2022高考数学一轮复习专题44 巧妙设点研究圆锥曲线问题（原卷）

专题44  巧妙设点研究圆锥曲线问题

解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的两种解法分属于设点法和设线法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利

一、题型选讲

题型一 、巧妙设点，降低运算量

例1、(2018南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为.

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且＝2时，求直线BM的方程．

例2、(2018南京学情调研）如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，一条准线方程为x＝2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴，y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．

题型二、设而不求法，降低运算量

例3、【2019年高考浙江卷】如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记的面积分别为．

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

（2）求的最小值及此时点G的坐标．

例4、(2016南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点.

①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；

②求证： OP⊥OQ.

题型三、巧妙设点解决向量问题

例5、（2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足＝2.

(1) 若点P的坐标为(2，)，求椭圆的方程；

(2) 设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且＝m，直线OA，OB的斜率之积为－，求实数m的值．

题型四、抛物线的特殊设点技巧

例6、【2018年高考浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（2）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

二、达标训练

1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.

（1）求的离心率及方程；

（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.

3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

4、（2016南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2. （公众号：高中数学最新试题）

(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；

(2) 若r＝.

①求证：k1k2＝－；

②求OP·OQ的最大值．