∥AB，
∴∠NKB=∠NQD=，
∵∠NKB=∠NEB+∠ENK，
∴=(72+)+∠ENK，
∴=72+3∠ENK，
故∠FHD-3∠ENK=72．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质及角平分线的定义，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
28．如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接
问题提出:
（1）请直接写出点的坐标 ， ，及四边形的面积 ﹔
拓展延伸:
（2）如图①，在坐标轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，试说明理由.

迁移应用:
（3）如图②，点是线段上的个动点，连接，当点在上移动时(不与重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.

【答案】（1）；（2）存在，M（0,6）或（0，-2）或（-3,0）或（1,0）；（3）结论①正确，
【分析】
（1）根据点的平移规律易得点C，D的坐标，可证四边形ABDC是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解；
（2）先计算出S△MAC=2，然后分M在x轴或y轴上两种情况，根据三角形面积公式列方程求解，从而确定M的坐标；
（3）作PE∥AB，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO．
【详解】
解：（1）由题意可知：C点坐标为，D点坐标为（4，2）
∴AB=4，OC=2
S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8
故答案为：（0，2）；（4，2）；8
（2）存在
，且

①当点在轴上时，令

或
此时点的坐标为
②当点在轴上时，令

或b=1
此时点的坐标为
综上，点M的坐标为
（3）结论①正确
过点作交与点
∵AB∥CD




【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，也考查了坐标与图形性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
29．已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG.
(1) 如图1，AB∥CD，求证：∠AEF＋∠FGC＝∠EFG；
(2) 若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD 如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）2∠EFG=∠AEF+∠FGC，理由见解析．
【分析】
（1）过F作FQ∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG；
（2）延长AB，CD，交于点P，依据∠FEP=180°-∠AEF，∠FGP=180°-∠FGC，即可得到∠FEP+∠FGP=360°-（∠AEF+∠FGC），再根据四边形内角和，即可得到四边形EFGP中，∠F+∠P=360°-（∠FEP+∠FGP）=∠AEF+∠FGC，进而得出结论．
【详解】
（1）如图1，过F作FQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FQ∥CD，
∴∠AEF=∠QFE，∠FGC=∠GFQ，
∴∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG；

（2）如图2，延长AB，CD，交于点P，
∵EG同时平分∠BEF和∠FGD，
∴∠FEG=∠PEG，∠FGE=∠PGE，
∴∠EFG =∠P，
∵∠FEP=180°-∠AEF，∠FGP=180°-∠FGC，
∴∠FEP+∠FGP=360°-（∠AEF+∠FGC），
∵四边形EFGP中，
∠EFG +∠P=360°-（∠FEP+∠FGP）
=360°-[360°-（∠AEF+∠FGC）]
=∠AEF+∠FGC，
即2∠EFG=∠AEF+∠FGC．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
30．问题情境：如图1，已知，．求的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得________．
问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，，．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，
问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________．
【答案】问题情境： 252°；问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β-∠α；理由见解析；或∠CPD=∠α-∠β．理由见解析；问题拓展：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．
【分析】
问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；
问题迁移：（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】
解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；
故答案为：252°；
问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．

故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．