2022高考数学一轮复习专题29 函数的极值点问题的探究（解析卷）

专题29    函数的极值点问题的探究

一、题型选讲

题型一 、函数极值的求解

例1、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，极小值是，则(    )

A．与有关，且与有关 B．与有关，且与无关

C．与无关，且与无关 D．与无关，且与有关

【答案】C

【解析】∵，

∴，

令，得，或，

当变化时，、的变化如下表：

∴，

，

∴，

故选：C．

变式1、【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

【解析】（1）因为，所以．

因为，所以，

解得．

（2）因为，

所以，

从而．令，得或．

因为都在集合中，且，

所以．

此时，．

令，得或．列表如下：

所以的极小值为．

变式2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数.

(1)求证:当时,对任意恒成立;

(2)求函数的极值;

【解析】 (1)

,,

在上为增函数,

所以当时,恒有成立;

(2)由

当在上为增函数,无极值

当

在上为减函数,在上为增函数,

有极小值,无极大值,

综上知:当无极值,

当有极小值,无极大值.

题型二、极值的个数的证明与判断

例1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；

【解析】（1）设，则，.

当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，

设为.

则当时，；当时，.

所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.

变式、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的定义域为，则（    ）

A．为奇函数

B．在上单调递增

C．恰有4个极大值点

D．有且仅有4个极值点

【答案】BD

【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，

，

当时，，则在上单调递增.

显然，令，得，

分别作出，在区间上的图象，

由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.

故选：BD.

题型三、由极值点求参数的范围

例3、【2018年高考北京理数】设函数=[]．若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

【解析】由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．

若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；

当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．

所以f (x)在x=2处取得极小值．

若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，

所以f ′(x)>0．

所以2不是f (x)的极小值点．

综上可知，a的取值范围是（，+∞）．

变式1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数．若是的极大值点，求．

【解析】（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.

（ii）若，设函数.

由于当时，，故与符号相同.

又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.

.

如果，则当，且时，，故不是的极大值点.

如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.

如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点

综上，.

二、达标训练

1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.

故选：D.

2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f′（x）有2个不相等的实数根，

故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，

而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1，

满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p，

故选：B．

3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】函数,,

∵是函数的极值点，∴，即，,
,,即A选项正确,B选项不正确;
,即C正确,D不正确.
故答案为:AC.

4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数，.若函数有唯一的极小值点，求实数的取值范围；

【解析】，，

，，

设，

当时，，在时，，即，所以单调递减，

在时，，，所以单调递增，所以函数有唯一的极小值

点成立；

当时，令，得，，

在时，，即，所以单调递减，

在时，，，所以单调递增，

所以函数有唯一的极小值点成立；

当时，令，得，，当时不合题意，

则，且，即且，

设，，

在时，，即，所以单调递减，

在时，，，所以单调递增，

在时，，即，所以单调递减，

所以函数有唯一的极小值点成立；

综上所述，的取值范围为且.

5、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数且a≠0）．若函数f（x）的极小值为，试求a的值．

【解析】①当a＜-1时，x变化时变化情况如下表：

此时，解得，故不成立．

②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．

此时f（x）无极小值，故不成立．

③当-1＜a＜0时，x变化时变化情况如下表：

此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，

解得或．

因为-1＜a＜0，所以．

④当a＞0时，x变化时变化情况如下表：

此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，

解得或，故不成立．

综上所述．