2023届湖北省襄阳市第四中学高三下学期5月适应性考试（一）数学试题含解析

2023届湖北省襄阳市第四中学高三下学期5月适应性考试（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先解对数不等式求出集合，在根据二次函数的性质求出集合，最后根据并集的定义计算可得.

【详解】由，解得，所以，

又，

所以.

故选：A

2．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复数运算法则求复数的代数形式，根据点所在象限列不等式组即可求解.

【详解】由题得 ，

复数在复平面内所对应的点在第四象限，

所以 ，解得： ，

所以a的取值范围是.

故选：C

3．已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.

【详解】由知：，可得，

所以在方向上的投影向量为.

故选：B

4．已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（    ）

A．2033 B．2123 C．123 D．0

【答案】D

【分析】根据是等差数列，先求出公差，然后由等差数列的通项公式即可求出结果.

【详解】设等差数列的公差为，则，

所以，

故选：D.

5．现有高校进入高中校园组织招生宣传，4名男生、3名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是（    ）

A．42 B．60 C．84 D．120

【答案】C

【分析】先将男生按2，2和3，1，分为2组分配到两个学校，再把女生分3，1两组分配到两个学校，然后利用分步乘法计数原理求解.

【详解】解：先将男生分为2组分配到两个学校：一类是，二类是，

再把女生分为2组分配到两个学校有，

然后利用分步乘法计数原理得，

故选：C

6．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就，其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个81位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】B

【分析】由题意得出，然后两边取以10为底的对数，再对比参考数据可得出.

【详解】由题意知，，

即，，

而，，，，

，，正整数的值为14.

故选：B.

7．若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】先利用条件得到，再利用均值不等式即可得出结果.

【详解】因为，所以，

又a，b，c均为正数，，

当且仅当时取等号，所以，即，

故选：A.

8．如图，二面角的大小为，已知A、B是l上的两个定点，且，，，AB与平面BCD所成的角为，若点A在平面BCD内的射影H在的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意：点H的轨迹是以点B为球心，以为半径的球与以AB为轴，母线AH与轴AB成60°的圆锥侧面交线的一部分，该部分是圆心角为的弧长，只要求出半径即可.

【详解】如图所示：

因为AB与平面BCD所成的角为，且点A在平面BCD上的射影H，，

所以，

所以点H在以点B为球心，以为半径的球面上，

又点H在以AB为轴，以AH为母线的圆锥的侧面上，

所以点H的轨迹为以点B为球心，以为半径的球与以AB为轴，

母线AH与轴AB成的圆锥侧面交线的一部分，

即图中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，

因为二面角α﹣1﹣β的平面角的大小为，

所以，

又，

所以点H的轨迹的长度等于，

故选：D.

二、多选题

9．已知平面平面，且，则下列命题不正确的是（    ）

A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线

B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线

C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面β

D．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β

【答案】ACD

【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可.

【详解】对于A，平面内取平行于交线的直线时，该直线与平面平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；

对于B，取平面内无数条与交线垂直的直线，平面内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；

对于C，平面内取与平行的直线，不垂直于平面，故C错误；

对于D，若内的任意一点取在交线上，所作垂线可能不在平面内，所以不一定垂直于平面，故D错误.

故选：ACD

10．设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数a的可能取值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】AB

【分析】构建，根据题意分析可得：为奇函数，在R上单调递增，利用单调性解不等式即可得结果.

【详解】

令，即，则为奇函数，

当时，，则在区间上单调递增，

故在区间上单调递增，则在R上单调递增，

∵，即，

∴，解得，

故A、B正确，C、D错误.

