湖北省襄阳市第四中学2021届高三下学期一模数学试题寒答案解析

这是一份湖北省襄阳市第四中学2021届高三下学期一模数学试题寒答案解析，共23页。试卷主要包含了若集合，集合，则等于，已知，，则，已知定义在上的幂函数，已知向量，，则等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
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1．若集合，集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．已知递增等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
9．已知向量，，则（ ）
A．B．向量在向量上的投影为
C．与的夹角余弦值为D．若，则
10．对于两条不同直线和两个不同平面，下列选项中正确的为（ ）
A．若，则B．若，则或
C．若，则或D．若，则或
11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ）
A．A地：中位数为2，极差为5
B．B地：总体平均数为2，众数为2
C．C地：总体平均数为1，总体方差大于0
D．D地：总体平均数为2，总体方差为3
12．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点.给出下列四个结论正确的是（ ）
A．若，则存在唯一个周期为1的周期点；
B．若，则存在周期为2的周期点；
C．若，则不存在周期为3的周期点；
D．若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点.
第II卷（非选择题）
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13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_______．
14．已知函数，在上单调递增，那么常数的一个取值____．
15．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，以点为球心，以为半径的球的球面记为，则直线被截得的线段长为___________.
16．已知､为双曲线：的左､右焦点，点在上，，则的面积为___________，内切圆半径为___________.
17．在中，.
（1）求角的大小；
（2）设的角平分线交于，且，，求的值.
18．如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且、、、四点共面．
（1）证明：平面．
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).
（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.
（i）求出f(p)的最大值点;
（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.
参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ20．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.
（1）记杨辉三角的前行所有数之和为，求的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（3）已知、为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数、、、不能构成等差数列
21．已知函数（）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，（）分别为点，的横坐标，求证：．
22．已知椭圆经过点，离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点且在的上方），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，将、、如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、多选题
评卷人
得分
三、填空题
评卷人
得分
四、双空题
评卷人
得分
五、解答题
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据集合并集的定义进行求解即可.
【详解】
因为集合，集合，
所以，
故选：A
2．C
【解析】
【分析】
化简复数即可判断.
【详解】
因为对应的点位于第一象限，所以
故选：C.
3．A
【解析】
【分析】
已知式平方后求得，再与已知联立解得，然后由商数关系得．
【详解】
因为，所以，，
由，解得，所以．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查同角间的三角函数关系，在用平方关系求值时，一般要确定角的范围，以确定函数值的正负．本题中实质上是取得的是最大值，因此求解时没有出现两解的情形．
4．B
【解析】
【分析】
设出坐标，根据长度以及抛物线的焦半径公式求解出的值，则的横坐标可求.
【详解】
设，因为，
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】
结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
5．A
【解析】
【分析】
首先求出，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到，即得解.
【详解】
由题得.
函数是上的增函数.
因为，，
所以，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】
方法点睛：比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小.
6．D
【解析】
【分析】
结合题中所给的条件，利用等差数列通项公式和求和公式以及三数成等比数列的条件，列出等量关系式，求得其首项和公差，进一步求其前10项和，从而得到正确答案.
【详解】
因为是递增等差数列，，
所以，即，①
由成等比数列，
所以，整理得，即，②
①②联立求得，或（舍去）
所以，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关数列的问题，正确解题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，以及三数成等比数列的条件.
7．D
【解析】
【分析】
根据题意得共有鸡只，兔子只，再根据相邻问题捆绑与不相邻问题插空法计数，根据古典概型计算概率.
【详解】
设鸡的个数为,兔子的个数为，则，解得：
故共有鸡只，兔子只，
故只鸡， 只兔子走出房门，共有种不同的方案，
其中恰有2只兔子相邻走出房子共有：种，
故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为：.
故选：D.
【点睛】
本题考查相邻问题捆绑法和不相邻问题插空法，考查运算求解能力，是中档题.
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
8．C
【解析】
【分析】
由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.
【详解】
设函数，，
因为，
所以，
或，
因为 时，，
或时，，，其图象如下：
当时，至多一个整数根；
当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，
，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.
9．BCD
【解析】
【分析】
利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；由向量在向量上的投影公式可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；
对于B选项，向量在向量上的投影为， B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.
故选：BCD.
10．ACD
【解析】
【分析】
根据空间直线、平面间的位置关系判断．
【详解】
若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，则的方向向量垂直，所以的方向向量与的方向向量垂直，则，A正确；
若，可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B错；
若，则或，与不相交，C正确；
若，则或，与不相交，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查空间直线与平面的位置关系，直线与平行的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交．直线与平面垂直可利用平面的法向量与直线的方向向量的关系判断．
11．AD
【解析】
逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.
【详解】
对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于.故A正确.
对B,若乙地过去10日分别为则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B错误.
对C,若丙地过去10日分别为,则满足总体平均数为1,总体方差大于0, 但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C错误.
对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于.与题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D正确.
故选：AD
【点睛】
样本估计总体中平均数、中位数体现整体水平情况、方差体现稳定性情况.