故选：AB．

11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（    ）

A．若BF为的中线，则

B．若BF为的角平分线，则

C．存在直线l，使得

D．对于任意直线l，都有

【答案】ABD

【分析】这直线，不妨令都在第一象限，联立方程组，根据则，求得，以及，，结合选项，利用抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，不妨令都在第一象限，

又由，可得，设直线，

联立方程组，整理得，

则，解得，且，

所以，如图所示，

对于A中，若为的中线，可得，

所以，所以，所以，可得，

由抛物线的定义可得，所以，所以A正确；

对于B中，若为的角平分线，则，

作、垂直准线于、两点，则且，

所以，所以，可得，

将代入整理得，解得或（舍去），

所以，所以B正确；

对于C中，若，即，所以为等腰直角三角形，

此时，即，可得，即，

解得，此时，则此时为同一个点，不合题意，所以C错误；

对于D中，由，

又由，结合，可得，即恒成立，所以D正确.

故选：ABD

12．设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．设函数的值域为，则的子集个数为

D．

【答案】BD

【分析】结合特例，可判定A错误；结合，可判定B正确；结合正弦、余弦函数的值域，得到的值域为，可判定C正确；设，得到的周期为，证得恒为，可判定D正确.

【详解】对于A中，例如，则，，

可得，所以A错误；

对于B中，由，，

所以，所以，所以B正确；

对于C中，因为，可得，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

若，则且，

所以且，即且，

所以，不符合题意，即，

同理，

若，则与其中一个为，另一个为，或其中一个为，另一个为，

不妨令，则，

此时，，

则，，所以，，

又，显然不符合题意；

再令，则，

此时，，

则，，所以，，

又，不妨令，，此时满足；

即函数的值域为，

所以集合的子集个数为，所以C错误；

对于D中，设，

若，可得，所以，，

则，

所以的周期为，

又当时，可得，此时；

，此时；

，此时；

，此时，

所以，结合周期为，即恒为，

即，

所以，所以D正确.

故选：BD.

【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：

1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；

2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.

三、填空题

13．的展开式中含项的二项式系数为___________.

【答案】

【分析】写出二项式展开式的通项公式，确定第五项中k的值，再求二项式系数．

【详解】由题意知：通项为，

令，得，

所以的展开式中含项为第六项，

第六项的二项式系数为：．

故答案为：．

14．若函数的最小值为，则常数的一个取值为___________.（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）.

【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数的一个取值即可.

【详解】可化为，

所以，

设，

则，设，

则，

因为函数的最小值为，

所以，，

所以或，其中，

故答案为：（答案不唯一）.

15．某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为___________.

【答案】0.76/

【分析】根据均值和方差计算公式代入可得.

【详解】设甲班12个人视力检测数据分别为，

乙班8个人的视力检测数据分别为，

由题意知：，，

，，

由题意20个人的视力的平均数为

方差为

故答案为：0.76

16．如图，已知有公共焦点、的椭圆和双曲线相交于A、B、C、D四个点，且满足，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为___________.

【答案】/

【分析】设椭圆的方程为，双曲线的方程为，联立方程组求的坐标，再求点的坐标，由条件列方程求椭圆的离心率.

【详解】设椭圆的方程为，

双曲线的方程为，

因为椭圆和双曲线有公共焦点、，

所以，

因为，

联立，可得，

所以，

所以点的坐标分别为，，，，

所以直线的斜率，直线的方程为，

所以点的坐标为，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，

联立，消得，

，

设点的坐标为，

则，

所以，，

所以直线的斜率，又，，

所以，又，

所以，

因为点，，

所以，

故，故

所以.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

四、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.

(1)求的值：

(2)在边AB上取一点D，使得，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由余弦定理求出，再由正弦定理求出；

（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.

【详解】（1）由已知在中，，，.

由余弦定理，

可得，

所以.

在中,由正弦定理

得：，

解得：；

（2）由于，，

所以，

在中由（1）知，所以，

所以，又，

所以.

所以

.

由于，所以.

所以.

18．设正项数列的前n项和为，已知，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据得到，根据和得到，即可得到数列是公差为2的等差数列，然后求通项即可；

（2）利用裂项相消的方法求和即可.

【详解】（1）因为，所以①，

所以时，②．

由，得，即．

因为各项均为正数，所以，即，

因为，所以，，解得，，，

所以数列是公差为2的等差数列，

所以．

（2）由（1）得．

当n为偶数时，

；

当n为奇数时，

．

所以

19．在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则

(1)证明：

(2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)在线段PC上是否存在一点M，满足条件，且.

【分析】（1）由条件证明，再证明，由此可得，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明；

（2）建立空间直角坐标系，技术存在点满足条件，由条件求平面的法向量和直线的方向向量，由条件列方程求即可.

【详解】（1）因为点P在底面ABC的射影为点H，

所以平面，又平面，

所以，

因为，，，平面，

所以平面，又平面，

所以，

因为，，，平面，

所以平面，又平面，

所以，

因为，，

所以点为的垂心，所以，

因为，，平面，，

所以平面，又平面，

所以；

（2）延长交于点，由（1）可得，

又，所以点为线段的中点，

所以，同理可得，

所以为等边三角形，又，所以，

如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，

故，

设存在点M，使得BM与平面所成角的余弦值为，且，

则，

设平面的法向量为，，

则，所以，

令，可得，

所以为平面的一个法向量，

所以，

设直线BM与平面所成角为，则，又，

所以，故，

所以或，又，

所以.

所以在线段PC上存在点M，使得BM与平面PAB所成角的余弦值为，且.

20．某校举行“强基计划”数学核心素养测评竞赛，竞赛以抽盲盒答题的形式进行，现有甲、乙两个盲盒箱，甲中有4个选择题和2个填空题，乙中有3个选择题和3个填空题，竞赛可以以不同的方式进行.

(1)若已知A班选择了甲箱，且派出5人参赛，每个人盲抽一个题作答，答完后仍放回甲箱.每个人答对选择题的概率为，答对得3分，答错得0分，每个人答对填空题的概率为，答对得5分，答错得0分，求A班总得分X的数学期望.

(2)若已知A班班长先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后B班班长再从乙箱中抽取一道题目，已知B班班长从乙箱中抽取的是选择题，求A班班长从甲箱中取出的是两道选择题的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)先计算A班参加竞赛的5个人中每个人得分的平均分，在根据数学期望的意义求出A班得分的数学期望；

(2)按照不放回概率思想计算.

【详解】（1）A班在甲箱抽取时，每个人抽到选择题的概率为 ，抽到填空题的概率为 ， 每个人得分的平均值 ，

A班得分的数学期望 ；

（2）因为A班班长抽取在先，放回甲箱后再由B班班长在乙箱抽取，所以A班班长抽取的结果与B班班长抽取的结果无关，

在A班班长抽取2题时，是不放回的抽取，所以抽到的是2道选择题的概率 ；

21．已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，.

(1)求双曲线的标准方程.

(2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S1，S2，S，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据双曲线的离心率为，得到，再根据，得到求解.

（2）设，则，求得，再利用双曲线的定义得到，，再由，求解.

【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，

所以，又过点的直线PA的斜率不存在时，，

所以.

解得，

所以双曲线的方程为：；

（2）设，则，且，

所以，

，

，

由双曲线定义得，

所以，则，

所以，

，

，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值.

22．已知函数

(1)若，求不等式的解集；

(2)若存在两个不同的零点，，证明：.

【答案】(1);

(2)详见解析.

【分析】（1）由的单调性及可求解；

（2）根据函数存在两个不同的零点，得，，将所证不等式转化为，利用由(1)的过程知及 ，代入可证得结论.

【详解】（1）令，的定义域为，

则，所以在上单调递增.

因为，所以当时，，当时，，

所以原不等式的解集为.

（2）证明:，令，易知在上单调递减，且.

当时，，此时单调递增;

当时，，此时单调递减.

所以.

因为函数存在两个不同的零点，所以，即，由图可知，

由题意知，

所以，

两式相减得.

所以等价于

，

也等价于.

因为，所以由(1)的解题过程知……①

……②

因为，所以，

即……③

①+②+③得，

所以.

【点睛】关键点点睛：本题难点在零点的转化应用：由的零点为得：

（1），两式相减得，使用此时代入消去.

（2）由得 即，使用此时代入消去.

本题中两次对零点的使用都富有创新性.