12．AD
【解析】
【分析】
由周期点的定义，可得直线与存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．
【详解】
解：对于，令，2，3，，
若存在正整数使得，且当时，，
则称是的一个周期为的周期点．
对于①，若为周期为1的周期点，
，故A正确；
对于②，若为周期为2的周期点，
则
解得, ，
但，解得
所以不存在在周期为2的周期点，故B错误；
对于③， 当时，易见有两个周期点；
当时，
即，可得时，周期点有4个，
同理，时，周期点有8个，故③错误；
对于④，，所以，即，
所以不是周期点，故D正确．
故选：AD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查了周期点的概念，解题的关键是紧扣定义进行计算即可.
13．
【解析】
【分析】
由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得的范围．
【详解】
∵，，且，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为8，
由解得，
∴ 实数的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式．
14．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由条件利用正弦函数的单调性可得,由此求得正数ω的范围，任取此范围内常数即可.
【详解】
在上单调递增,
则,
，取一个该范围内的值即可，如．
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
作于点P，利用正方体的性质求得，继而运用同角三角函数的关系求得，再利用等面积法求得PE的长，由此可求得弦长得答案.
【详解】
作于点P，因为正方体的棱长为4，为棱的中点，
所以，又，所以，，
又，所以在中，，
即，解得，
所以直线被截得的线段长为，
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：本题考查空间想象能力，圆的弦长，常先求得圆心到直线的距离，再运用几何法求得弦长.
16．
【解析】
【分析】
设，，由余弦定理和双曲线定义计算得，进而可得△的面积；
由等面积法可得△的内切圆半径的值.
【详解】
依题意知，，所以.
设，，在△中，
由余弦定理得，即 ①，
由双曲线定义得，平方，得 ②，
联立①②得，，进而可得，
所以，△的面积，
设△内切圆半径为，则△的面积，
所以，解得内切圆半径为.
故答案为：①；②.
【点睛】
方法点睛：
（1）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、面积公式、双曲线的定义等；
（2）求三角形的内切圆半径经常利用等面积法．
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简得到，再利用辅助角公式得到，计算得到答案.
（2）正弦定理得，再利用
计算得到答案.
【详解】
解：（1）由题意知，.
即
，
又，所以.
（2）在中，由正弦定理得，
，，
所以.
【点睛】
本题考查了正余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力和计算能力.
18．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）取弧的中点，连结，，可证，，即可得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】
解：（1）取弧的中点，连结，，则，所以，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，
又平面，．
所以平面．
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为直线与平面所成角为，则，，，，设平面的法向量为，由可得：，令，则，同理可得：平面的法向量为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19．（1）140；（2）（i）；（ii）分布列见解析.
【解析】
（1）由正态分布原则即可求出排球个数；
（2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时 的值；
（ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列.
【详解】
（1）因为ξ服从正态分布N (270， )，所以，
所以质量指标在(260，265]内的排球个数为个；
（2）（i），
令，得，
当时，， 在上单调递增；
当时，， 在上单调递减；
所以的最大值点；
（ii）的可能取值为0，1，2，3.
； ；
； ；
所以的分布列为
【点睛】
求随机变量的分布列的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
20．（1）；（2）存在，第行；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算出杨辉三角第行的个数的和为，利用等比数列的求和公式可求得；
（2）根据，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出结论；
（3）假设存在、，使得、、、成等差数列，可得出，，根据组合数公式可得出，根据二项式系数的性质可得出结论.
【详解】
（1）由二项式定理的性质，杨辉三角第行的个数的和为：，
；
（2）杨辉三角形的第行由二项式系数，、、、、组成.
如果第行中有，，
那么，，解这个联立方程组，得，.
即第行有三个相邻的数、、的比为；
（3）若有、，使得、、、成等差数列，
则，，
即，
.
所以有，
，
经整理得到，.
两式相减可得，
而由二项式系数的性质可知，
这与、、、成等差数列矛盾，所以原命题得证.
【点睛】
关键点点睛：本题考查二项式系数的应用，解题的关键在于根据已知条件结合组合数的定义列等式求解.
21．（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可得函数的单调性；
（2）求出的解析式，利用斜率公式求出，将所证不等式化为（），再构造两个函数，利用导数可证结论成立.
【详解】
（1）的定义域为，且．
当时，，则在上单调递增．
当时，若，则，在上单调递增；
若，则，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，所以，
所以，
所以．
要证，即证．
因为，所以，即证．
令，则，即证（）．
令（），则，
所以在上单调递减，
所以，即，（）．①
令（），则，
所以在上单调递增，
则，即（）．②
综合①②得（），
所以.
【点睛】
关键点点睛：将所证不等式化为（），再构造两个函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.
22．（1）；（2）或为等差数列；证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由题得到关于的方程组，解方程组即得解；
（2）设的斜率为，则直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再利用韦达定理化简得，即得解.
【详解】
解：（1）由点在椭圆上得，①，．
又②．
由①②得，．
故椭圆的标准方程为．
（2）或能构成一个等差数列．
椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，
设的斜率为，则直线的方程为③．
代入椭圆方程，整理得，易知．
设，则有④．
在方程③中，令，得，从而，
因为
=⑤，
将④代入⑤得．
而，所以，即为、的等差中项，
所以或为等差数列．
【点睛】
方法点睛：关于直线和椭圆的位置关系问题，经常要联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用韦达定理来化简求解.
0
1
2
3
P